Limite con Taylor
Ciao ragazzi, spero abbiate passato una buona Pasqua. Ma fra il capretto e la colomba si annida un limite da calcolare con Taylor:
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-\sin (x^2)-2\cos x}{e^x-1+\ln (1-x)+\dfrac{x^3}{6}}. \)
Ho scritto gli sviluppi di tutte quelle funzioni arrestandomi al secondo ordine:
\( \sin (x^2)=x^2+o(x^2) \)
\( \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \)
\( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \)
\( \ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2). \)
Per cui:
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-[x^2+o(x^2)]-2\left[1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right]}{\left[1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right]-1+\left[-x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right]+\dfrac{x^3}{6}}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{-o(x^2)}{\dfrac{x^3}{6}+o(x^2)}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{0}{\dfrac{x}{6}}=\left[\dfrac{0}{0} \right]. \)
Di nuovo lui: zero su zero. Come può essere? Eppure i passaggi mi sembrano giusti. Forse è il troppo cioccolato...
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-\sin (x^2)-2\cos x}{e^x-1+\ln (1-x)+\dfrac{x^3}{6}}. \)
Ho scritto gli sviluppi di tutte quelle funzioni arrestandomi al secondo ordine:
\( \sin (x^2)=x^2+o(x^2) \)
\( \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \)
\( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \)
\( \ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2). \)
Per cui:
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-[x^2+o(x^2)]-2\left[1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right]}{\left[1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right]-1+\left[-x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right]+\dfrac{x^3}{6}}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{-o(x^2)}{\dfrac{x^3}{6}+o(x^2)}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{0}{\dfrac{x}{6}}=\left[\dfrac{0}{0} \right]. \)
Di nuovo lui: zero su zero. Come può essere? Eppure i passaggi mi sembrano giusti. Forse è il troppo cioccolato...
Risposte
Ciao! Grazie per l'augurio e si spera che anche tu l'abbia passata bene! Veniamo al limite.
Se ti rimane solo l'$\text{o}$-piccolo non puoi concludere nulla, infatti da $\text{o}(x^2)$ segue che il numeratore potrebbe tendere a $0$ come $x^{\frac{5}{2}$, come $x^3$ o come $x^4$ e questo ti porta a tre possibili risultati diversi; non puoi avere questa indeterminatezza, devi sviluppare ulteriormente con Taylor.
Per quanto riguarda il denominatore lo stesso, non ha molto senso scrivere $\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^2)$ perché sarebbe semplicemente $\text{o}(x^2)$ per $x\to0$.
Non ho proprio compreso cos'è successo qui
L'unica cosa che mi viene in mente è: hai per caso diviso per $x^2$ numeratore e denominatore e sei passato solo al limite nelle frazioni $\frac{text{o}(x^2)}{x^2}$?
Se sì, non è corretto.
Non lo è perché non si può andare al limite a pezzi e $\frac{text{o}(x^2)}{x^2}$ per definizione tende a $0$ al limite per $x\to0$, ma quando passi al limite devi mandare tutto al limite e non solo pezzi di funzione.
Anche scritture come $-\text{o}(x^2)$ hanno poco senso, perché $-\text{o}(x^2)=\text{o}(x^2)$; insomma, è importante conoscere la teoria degli strumenti che si usano, il limite non è banalissimo e se non si hanno chiari gli strumenti si rischia di capirci poco.
Non è per massacrarti eh
è solo che dal tuo svolgimento emergono lacune importanti e per aiutarti concretamente bisogna chiarire tutti i punti oscuri.
Se ti rimane solo l'$\text{o}$-piccolo non puoi concludere nulla, infatti da $\text{o}(x^2)$ segue che il numeratore potrebbe tendere a $0$ come $x^{\frac{5}{2}$, come $x^3$ o come $x^4$ e questo ti porta a tre possibili risultati diversi; non puoi avere questa indeterminatezza, devi sviluppare ulteriormente con Taylor.
Per quanto riguarda il denominatore lo stesso, non ha molto senso scrivere $\frac{x^3}{6}+\text{o}(x^2)$ perché sarebbe semplicemente $\text{o}(x^2)$ per $x\to0$.
Non ho proprio compreso cos'è successo qui
"_clockwise":
$\lim_{x\to 0} \frac{-o(x^2)}{\frac{x^3}{6}+o(x^2)}=\lim_{x\to0} \frac{0}{\frac{x}{6}$
L'unica cosa che mi viene in mente è: hai per caso diviso per $x^2$ numeratore e denominatore e sei passato solo al limite nelle frazioni $\frac{text{o}(x^2)}{x^2}$?
Se sì, non è corretto.
Non lo è perché non si può andare al limite a pezzi e $\frac{text{o}(x^2)}{x^2}$ per definizione tende a $0$ al limite per $x\to0$, ma quando passi al limite devi mandare tutto al limite e non solo pezzi di funzione.
Anche scritture come $-\text{o}(x^2)$ hanno poco senso, perché $-\text{o}(x^2)=\text{o}(x^2)$; insomma, è importante conoscere la teoria degli strumenti che si usano, il limite non è banalissimo e se non si hanno chiari gli strumenti si rischia di capirci poco.
Non è per massacrarti eh
è solo che dal tuo svolgimento emergono lacune importanti e per aiutarti concretamente bisogna chiarire tutti i punti oscuri.
Ma figurati, anzi, ti ringrazio. Non nego che, avendoli studiati per la prima volta qualche giorno fa, un po' gli o-piccolo mi sono oscuri. Ma mi hai chiarito molti dubbi e confermato delle mie ipotesi! 
Allora adesso provo a fermarmi al terzo ordine per evitare l'indeterminatezza al numeratore e al denominatore. Dovrei venirne a capo. Intanto, e spero che non sia OT, volevo chiederti ancora due cose.
1) Quella scrittura al denominatore è ridondante per \(x\to 0\) perché \(\text{o}(x^2)\) è un infinitesimo di ordine inferiore a \(\dfrac{x^3}{6}\)? Se così fosse allora il limite del rapporto (quella frazione fratto l'o-piccolo) dovrebbe valere 0, cosa che non riesco a determinare...
2) So per varie vie che i miei sviluppi sono giusti. Ma perché, ad esempio nel caso di \(\ln (1-x)\), nel fermarmi al secondo ordine posso aggiungere come errore di approssimazione \(\text{o}(x^2)\) invece di \(\text{o}((1-x)^2)\)?
Allora adesso provo a fermarmi al terzo ordine per evitare l'indeterminatezza al numeratore e al denominatore. Dovrei venirne a capo. Intanto, e spero che non sia OT, volevo chiederti ancora due cose.1) Quella scrittura al denominatore è ridondante per \(x\to 0\) perché \(\text{o}(x^2)\) è un infinitesimo di ordine inferiore a \(\dfrac{x^3}{6}\)? Se così fosse allora il limite del rapporto (quella frazione fratto l'o-piccolo) dovrebbe valere 0, cosa che non riesco a determinare...
2) So per varie vie che i miei sviluppi sono giusti. Ma perché, ad esempio nel caso di \(\ln (1-x)\), nel fermarmi al secondo ordine posso aggiungere come errore di approssimazione \(\text{o}(x^2)\) invece di \(\text{o}((1-x)^2)\)?
Prego!
Consiglio spassionato: quando si è alle prime armi con Taylor meglio sviluppare più del dovuto che meno del dovuto.
Diciamo che i tuoi dubbi si possono risolvere, secondo me, usando la definizione: ossia $f(x)$ è $\text{o}(g(x))$ per $x \to x_0$ se
$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$$
Dunque proviamo ad usarla con i dubbi che hai sollevato:
1) quasi esatto, nel senso che effettivamente se usi la definizione con $f(x)=\frac{x^3}{6}$ e $g(x)=x^2$ si ha
$$\lim_{x\to0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^2}=0$$
Ossia $\frac{x^3}{6}=\text{o}(x^2)$ per $x\to0$ (ossia $\frac{x^3}{6}$ è un infinitesimo di ordine superiore ad $x^2$, cosa equivalente a dire quello che dicevi tu), tuttavia ho detto "quasi esatto" perché non mi è chiaro che intendi con la parte
se intendi la frazione nella definizione dell'$\text{o}$-piccolo allora ti ho risposto poco sopra, quindi è "quasi esatto" perché non devi fare il limite del rapporto tra l'$\text{o}$-piccolo e la funzione ma il limite del rapporto tra l'argomento dell'$\text{o}$-piccolo e la funzione.
Se invece intendevi altro scusami, ho capito che il dubbio fosse quello a cui ho risposto appena sopra. Se ho capito male prova a spiegarlo in un altro modo.
2)
Gli sviluppi "non sono giusti" nel senso che ti sei arrestato troppo presto, questo porta addirittura a non eliminare la forma indeterminata e quindi non ti permette di concludere.
Gli sviluppi "sono giusti" nel senso che in effetti la scrittura è corretta fino a dove li hai arrestati, tuttavia non basta; se ancora non ti convince ti mostro esplicitamente perché.
I limiti con Taylor sono un po' subdoli sotto questo punto di vista, delle volte nonostante elimini la forma indeterminata compi degli errori di approssimazione dovuti al fatto che stai perdendo dei termini rilevanti arrestando lo sviluppo precocemente; quindi può succedere che un limite ti venga $-\infty$ invece di $-1$ ad esempio.
Perché $\ln(1-x)$ si confronta con potenze di $x$ quando $x \to 0$, non con potenze di $(1-x)$ quando $x\to0$; infatti il rapporto
$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)}{(1-x)^r}=\frac{\ln1}{1}=0$$
per ogni $r\in\mathbb{R}_{\geq0}$, mentre
$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)}{x^r}=\left[\frac{0}{0}\right]$$
e il risultato del secondo limite dipende da $r$, perciò in generale con altre funzioni in gioco sommate algebricamente al logaritmo il limite del rapporto può dipendere da $r$ differenti.
Avrai notato che nel primo caso il denominatore non è neanche infinitesimo, non ha senso confrontare ordini di infinitesimo di qualcosa che non è infinitesimo; la serie di Taylor di $\ln(1-x)$ centrata in $x=0$ coinvolge potenze di $x$ e non potenze di $(1-x)$ e quindi, se troncata, il suo errore di approssimazione è sulle potenze di $x$ e da qui tutto il discorso che ti ho fatto sul perché si confronta con potenze di $x$ e non con potenze di $(1-x)$ (credo, potrei sbagliarmi visto che sono ancora uno studente anche io ma mi sembra sensato; al massimo aspetta pareri più esperti per questo punto!).
Spero di essere stato esaustivo, se hai altri dubbi chiedi pure!
Edit: corretto un typo, avevo scritto $n$ invece di $r$.
"_clockwise":
Allora adesso provo a fermarmi al terzo ordine per evitare l'indeterminatezza al numeratore e al denominatore. Dovrei venirne a capo.
Consiglio spassionato: quando si è alle prime armi con Taylor meglio sviluppare più del dovuto che meno del dovuto
.Diciamo che i tuoi dubbi si possono risolvere, secondo me, usando la definizione: ossia $f(x)$ è $\text{o}(g(x))$ per $x \to x_0$ se
$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$$
Dunque proviamo ad usarla con i dubbi che hai sollevato:
1) quasi esatto, nel senso che effettivamente se usi la definizione con $f(x)=\frac{x^3}{6}$ e $g(x)=x^2$ si ha
$$\lim_{x\to0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^2}=0$$
Ossia $\frac{x^3}{6}=\text{o}(x^2)$ per $x\to0$ (ossia $\frac{x^3}{6}$ è un infinitesimo di ordine superiore ad $x^2$, cosa equivalente a dire quello che dicevi tu), tuttavia ho detto "quasi esatto" perché non mi è chiaro che intendi con la parte
"_clockwise":
Se così fosse allora il limite del rapporto (quella frazione fratto l'o-piccolo) dovrebbe valere 0, cosa che non riesco a determinare...
se intendi la frazione nella definizione dell'$\text{o}$-piccolo allora ti ho risposto poco sopra, quindi è "quasi esatto" perché non devi fare il limite del rapporto tra l'$\text{o}$-piccolo e la funzione ma il limite del rapporto tra l'argomento dell'$\text{o}$-piccolo e la funzione.
Se invece intendevi altro scusami, ho capito che il dubbio fosse quello a cui ho risposto appena sopra. Se ho capito male prova a spiegarlo in un altro modo.
2)
"_clockwise":
So per varie vie che i miei sviluppi sono giusti.
Gli sviluppi "non sono giusti" nel senso che ti sei arrestato troppo presto, questo porta addirittura a non eliminare la forma indeterminata e quindi non ti permette di concludere.
Gli sviluppi "sono giusti" nel senso che in effetti la scrittura è corretta fino a dove li hai arrestati, tuttavia non basta; se ancora non ti convince ti mostro esplicitamente perché.
I limiti con Taylor sono un po' subdoli sotto questo punto di vista, delle volte nonostante elimini la forma indeterminata compi degli errori di approssimazione dovuti al fatto che stai perdendo dei termini rilevanti arrestando lo sviluppo precocemente; quindi può succedere che un limite ti venga $-\infty$ invece di $-1$ ad esempio.
"_clockwise":
Ma perché, ad esempio nel caso di $ln(1−x)$, nel fermarmi al secondo ordine posso aggiungere come errore di approssimazione $o(x^2)$ invece di $o((1−x)^2)$?
Perché $\ln(1-x)$ si confronta con potenze di $x$ quando $x \to 0$, non con potenze di $(1-x)$ quando $x\to0$; infatti il rapporto
$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)}{(1-x)^r}=\frac{\ln1}{1}=0$$
per ogni $r\in\mathbb{R}_{\geq0}$, mentre
$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)}{x^r}=\left[\frac{0}{0}\right]$$
e il risultato del secondo limite dipende da $r$, perciò in generale con altre funzioni in gioco sommate algebricamente al logaritmo il limite del rapporto può dipendere da $r$ differenti.
Avrai notato che nel primo caso il denominatore non è neanche infinitesimo, non ha senso confrontare ordini di infinitesimo di qualcosa che non è infinitesimo; la serie di Taylor di $\ln(1-x)$ centrata in $x=0$ coinvolge potenze di $x$ e non potenze di $(1-x)$ e quindi, se troncata, il suo errore di approssimazione è sulle potenze di $x$ e da qui tutto il discorso che ti ho fatto sul perché si confronta con potenze di $x$ e non con potenze di $(1-x)$ (credo, potrei sbagliarmi visto che sono ancora uno studente anche io ma mi sembra sensato; al massimo aspetta pareri più esperti per questo punto!).
Spero di essere stato esaustivo, se hai altri dubbi chiedi pure!
Edit: corretto un typo, avevo scritto $n$ invece di $r$.
1) Ok. Intuitivamente quindi possiamo dire che, poiché l'o-piccolo individua funzioni che sono infinitesimi di ordine superiore al proprio argomento, non ha senso sommare all'o-piccolo una di queste funzioni. Negli sviluppi di Taylor, in particolare, aggiungere infinitesimi oltre l'ordine scelto è proprio inutile dato che l'o-piccolo rappresenta proprio l'errore di approssimazione sul polinomio approssimante, e quindi "ingloba" tutti i termini successivi. Dovrebbe essere così. (Scusami tu per l'improprietà di linguaggio: avrei dovuto usare il termine "argomento".)
2) Sì, con "giusti" intendevo svolti correttamente. Per il resto tutto chiarissimo, lo trovo sensato anch'io.
Ho ripetuto il procedimento fermandomi al quarto ordine, che fatica. (Spoiler: è riuscito.)
\( \sin (x^2)=x^2-\dfrac{x^6}{6}+\text{o}(x^6) \)
\( \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4) \)
\( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4) \)
\( \ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\text{o}(x^4). \)
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-[x^2-\dfrac{x^6}{6}+\text{o}(x^6)]-2\left[1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4)\right]}{\left[1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4)\right]-1+\left[-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\text{o}(x^4)\right]+\dfrac{x^3}{6}}. \)
Questo mostro si semplifica in:
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{x^4}{12}+\text{o}(x^4)}{-\dfrac{5}{24}x^4+\text{o}(x^4)}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x^4 \left(\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4} \right)}{x^4 \left(-\dfrac{5}{24}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4} \right)}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4}}{-\dfrac{5}{24}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4} }=\dfrac{-\dfrac{1}{12}}{-\dfrac{5}{24}}=\dfrac{2}{5}. \)
Grazie infinite, mi hai tolto parecchie perplessità!
2) Sì, con "giusti" intendevo svolti correttamente. Per il resto tutto chiarissimo, lo trovo sensato anch'io.
Ho ripetuto il procedimento fermandomi al quarto ordine, che fatica. (Spoiler: è riuscito.
)\( \sin (x^2)=x^2-\dfrac{x^6}{6}+\text{o}(x^6) \)
\( \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4) \)
\( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4) \)
\( \ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\text{o}(x^4). \)
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-[x^2-\dfrac{x^6}{6}+\text{o}(x^6)]-2\left[1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4)\right]}{\left[1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}+\text{o}(x^4)\right]-1+\left[-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\text{o}(x^4)\right]+\dfrac{x^3}{6}}. \)
Questo mostro si semplifica in:
\( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{x^4}{12}+\text{o}(x^4)}{-\dfrac{5}{24}x^4+\text{o}(x^4)}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x^4 \left(\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4} \right)}{x^4 \left(-\dfrac{5}{24}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4} \right)}=\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4}}{-\dfrac{5}{24}+\dfrac{\text{o}(x^4)}{x^4} }=\dfrac{-\dfrac{1}{12}}{-\dfrac{5}{24}}=\dfrac{2}{5}. \)
Grazie infinite, mi hai tolto parecchie perplessità!
Vanno benissimo le spiegazioni intuitive all'inizio, per cui non preoccuparti; è corretto ciò che hai interpretato in (1).
Svolgimento praticamente perfetto del limite: per fare ancora meglio potevi subito inglobare al numeratore $\frac{x^6}{6}$ in $\text{o}(x^4)$.
Prego! Fa sempre piacere aiutare chi si impegna nel capire.
Svolgimento praticamente perfetto del limite: per fare ancora meglio potevi subito inglobare al numeratore $\frac{x^6}{6}$ in $\text{o}(x^4)$.
Prego! Fa sempre piacere aiutare chi si impegna nel capire.
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