Polinomio di Mac Laurin

[amalia.caggiano]

Buongiorno a tutti, sto facendo questo esercizio ma sto riscontrando un pò di difficoltà:

Dopo aver determinato la classe di continuità dell seguente funzione, scrivere, se possibile, il suo polinomio di Mac Laurin di II grado

$$f(x)=\left \{ \begin{array}{cc}
\frac{\sin|x|}{|x|} & x\not =0\\
1 & x=0.
\end{array}
\right.$$

Qualcuno può darmi una mano?

[Studente Anonimo]

Non dovresti avere delle difficoltà a dimostrare la continuità della funzione in $x=0$. Se questo è il caso, puoi fare un passo avanti calcolando la derivata in $x=0$ mediante la definizione.

[amalia.caggiano]

"anonymous_0b37e9":Non dovresti avere delle difficoltà a dimostrare la continuità della funzione in $x=0$. Se questo è il caso, puoi fare un passo avanti calcolando la derivata in $x=0$ mediante la definizione.

Quindi f è continua in zero e anche le sue derivate, allora il polinomio è 1?

[Studente Anonimo]

Intanto, poiché:

$[x lt 0] rarr [(sin|x|)/|x|=sin(-x)/(-x)=(-sinx)/(-x)=sinx/x]$

$[x gt 0] rarr [(sin|x|)/|x|=sinx/x]$

puoi tranquillamente procedere senza i valori assoluti. Inoltre, visto che:

Limite notevole

$lim_(x->0)sinx/x=1$

la funzione è continua in $x=0$. Infine, studiando la derivabilità in $x=0$ mediante la definizione:

$lim_(h->0)(f(0+h)-f(0))/h=lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim_(h->0)(sinh/h-1)/h=lim_(h->0)(sinh-h)/h^2=$

$=lim_(h->0)(h-1/6h^3+o(h^3)-h)/h^2=lim_(h->0)(h^3[-1/6+o(1)])/h^2=lim_(h->0)h[-1/6+o(1)]=0$

la funzione è anche derivabile in $x=0$. Ad ogni modo, visto che procedere con le derivate successive sarebbe piuttosto gravoso, conviene servirsi direttamente dello sviluppo del seno:

$[sinx=x-1/6x^3+1/120x^5+o(x^5)] rarr [sinx/x=1-1/6x^2+1/120x^4+o(x^4)]$

Insomma, il polinomio richiesto è:

$1-1/6x^2$

[amalia.caggiano]

"anonymous_0b37e9":Intanto, poiché:

$[x lt 0] rarr [(sin|x|)/|x|=sin(-x)/(-x)=(-sinx)/(-x)=sinx/x]$

$[x gt 0] rarr [(sin|x|)/|x|=sinx/x]$

puoi tranquillamente procedere senza i valori assoluti. Inoltre, visto che:

Limite notevole

$lim_(x->0)sinx/x=1$

la funzione è continua in $x=0$. Infine, studiando la derivabilità in $x=0$ mediante la definizione:

$lim_(h->0)(f(0+h)-f(0))/h=lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim_(h->0)(sinh/h-1)/h=lim_(h->0)(sinh-h)/h^2=$

$=lim_(h->0)(h-1/6h^3+o(h^3)-h)/h^2=lim_(h->0)(h^3[-1/6+o(1)])/h^2=lim_(h->0)h[-1/6+o(1)]=0$

la funzione è anche derivabile in $x=0$. Ad ogni modo, visto che procedere con le derivate successive sarebbe piuttosto gravoso, conviene servirsi direttamente dello sviluppo del seno:

$[sinx=x-1/6x^3+1/120x^5+o(x^5)] rarr [sinx/x=1-1/6x^2+1/120x^4+o(x^4)]$

Insomma, il polinomio richiesto è:

$1-1/6x^2$

Grazie mille, sei stato chiarissimo.