Dimostrazione limite
Ciao 
Cerco un aiuto su un fatto che non riesco a dimostrarmi formalmente ed uso in modo intuitivo e non mi piace perché vorrei capire più a fondo.
Noto che spesso nei limiti a infinito non ha alcuna importanza se si somma o sottrae una quantità finita.
Ad esempio se avessi $lim_(x->oo) x^2+x+3$ potri anche avere $lim_(x->oo) x^2+x$ e nulla cambierebbe nel risultato. Inoltre valeanche se il risultato fosse finito, ad esempio: $lim_(x->oo) (3x+1)/x=3$ tanto quanto $lim_(x->oo) (3x+100)/x=3$
Mi sembra quindi che se $l$ finitoo infinitosi abbia che: $lim_(x->oo) (f(x)+n)=l$ per ogni n.
Ma perché questo funziona, penso in qualche modo di poterlo dimostrare da:
Per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c perogni x nel dominio di f che sia x>N allora $|f(x)-l|<\epsilon$
se e solo se
Per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c perogni x nel dominio di f che sia x>N allora $|(f(x)+n)-l|<\epsilon$
Ma comelo dimostro?
Cerco un aiuto su un fatto che non riesco a dimostrarmi formalmente ed uso in modo intuitivo e non mi piace perché vorrei capire più a fondo.
Noto che spesso nei limiti a infinito non ha alcuna importanza se si somma o sottrae una quantità finita.
Ad esempio se avessi $lim_(x->oo) x^2+x+3$ potri anche avere $lim_(x->oo) x^2+x$ e nulla cambierebbe nel risultato. Inoltre valeanche se il risultato fosse finito, ad esempio: $lim_(x->oo) (3x+1)/x=3$ tanto quanto $lim_(x->oo) (3x+100)/x=3$
Mi sembra quindi che se $l$ finitoo infinitosi abbia che: $lim_(x->oo) (f(x)+n)=l$ per ogni n.
Ma perché questo funziona, penso in qualche modo di poterlo dimostrare da:
Per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c perogni x nel dominio di f che sia x>N allora $|f(x)-l|<\epsilon$
se e solo se
Per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c perogni x nel dominio di f che sia x>N allora $|(f(x)+n)-l|<\epsilon$
Ma comelo dimostro?
Risposte
Ovviamente, non sempre serve ricorrere alla definizione; molte volte, basta usare con saggezza i teoremi già dimostrati.
Ad esempio, sai che $lim_(x -> oo) 3/x^2 = 0$, che $lim_(x -> oo) 1/x = 0$, che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti (a patto che non si cada in forma indeterminata) e che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti (a patto che... Come sopra).
Tanto basta, assieme ad un po' di algebretta da superiori, per rendersi conto di quel che succede: hai:
$lim_(x -> oo) x^2 + x + 3 = lim_(x -> oo) x^2 (1 + 1/x + 3/x^2) = ...$
Continua tu.
Ad esempio, sai che $lim_(x -> oo) 3/x^2 = 0$, che $lim_(x -> oo) 1/x = 0$, che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti (a patto che non si cada in forma indeterminata) e che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti (a patto che... Come sopra).
Tanto basta, assieme ad un po' di algebretta da superiori, per rendersi conto di quel che succede: hai:
$lim_(x -> oo) x^2 + x + 3 = lim_(x -> oo) x^2 (1 + 1/x + 3/x^2) = ...$
Continua tu.
Ciao, grazie mille per il tuo aiuto. Sei molto gentile
Seguendo il tuo consiglio direi forse che $lim_(x->oo) x^2*(1+lim_(x->oo) 1/x + lim_(x->oo) 3/x^2)=oo$.
Anche se non sono del tutto sicuro perché il teorema che ho studiato mi permette di "spezzare" il limite quando il limite x->x0 è di una funzione continua in x0, ma qui x0 è infinito e come faccio a parlare di continuità a infinito?
Scusa le domande stupide ma sono davvero novizio in questo studio.
Buona serata.
[Vorrei inserire una seconda domanda correlata..]
PS: nel frattempo mi era sorta anche una domanda, in realtà per semplificare le cose volevo dimostrare nel di limite infinito all'infinito.
Prendiamo un $lim_(x->oo) f(x)=+oo$ e una $g(x)=f(x)-100$ (g(x) è una sorta di traslazione della f(x) quindi è naturale che se tende a infinito la prima tenderà anche g(x)) ora, sia $lim_(x->oo) g(x)=+oo$
In teoria da definizione:
Per ogni $N>0$ esiste $M>0$ t.c se $x>M$ => $f(x)>N$ (A)
Il fatto che valga $lim_(x->oo) g(x)=+oo$ vuol dire che $f(x)-100>N-100$ perla proprietà delle disequazioni. Risolvendo la disequazione trovo una x>valore che implica $f(x)-100>N-100=N'$
In un certo senso mi sembra che proseguendo su questa strada possa arrivare a dimostrare qualcosa del tipo che se vale (A), allora vale
Per ogni $N'>0$ esiste $M'>0$ t.c se $x>M'$ => $g(x)>N'$
Però non saprei come continuare su questa strada e se fosse anche solo minimamente corretto quanto sto dicendo.
So che è poco comodo dopo il tuo consiglio di sfruttare altri teoremi, però penso possa aiutarmi nel ragionare a capire meglio questa faccenda.
Grazie mille.
Seguendo il tuo consiglio direi forse che $lim_(x->oo) x^2*(1+lim_(x->oo) 1/x + lim_(x->oo) 3/x^2)=oo$.
Anche se non sono del tutto sicuro perché il teorema che ho studiato mi permette di "spezzare" il limite quando il limite x->x0 è di una funzione continua in x0, ma qui x0 è infinito e come faccio a parlare di continuità a infinito?
Scusa le domande stupide ma sono davvero novizio in questo studio.
Buona serata.
[Vorrei inserire una seconda domanda correlata..]
PS: nel frattempo mi era sorta anche una domanda, in realtà per semplificare le cose volevo dimostrare nel di limite infinito all'infinito.
Prendiamo un $lim_(x->oo) f(x)=+oo$ e una $g(x)=f(x)-100$ (g(x) è una sorta di traslazione della f(x) quindi è naturale che se tende a infinito la prima tenderà anche g(x)) ora, sia $lim_(x->oo) g(x)=+oo$
In teoria da definizione:
Per ogni $N>0$ esiste $M>0$ t.c se $x>M$ => $f(x)>N$ (A)
Il fatto che valga $lim_(x->oo) g(x)=+oo$ vuol dire che $f(x)-100>N-100$ perla proprietà delle disequazioni. Risolvendo la disequazione trovo una x>valore che implica $f(x)-100>N-100=N'$
In un certo senso mi sembra che proseguendo su questa strada possa arrivare a dimostrare qualcosa del tipo che se vale (A), allora vale
Per ogni $N'>0$ esiste $M'>0$ t.c se $x>M'$ => $g(x)>N'$
Però non saprei come continuare su questa strada e se fosse anche solo minimamente corretto quanto sto dicendo.
So che è poco comodo dopo il tuo consiglio di sfruttare altri teoremi, però penso possa aiutarmi nel ragionare a capire meglio questa faccenda.
Grazie mille.
"alterbi":
Ciao, grazie mille per il tuo aiuto. Sei molto gentile
Seguendo il tuo consiglio direi forse che $lim_(x->oo) x^2*(1+lim_(x->oo) 1/x + lim_(x->oo) 3/x^2)=oo$.
Anche se non sono del tutto sicuro perché il teorema che ho studiato mi permette di "spezzare" il limite quando il limite x->x0 è di una funzione continua in x0, ma qui x0 è infinito e come faccio a parlare di continuità a infinito?
Scusa le domande stupide ma sono davvero novizio in questo studio.
Buona serata.
Da dove studi?
Ma soprattutto, cosa studi?
"alterbi":
[Vorrei inserire una seconda domanda correlata..]
PS: nel frattempo mi era sorta anche una domanda, in realtà per semplificare le cose volevo dimostrare nel di limite infinito all'infinito.
Prendiamo un $lim_(x->oo) f(x)=+oo$ e una $g(x)=f(x)-100$ (g(x) è una sorta di traslazione della f(x) quindi è naturale che se tende a infinito la prima tenderà anche g(x)) ora, sia $lim_(x->oo) g(x)=+oo$
In teoria da definizione:
Per ogni $N>0$ esiste $M>0$ t.c se $x>M$ => $f(x)>N$ (A)
Il fatto che valga $lim_(x->oo) g(x)=+oo$ vuol dire che $f(x)-100>N-100$ perla proprietà delle disequazioni. Risolvendo la disequazione trovo una x>valore che implica $f(x)-100>N-100=N'$
In un certo senso mi sembra che proseguendo su questa strada possa arrivare a dimostrare qualcosa del tipo che se vale (A), allora vale
Per ogni $N'>0$ esiste $M'>0$ t.c se $x>M'$ => $g(x)>N'$
Però non saprei come continuare su questa strada e se fosse anche solo minimamente corretto quanto sto dicendo.
So che è poco comodo dopo il tuo consiglio di sfruttare altri teoremi, però penso possa aiutarmi nel ragionare a capire meglio questa faccenda.
Grazie mille.
Il ragionamento è corretto ed, in questo caso, è sufficientemente semplice da essere la strada migliore per fare quel che devi fare.
Da dove studi?
Ma soprattutto, cosa studi?
Studio fisica e stavo seguendo le dispense del Prof. Studio principalmente dalle sue dispense (nella prima parte) e il libro consigliato per il corso è il De Marco ma lo trovo davvero complesso (per questo vorrei prima leggere tutte le dispense e solo dopo il libro) e mi rendo conto di non essere molto portato come mi fai notare anche tu con i dubbi sul mio studio e da dove studi
. Il fatto che sono determinato a cercare di capire il più possibile, per quanto possa riuscire essendo uno ex studente del classico.Non mi sono presentato alla prima sessione rendendomi conto di dover riprendere bene lo studio daccapo ed eccomi qui a cercare di capire il più possibile entro giugno/luglio.
Anche se non sono del tutto sicuro perché il teorema che ho studiato mi permette di "spezzare" il limite quando il limite x->x0 è di una funzione continua in x0, ma qui x0 è infinito e come faccio a parlare di continuità a infinito?
Il fatto che non ci arrivo molto, perché dalle note del professore parla di continuità della funzione per quei teoremi. Non sono dimostrati ma ovviamente voglio cercare di dimostrarli. Sono messi solo come proposizioni.
Il ragionamento è corretto ed, in questo caso, è sufficientemente semplice da essere la strada migliore per fare quel che devi fare.
Credo sia la prima volta che dico qualcosa di sensato allora
"alterbi":Da dove studi?
Ma soprattutto, cosa studi?
Studio fisica e stavo seguendo le dispense del Prof. Studio principalmente dalle sue dispense (nella prima parte) [...]
Ok e vedi più avanti.
"alterbi":
[...] e il libro consigliato per il corso è il De Marco ma lo trovo davvero complesso (per questo vorrei prima leggere tutte le dispense e solo dopo il libro) [...]
Il De Marco è un libro bello, ma tosto.
Potresti prendere qualcosa di più leggero, come il vecchio Marcellini & Sbordone per iniziare; oppure il Pagani & Salsa (senza Bramanti), che è difficile, ma simpatico.
"alterbi":
[...] e mi rendo conto di non essere molto portato come mi fai notare anche tu con i dubbi sul mio studio e da dove studi
Nono, non ho mai inteso farti notare ciò.
Il problema è che l'ipotesi di continuità è proprio inutile in questi teoremi sui limiti e, di solito, la si usa solo in testi per le scuole superiori per rendere più semplice la trattazione dell'argomento.
Per questo motivo ho chiesto da dove e cosa studiassi: le nozioni che usavi sembravano quelle di uno studente delle superiori.
"alterbi":
Il fatto che sono determinato a cercare di capire il più possibile, per quanto possa riuscire essendo uno ex studente del classico.
Per esperienza, ciò che non manca agli studenti del classico è il fatto di sapere bene che si devono "fare il m@xxo" per studiare Matematica, in modo da mettersi in pari (e fare pace) con la materia.
"alterbi":
Non mi sono presentato alla prima sessione rendendomi conto di dover riprendere bene lo studio daccapo ed eccomi qui a cercare di capire il più possibile entro giugno/luglio.
Beh, allora devi fare le cose velocemente.
"alterbi":Anche se non sono del tutto sicuro perché il teorema che ho studiato mi permette di "spezzare" il limite quando il limite x->x0 è di una funzione continua in x0, ma qui x0 è infinito e come faccio a parlare di continuità a infinito?
Il fatto che non ci arrivo molto, perché dalle note del professore parla di continuità della funzione per quei teoremi. Non sono dimostrati ma ovviamente voglio cercare di dimostrarli. Sono messi solo come proposizioni.
La dimostrazione viene facile se usi la definizione di limite con gli intorni e le proprietà insiemistiche degli intorni. Se, invece, usi le classiche definizioni di limite con le disuguaglianze (che sono 9, tutte diverse), devi dare millemila dimostrazioni per ogni teorema sui limiti... E questo è seccante (sebbene, all'inizio, può essere un buon banco di prova per affinare l'abilità nella scrittura di una dimostrazione).
Conosci la definizione di limite con gli intorni?
Altrimenti, riesci a dimostrare che $lim_(x -> x_0) f(x) + g(x) = lim_(x -> x_0) f(x) + lim_(x -> x_0) g(x)$ (ammesso che i limiti a secondo membro esistano e non si presentino forme indeterminate) in tutti i casi possibili per $x_0$ (i.e., $x_0 in RR$, $x_0=+oo$ ed $x_0=-oo$) ed in tutti i casi possibili per i limiti al secondo membro (i.e., $l+lambda$, $l+oo$, $l-oo$, $+oo+oo$, $-oo-oo$)?[nota]Qui, come d'abitudine, $l$ e $lambda$ denotano numeri reali.[/nota]
"alterbi":
[quote="gugo82"]Il ragionamento è corretto ed, in questo caso, è sufficientemente semplice da essere la strada migliore per fare quel che devi fare.
Credo sia la prima volta che dico qualcosa di sensato allora
[/quote]Ma non ci credo proprio...
Non buttarti giù: la strada è lunga, ma si percorre.
Ti ringrazio tantissimo per lo sprono e i consigli, volevo chiederti una cosa riguardo i libri prima di continuare. A casa non possiedo quel libro da te consigliato però ho altri due testi dovuti a mio fratello ingegnere: Il canuto tabacco e il giusti, uno dei due potrebbe avvicinarsi a quello da te consigliato? Altrimenti penso provvederò a reperirlo
Detto questo,
Hai ragione, il fatto che non vorrei nemmeno prepararlo così velocemente da non fissare bene le cose e dimenticarmene. Insomma sono una persona molto lenta di comprendonio. Forse dovrei provare ad andare più con calma dici?
Tornando al discorso principale:
E' accennata nelle dispense di cui sopra anche se il Prof fa abbondante uso di epsilon-delta più che degli intorni e fatico un po' a destreggiarmi con essi... devo prenderci di più la mano temo. Però questo può essere un buon momento per farlo.
Dovrei avere come definizioni:
- Per ogni $epsilon>0$ esiste $delta>0$ t.c. $B_delta(x_0) => h(x)\inB_epsilon(c)$ con $h(x)=f(x)+g(x)$
e dimostrare che implichi
- Per ogni $epsilon'>0$ esiste $delta'>0$ t.c. $B_delta(x_0) => f(x)\inB_epsilon(l)$ con l il valore
- Per ogni $epsilon''>0$ esiste $delta''>0$ t.c. $B_delta(x_0) => g(x)\inB_epsilon(lambda)$.
Però sinceramente non so dove mettere mano: per assurdo potrei ipotizzare che non esistono l o lambda e trovare una ipotesi non valida? O fare una dimostrazione classica partendo dall'Hp. Sono completamente bloccato ed inerme:vuoto totale.
Detto questo,
Beh, allora devi fare le cose velocemente.
Hai ragione, il fatto che non vorrei nemmeno prepararlo così velocemente da non fissare bene le cose e dimenticarmene. Insomma sono una persona molto lenta di comprendonio. Forse dovrei provare ad andare più con calma dici?
Tornando al discorso principale:
Conosci la definizione di limite con gli intorni?
E' accennata nelle dispense di cui sopra anche se il Prof fa abbondante uso di epsilon-delta più che degli intorni e fatico un po' a destreggiarmi con essi... devo prenderci di più la mano temo. Però questo può essere un buon momento per farlo.
Dovrei avere come definizioni:
- Per ogni $epsilon>0$ esiste $delta>0$ t.c. $B_delta(x_0) => h(x)\inB_epsilon(c)$ con $h(x)=f(x)+g(x)$
e dimostrare che implichi
- Per ogni $epsilon'>0$ esiste $delta'>0$ t.c. $B_delta(x_0) => f(x)\inB_epsilon(l)$ con l il valore
- Per ogni $epsilon''>0$ esiste $delta''>0$ t.c. $B_delta(x_0) => g(x)\inB_epsilon(lambda)$.
Però sinceramente non so dove mettere mano: per assurdo potrei ipotizzare che non esistono l o lambda e trovare una ipotesi non valida? O fare una dimostrazione classica partendo dall'Hp. Sono completamente bloccato ed inerme:vuoto totale.
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