Confronto di equazioni differenziali

[Cantor99]

Ho il problema di Cauchy

\begin{cases}
u'=u\log(u)+\sin^{2}(t+u)\\ u(0)=4
\end{cases}

Secondo voi si può usare il teorema del confronto[nota]l'enunciato che ho a disposizione: $\Omega\subseteq \mathbb{R}^{2}$ aperto, $I$ intervallo, $t_{0}\in I$ e $f,g:\Omega\to \mathbb{R}$ localmente lip in $y$ unif in $t$. Se per ogni $t\in I$ si ha
\[
u'(t)\le f(t,u(t)) \quad v'(t)\ge g(t,v(t)) \qquad \forall t\in I
\]
e
\[
f(t,u(t))\le g(t,u(t)) \qquad \forall t\in I
\]
Se inoltre risulta $u(t_{0})\le v(t_{0})$ allora $u(t)\le v(t)$ per ogni $t\ge t_{0}$ e $t\in I$.[/nota] per dedurre che $u\ge 1$ in tutto l'intervallo massimale di esistenza $(\alpha,\beta)$, con $t>0$?
In riferimento al teorema in note, scelgierei $I=(0,\beta)$, $t_{0}=0$, $u\equiv 1$, $v$ soluzione massimale del pdC e $f=g$.

Grazie in anticipo.

[gugo82]

La funzione $u(t):=1$ non è subsoluzione della EDO, quindi direi di no.

Però, hai provato a levare di mezzo quel $ sin^2$?

[Cantor99]

Hai ragione non è subsoluzione. Varrebbe se scegliessi $u$ soluzione massimale e $v\equiv 1$ ma il teorema del confronto non mi dà nessun risultato con questo scambio... quindi facciamo finta che non abbia detto nulla .

Premetto che mi è chiesto solo di stabilire se $\beta$ è finito o meno. Ora ho tentato questa tortuosissima.

Provo a togliere tutto $\sin^{2}$ usando la sua positività e studio
\[
\begin{cases} y'=y\log y\\ y(0)=4 \end{cases}
\]
La cui sol è $y(t)=4^{e^{t}}$, che è globalmente definita. Quindi so che $u(t)\ge 4^{e^{t}}$ per ogni $t\in (0,\beta)$ (e non posso dire nulla su $\beta$). Poiché $4^{e^{t}}\ge 1$ per ogni $t\in \mathbb{R}$ ho $u\ge 1$ in $(0,\beta)$.

Da questo fatto, segue che $u\log u\ge 0$. Cambio variabile $v=u+t$ e studio
\[
\begin{cases}
v'-1=\sin^{2}v \\ v(0)=4
\end{cases}
\]
qui la sol è compresa fra gli equilibri $v=\pi/2$ e $v=3\pi/2$. Tornando a $u$ otterrei che $\pi/2-t

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