Serie

[selly7-votailprof]

Qualcuno può aiutarmi?

in un esercizio arrivo a un punto in cui devo risolvere $ sum_(k = 0)^(oo ) (sinc(k/2))^(2) $

nella soluzione viene scritto sfuttando la def di $ sinc(x)=sin(pi x)/ (pi x)$

$sum_(k = 0)^(oo ) (sin(pi k/2)/ (pi k/2))^(2)$ =$ 1+ 8/pi^2sum_(k = 0)^(oo )1/(2k+1)^2 $

non capisco come è avvenuto l'ultimo passaggio, penso che abbia applicatola formula di taylor per il seno ma non riesco a capire come sia arrivato a questo risultato

1+ $ 8/pi^2sum_(k = 0)^(oo )1/(2k+1)^2 $

vi ringrazio.

[gugo82]

Ha solamente esplicitato i seni.

Quanto fa \(\operatorname{sinc} (\pi k/2)\) per \(k=0,1,2,3,4,5,\ldots\)?

[selly7-votailprof]

$ sinc(kpi/2)={(1 ...k=0),(2/pi .... k=1),(0 ... k=2),(-2/(3pi) ...k=3),(0 ...k=4), (2/(5pi)...k=5):} $

e così via... ma non è una cosa periodica i valori della sinc vanno come 1/x^2

ma non capisco comunque come si arrivi a quel risultato..

[gugo82]

Hai:
\[
\operatorname{sinc} \left( \frac{k}{2}\right) = \begin{cases} 1 &\text{, se } k=0\\
\frac{(-1)^h 2}{\pi\ (2h+1)} &\text{, se } k=2h+1 \text{ con } h\geq 0\\
0 &\text{, se } k=2h \text{ con } h>0
\end{cases}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\sum_{k=0}^\infty \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{k}{2}\right) &= \operatorname{sinc}^2 ( 0) + \sum_{k=1}^\infty \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{k}{2}\right) \\
&= 1+\sum_{h=0}^\infty \left( \frac{(-1)^h 2}{\pi\ (2h+1)} \right)^2\\
&= 1+ \frac{4}{\pi^2}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{(2h+1)^2}\; ,
\end{split}
\]
che non è la formula che riporti, ma è senz'altro corretta.

[selly7-votailprof]

grazie mille per la disponibilità... non mi è chiarissimo ma provo a ragionarci sù