Aiuto esercizi limiti
Ciao a tutti, ho un problema con la risoluzione di alcuni esercizi banali 
Esercizio 1:
$lim_(x\to\+\infty)ln(x+2)/ln(x)$.
Ho pensato ad una cosa banalissima: usando la proprieta' dei logaritmi scompongo il numeratore in:
$lim_(x\to\+\infty)(ln(x)ln(2))/ln(x) = lim_(x\to\+\infty)ln(2) = ln(2)$. Ris. del libro: $1$.
Non capisco dove ho sbagliato. Ho applicato male le proprieta' dei log?
Secondo esercizio:
$lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x)$. Sono uguali, ho usato lo stesso procedimento ma nulla.
$lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x) = lim_(x\to\+\infty)(ln(1)ln(sqrt(x)))/ln(sqrt(x)^2) = lim_(x\to\+\infty)(ln(1)ln(sqrt(x)))/(2ln(sqrt(x)))$
$lim_(x\to\+\infty)(ln(1))/2 = 0/1 = 0$ Ma il risultato è $0$.
La conclusione e' semplice: Ho sbagliato metodo ma credendo di aver applicato bene una proprieta' corretta non capisco dove st al'errore.
Nel secondo caso ho provato pure approcci diversi, ad esempio ho pensato ai limiti notevoli:
$lim_(x\to0)ln(x+1)/x=1$, come prima cosa faccio il cambio di variabile: $y=1/x$ quindi avro' che $y\to0$ e quindi rescrivo $lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x)$ come:
$lim_(y\to\0)ln(1+sqrt(1/y))/ln(1/y)$, in questo caso ho pensato di dividere il numeratore e denominatore così:
$lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/(ln(1/y)/sqrt(1/y)) = lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/(ln(1/y+1-1)/sqrt(1/y))=lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/(ln(1/y+1)/((ln(1))/sqrt(1/y)))$
$lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/((ln(1/y+1)/(1/y))/((ln(1))/(sqrt(1/y)(1/y))))$ .. direi k non è il procedimento giusto, mi sembra di infognarmi ricorsivamente!
-ho anche pensato di scrivere il limite così:
$lim_(x\to\infty)e^ln(1+sqrt(x))/e^ln(x) = (1+sqrt(x))/x$... aiutooo
Esercizio 1:
$lim_(x\to\+\infty)ln(x+2)/ln(x)$.
Ho pensato ad una cosa banalissima: usando la proprieta' dei logaritmi scompongo il numeratore in:
$lim_(x\to\+\infty)(ln(x)ln(2))/ln(x) = lim_(x\to\+\infty)ln(2) = ln(2)$. Ris. del libro: $1$.
Non capisco dove ho sbagliato. Ho applicato male le proprieta' dei log?
Secondo esercizio:
$lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x)$. Sono uguali, ho usato lo stesso procedimento ma nulla.
$lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x) = lim_(x\to\+\infty)(ln(1)ln(sqrt(x)))/ln(sqrt(x)^2) = lim_(x\to\+\infty)(ln(1)ln(sqrt(x)))/(2ln(sqrt(x)))$
$lim_(x\to\+\infty)(ln(1))/2 = 0/1 = 0$ Ma il risultato è $0$.
La conclusione e' semplice: Ho sbagliato metodo ma credendo di aver applicato bene una proprieta' corretta non capisco dove st al'errore.
Nel secondo caso ho provato pure approcci diversi, ad esempio ho pensato ai limiti notevoli:
$lim_(x\to0)ln(x+1)/x=1$, come prima cosa faccio il cambio di variabile: $y=1/x$ quindi avro' che $y\to0$ e quindi rescrivo $lim_(x\to\+\infty)ln(1+sqrt(x))/ln(x)$ come:
$lim_(y\to\0)ln(1+sqrt(1/y))/ln(1/y)$, in questo caso ho pensato di dividere il numeratore e denominatore così:
$lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/(ln(1/y)/sqrt(1/y)) = lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/(ln(1/y+1-1)/sqrt(1/y))=lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/(ln(1/y+1)/((ln(1))/sqrt(1/y)))$
$lim_(y\to\0)(ln(1+sqrt(1/y))/sqrt(1/y))/((ln(1/y+1)/(1/y))/((ln(1))/(sqrt(1/y)(1/y))))$ .. direi k non è il procedimento giusto, mi sembra di infognarmi ricorsivamente!
-ho anche pensato di scrivere il limite così:
$lim_(x\to\infty)e^ln(1+sqrt(x))/e^ln(x) = (1+sqrt(x))/x$... aiutooo
Risposte
Ciao. Nei primi due approcci hai fatto uno stesso errore (gli altri non li ho ancora guardati perchè sono un po' di corsa), questo:
La proprietà (corretta) cui sembra tu voglia fare riferimento è questa: $log (AB)=log A + log B$ , e non quella (falsa) per cui $log(A+B)=log A * log B$.
Ti conviene secondo me fare: $log(x+2)=log[x(1+2/x)]=log x + log(1+2/x)$ , eccetera. Oppure usi De L'Hopital.
EDIT: nell'ultima parte invece l'errore consiste nel far riferimento ad un limite notevole che qua è inapplicabile. Nel limite che citi e a cui vorresti appellarti, l'argomento del $log$ tende ad $1$ , in quello che devi risolvere invece tende a $+infty$ ; non c'è sostituzione che cambi questa sostanza dei fatti.
"BoG":
usando la proprieta' dei logaritmi scompongo il numeratore in:
$lim_(x\to\+\infty)(ln(x)ln(2))/ln(x) = $...
La proprietà (corretta) cui sembra tu voglia fare riferimento è questa: $log (AB)=log A + log B$ , e non quella (falsa) per cui $log(A+B)=log A * log B$.
Ti conviene secondo me fare: $log(x+2)=log[x(1+2/x)]=log x + log(1+2/x)$ , eccetera. Oppure usi De L'Hopital.
EDIT: nell'ultima parte invece l'errore consiste nel far riferimento ad un limite notevole che qua è inapplicabile. Nel limite che citi e a cui vorresti appellarti, l'argomento del $log$ tende ad $1$ , in quello che devi risolvere invece tende a $+infty$ ; non c'è sostituzione che cambi questa sostanza dei fatti.
Per il secondo ti basta notare che il denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore, quindi il risultato è necessariamente $0$.
"BoG":A me in ogni caso risulta $1/2$.
Ma il risultato è $0$.
Il secondo limite viene $1/2$.
Il motivo è che $log(1+sqrtx) \sim log(sqrtx) =1/2 log(x)$
edit:Palliit
Il motivo è che $log(1+sqrtx) \sim log(sqrtx) =1/2 log(x)$
edit:Palliit
"Demostene92":
Per il secondo ti basta notare che il denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore, quindi il risultato è necessariamente $0$.
Il secondo esercizio ha come soluzione $1/2$ (sul libro).
Ho pensato pure io a cio' che dici tu...
"Palliit":.
EDIT: nell'ultima parte invece l'errore consiste nel far riferimento ad un limite notevole che qua è inapplicabile. Nel limite che citi e a cui vorresti appellarti, l'argomento del $log$ tende ad $1$ , in quello che devi risolvere invece tende a $+infty$ ; non c'è sostituzione che cambi questa sostanza dei fatti.
Ero sicuro di aver visto usare la sostituzione di variabili per riportarsi ad un limite notevole, allo stesso modo ...
"Gi8":
Il secondo limite viene $1/2$.
Il motivo è che $log(1+sqrtx) \sim log(sqrtx) =1/2 log(x)$
a questo avevo pensato pero' siccome non lo abbiamo visto a lezione pensavo di rischiare che non fosse convalidato come passaggio!
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