Duale del prodotto cartesiano
Salve a tutti! Come potrei dimostrare che dati due spazi normati X e Y, il duale del prodotto cartesiano tra X e Y è uguale al prodotto cartesiano tra il duale di X e il duale di Y? Inoltre, su tale spazio, è definita la seguente norma: \( \left\|(x',y') \right\|=\left\|x' \right\|+\left\| y' \right\| \) per ogni x' in X' e y' in Y' ?
Risposte
Beh, non mi sembra impossibile...
Prendi un funzionale \(z\in (X\times Y)^\prime\) e mostra che esistono due funzionali, uno in \(x^\prime \in X^\prime\) e l'altro in \(y^\prime \in Y^\prime\), tali che \(z^\prime (x,y)=x^\prime (x)+y^\prime (y)\).
Viceversa, prendi \(x^\prime \in X^\prime\) e \(y^\prime \in Y^\prime\), e fai vedere che il funzionale \((x^\prime \otimes y^\prime)(x,y):=x^\prime (x)+y^\prime (y)\) è in \((X\times Y)^\prime\).
Inoltre, tieni presente che se su \(Z:=X\times Y\) metti la norma \(\| \cdot \|_Z:= \| \cdot \|_X+\| \cdot \|_Y\), allora su \(Z^\prime = (X\times Y)^\prime\) ci va la norma \(\| \cdot \|_{Z^\prime} := \max \{ \|\cdot \|_{X^\prime} , \| \cdot \|_{Y^\prime}\}\).
Prendi un funzionale \(z\in (X\times Y)^\prime\) e mostra che esistono due funzionali, uno in \(x^\prime \in X^\prime\) e l'altro in \(y^\prime \in Y^\prime\), tali che \(z^\prime (x,y)=x^\prime (x)+y^\prime (y)\).
Viceversa, prendi \(x^\prime \in X^\prime\) e \(y^\prime \in Y^\prime\), e fai vedere che il funzionale \((x^\prime \otimes y^\prime)(x,y):=x^\prime (x)+y^\prime (y)\) è in \((X\times Y)^\prime\).
Inoltre, tieni presente che se su \(Z:=X\times Y\) metti la norma \(\| \cdot \|_Z:= \| \cdot \|_X+\| \cdot \|_Y\), allora su \(Z^\prime = (X\times Y)^\prime\) ci va la norma \(\| \cdot \|_{Z^\prime} := \max \{ \|\cdot \|_{X^\prime} , \| \cdot \|_{Y^\prime}\}\).
Infatti so che si tratta di un'ovvietà! Tuttavia il mio problema è capire quale sia il funzionale nel duale del prodotto cartesiano dato un funzionale in X' e uno in Y'. Difatti noto che tu hai tirato in ballo un prodotto tensoriale credo, del quale ahimè, al momento, non so nulla. Mi sto sbagliando o si tratta effettivamente di un prodotto tensoriale?
Lascia stare la notazione... L'ho scritto esplicitamente quale funzionale considerare, i.e. \(x^\prime (x)+y^\prime (y)\); che poi l'abbia "chiamato" \((x^\prime \otimes y^\prime) (x,y)\) non è importante: l'avrei potuto chiamare anche \(\operatorname{Paperino}(x,y)\) e non sarebbe cambiato nulla.
Perdonami, ho alimentato una discussione inutile. Mi ero convinto che avessi a che fare con dei tensori lavorando in quel duale. Ho letto la definizione di tensore, che pensavo di conoscere, e mi sono accorto che non è così. Poi tu usando quella notazione hai alimentato i miei dubbi. Tanto trambusto per niente, scusami ancora e grazie.
Credo di no.
Infatti, se non ricordo male, il prodotto tensoriale di due funzionali \(x^\prime \in X^\prime\) e \(y^\prime \in Y^\prime\) è definito ponendo:
\[
(x^\prime \otimes y^\prime)(x,y):=x^\prime (x)\cdot y^\prime (y)\; \ldots
\]
Però tu avrai queste cose più fresche di me, che le ho studiate 7-8 anni fa. Quindi fammi sapere...
Se il simbolo che ho usato ti ha causato confusione, mi spiace: potresti sostituirlo con \(x^\prime \oplus y^\prime\), ad esempio.
Infatti, se non ricordo male, il prodotto tensoriale di due funzionali \(x^\prime \in X^\prime\) e \(y^\prime \in Y^\prime\) è definito ponendo:
\[
(x^\prime \otimes y^\prime)(x,y):=x^\prime (x)\cdot y^\prime (y)\; \ldots
\]
Però tu avrai queste cose più fresche di me, che le ho studiate 7-8 anni fa. Quindi fammi sapere...
Se il simbolo che ho usato ti ha causato confusione, mi spiace: potresti sostituirlo con \(x^\prime \oplus y^\prime\), ad esempio.
Ripeto, il problema è sorto dal mio avere scarsa confidenza col calcolo tensoriale! Tu come al solito sei stato gentilissimo però!
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