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[Sessa93]

Ciao tutti,

Ho incontrato questa scrittura:

$ E sube NN, ZZ, QQ, RR $ in $ RR $

È un modo per scrivere: $ E sube RR $ ??

[gugo82]

Probabilmente è un modo per dire che, immaginando \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) (perchè in realtà tali insiemi sono troppo "diversi" per essere davvero contenuti l'uno nell'altro), \(E\subseteq \mathbb{N}\) implica che \(E\) è contenuto in tutti gli altri insiemi numerici della catena.

Per interpretare in maniera più convincente, servirebbe un po' di contesto in più oppure un riferimento bibliografico preciso.

[Sessa93]

Praticamente l'ho trovato come premessa a un insieme di esercizi in cui si chiede di individuare l'estremo inferiore/superiore e il massimo/minimo di un insieme $ E $
Per esempio: $ E = {x in NN | 0 < x < 20} $

[gugo82]

Mmm... Probabilmente, allora, significa che devi individuare gli estremi dell'insieme \(E\) pensandolo, di volta in volta, come sottoinsieme di \(\mathbb{N}\), di \(\mathbb{Z}\), di \(\mathbb{Q}\) o di \(\mathbb{R}\).

[Sessa93]

Se ho capito bene per $ E = {x in NN|0

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Segnala

[gugo82]

Probabile, anche se non è l'unica interpretazione.

Può darsi che voglia dire di studiare gli estremi in \(\mathbb{R}\) degli insiemi:
\[
\begin{split}
E_\mathbb{N} &:= \{ x\in \mathbb{N}:\ 0 E_\mathbb{Z} &:= \{ x\in \mathbb{Z}:\ 0 E_\mathbb{Q} &:= \{ x\in \mathbb{Q}:\ 0 E_\mathbb{R} &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ 0 \end{split}
\]
che sono tutti contenuti in \(\mathbb{R}\), ma sono diversi tra loro. Chi può dirlo!?!...

Dovresti chiedere a chi ha scritto l'esercizio.

[Sessa93]

Ho il foglio con le soluzioni e per tutti gli esercizi, tipo quello di prima, viene riportata un unica soluzione, penso con buona probabilità che intenda che $ E sube RR $....

Un altra cosa:
se non viene specificato in quale insieme $ E $ sia contenuto e ho un esercizio del tipo:
$ E = {x in QQ|0 < x < sqrt(2)} $ non è un pò ambiguo?
cioè se $ E sube QQ $ allora infE = 0 ma supE non esiste
ma se $ E sube RR $ allora infE = 0 e supE = $ sqrt(2) $
Giusto??

[ZetaFunction1]

"gugo82":Probabilmente è un modo per dire che, immaginando \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) (perchè in realtà tali insiemi sono troppo "diversi" per essere davvero contenuti l'uno nell'altro)

Mi ha incuriosito questa affermazione... come mai?

[gugo82]

@ Sessa93:

"Sessa93":Ho il foglio con le soluzioni e per tutti gli esercizi, tipo quello di prima, viene riportata un unica soluzione, penso con buona probabilità che intenda che $ E sube RR $...

Probabile.

"Sessa93":Un'altra cosa:
se non viene specificato in quale insieme $ E $ sia contenuto e ho un esercizio del tipo:
$ E = {x in QQ|0 < x < sqrt(2)} $ non è un pò ambiguo?
cioè se $ E sube QQ $ allora infE = 0 ma supE non esiste
ma se $ E sube RR $ allora infE = 0 e supE = $ sqrt(2) $
Giusto??

Esatto.

@ Zetafunction:

"ZetaFunction":[quote="gugo82"]Probabilmente è un modo per dire che, immaginando \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) (perchè in realtà tali insiemi sono troppo "diversi" per essere davvero contenuti l'uno nell'altro)

Mi ha incuriosito questa affermazione... come mai?[/quote]
Come mai cosa?
Intendi: "Come mai sono troppo diversi per essere contenuti l'uno nell'altro"?
Se sì, ecco perchè.

Sai che \(\mathbb{N}\) è un insieme che si costruisce a là Peano.

Da \(\mathbb{N}\), introducendo una relazione d'equivalenza \(\sim\) su \(\mathbb{N}^2\), si definisce \(\mathbb{Z}\) come insieme quoziente: in particolare \(\mathbb{Z} = \mathbb{N}\big/ \sim\), quindi gli elementi di \(\mathbb{Z}\) (i.e., i numeri interi) sono classi d'equivalenza di coppie di numeri naturali. Perciò \(\mathbb{N}\) non può essere un sottoinsieme di \(\mathbb{Z}\) nel senso usuale.
Si prova, però, che esiste un sottoinsieme \(N \subset \mathbb{Z}\) isomorfo a \(\mathbb{N}\); perciò, identificando \(\mathbb{N}\) con \(N\) mediante l'isomorfismo citato in precedenza, si scrive con evidente abuso di notazione \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\).

Da \(\mathbb{Z}\), introducendo una relazione d'equivalenza \(\equiv\) su \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^+\), si definisce \(\mathbb{Q}\) come insieme quoziente: in particolare, \(\mathbb{Q}= (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+)\big/ \equiv\), quindi gli elementi di \(\mathbb{Q}\) (i.e., i numeri razionali) sono classi d'equivalenza di coppie di numeri interi, il secondo dei quali positivo. Perciò \(\mathbb{Z}\) non può essere un sottoinsieme di \(\mathbb{Q}\) nel senso usuale.
Tuttavia, come prima, si prova che esiste un sottoinsieme \(Z\subset \mathbb{Q}\) isomorfo a \(\mathbb{Z}\); perciò, identificando \(\mathbb{Z}\) con \(Z\) mediante l'isomorfismo citato, si scrive con evidente abuso di notazione \(\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\) (e quindi \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\)).

Da \(\mathbb{Q}\), introducendo le sezioni di Dedekind in \(\mathcal{P}^2(\mathbb{Q})\), si definisce \(\mathbb{R}\): in particolare, un numero reale è per definizione una coppia di insiemi \((x,\mathbb{Q}\setminus x) \subset \mathcal{P}(\mathbb{Q}) \times \mathcal{P}(\mathbb{Q})\) in cui (1) \(x\subset \mathbb{Q}\) è limitato superiormente ed (eventualmente) privato del suo massimo e (2) \(\mathbb{Q}\setminus x\) è l'insieme dei maggioranti di \(x\). Perciò \(\mathbb{Q}\) non può essere un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) nel senso usuale.
Ma, come sopra, si prova che esiste un sottoinsieme \(Q\subseteq \mathbb{R}\) isomorfo a \(\mathbb{Q}\); pertanto, identificando \(\mathbb{Q}\) con \(Q\) mediante tale isomorfismo, si scrive con evidente abuso di notazione \(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\) (e quindi \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)).

Infine, si definisce \(\mathbb{C}\) come \(\mathbb{R}^2\): in particolare, un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali. Pertanto \(\mathbb{R}\) non può essere un sottoinsieme di \(\mathbb{C}\) nel senso usuale del termine.
Come prima, però, si prova che esiste un sottoinsieme \(R\subset \mathbb{C}\) isomorfo a \(\mathbb{R}\); identificando \(\mathbb{R}\) con \(R\) attraverso l'isomorfismo suddetto, si scrive con evidente abuso di notazione \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\) (e dunque \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)).

[ZetaFunction1]

Dopo questa risposta non mi sono potuto connettere per un periodo, e la persi di vista. Lascio a gugo i miei ringraziamenti ritardatari.

[gugo82]

"ZetaFunction":Dopo questa risposta non mi sono potuto connettere per un periodo, e la persi di vista. Lascio a gugo i miei ringraziamenti ritardatari.

Prego, figurati.