Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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sono arrivato a trovare, alla fine di un esercizio di meccanica, questa equazione differenziale
$dy/((1/\rho_0+k/c^2)*cos(y)-k/c^2)^2 = c dx$ dove $\rho_0$,$c$,$k$ sono tutte costanti positive
l'esercizio mi chiede se si riesce a trovare $y(x)$ mediante funzioni elementari, e ovviamente, con una domanda simile, la risposta è certamente no. infatti ho provato vari tentativi, e i conti vengono un macello.
quello che volevo sapere era se c'era un modo, oltre il "i conti ...
Dobbiamo studiare il carattere della serie
$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n)cos(\pi/2 - 1/n)$
Riscriviamo la serie data come:
$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n)a_n$ Sostituzione: $a_n=cos(\pi/2 - 1/n)$
E’ una serie a segni alterni. Se analizziamo qualche termine della successione an, scopriamo che l’argomento del coseno è sempre positivo (o nullo) e varia tra $(\pi/2 – 1)$ e $(\pi/2)$. Per questi valori, il coseno è positivo.
$lim_(n->+oo)(a_n) -> lim_(n->+oo)(cos(\pi/2 - 1/n)=0$
Quindi la successione è convergente a 0, cosa che va ad affiancarsi al fatto di ...
$ f(x,y)=(x^2+y^2)^(-1/2) $ da integrare nel dominio
$ x^2+y^2>=1 ; x^2+(y-1)^2<=1 $
Il dominio è quello che appare nell'immagine.
Quello che avevo pensato di fare io era porre
$ x=u $ e $ y-1=v $ in modo da centrare in O la seconda parte del dominio poi passare alle coordinate polari e calcolare l'integrale su tutta la circonferenza di raggio 1 e poi proceder per differenza...
il problema è che parametrizzando in questo modo ottengo un dominio estremamente comodo ma una pessima funzione da ...
Salve a tutti
apro questo thread (che e' il primo per me) perche ho difficolta' a capire il concetto di differenziabilita'.
studiando dal libro (marcellini) ho afferrato abbastanza i concetti base della differenziabilita' e ho risolto i primi esercizi che ho trovato sull'eserciziario e non ho trovato difficolta', ma mi sembravano fin troppo meccanici...
allora ho preso qualche esercizio qua e la e le mie convinzioni hanno cominciato a vacillare..
propongo un esercizio:
$f(x,y)=[cos(x(x+y))-cos(x)]/x$
devo ...
testo dell'esercizio:
$A$ intesa come superficie tratteggiata
$ int int_A (y/x)^4 dx dy $
ho pensato di trasformarla in coordinate polari che mi sembra piu semplice e considero solo il pezzo al di sopra delle $x$ in quanto è simmetrico, quindi normale rispetto ad $x$, ottengo
$ -1<rho<-1/2 $ ; $ 0<theta<3/4pi $
l'integrale in polari diventa: $ int int_A ((rhosintheta)/(rhocostheta))^4 drho d theta rarr int_A int ((sintheta)/(costheta))^4 drho d theta rarr int_A int (tantheta)^4 drho d theta $
quindi: $ int^(-1/2)_-1 drho int^(3/4pi)_0 (tantheta)^4 d theta $
ed ora ho dei problemi a risolvere il secondo integrale
vorrei sapere se questo esercizio è risolto correttamente.
ho la seguente serie
$\sum_{n=2}^oo x^n/(n^2-x/n)$
devo verificare se converge su qualche intervallo, e se vi converge puntualmente e uniformemente.
io ho ragionato in questo modo:
ho fatto il limite per $n->+oo$ di $x^n/(n^2-x/n)$ ottenendo che la successione tende a $x^n$. ciò vuol dire che per $0<=x<1$ tende a zero, per $x=1$ tende a 1 mentre per $x>1$ tende a $+oo$. dunque la ...
Siano $f,f_n:RR->RR$ funzioni, $n\inNN$, tali che:
i) $f_n$ è continua su $RR$ ed è periodica di periodo $T_n>0$, ovvero $f_n(x+T_n)=f_n(x)$ $AAx\inRR$;
ii) $"sup"_(n\inNN)T_n<oo$;
iii) $(f_n)_(n\inNN)$ converge uniformemente a f.
Provare che $f$ è periodica.
Dimostrazione:
So che $f$ è continua su $RR$ perchè limite uniforme di una successione di funzioni continue.
La successione $(T_n)_(n\inNN)$ è ...
Teorema : Siano $f,g :A -> RR $ $AsubeRR. x_0 in Dr(A)$.
Allora
$(EE lim_(x->x_0)f(x)=-\infty , g$ limitata superiormente)$=> ( EE lim_(x->x_0) (f+g)(x)=-infty)$
Ho pensato di dimostrarlo così :
Sia $M in RR$ . Poiché $g$ è limitata superiormente si ha che
$AA x in A : g(x)<=M$ e cioè che $-M<=-g(x) , AA x in A$ (1). Fisso $\epsilon>0$
Poiché $EE lim_(x->x_0)f(x)=-\infty$ in corrispondenza di $\epsilon - M$ $EE U in I_(x_0) : AA x in UnnA , x!=x_0 : f(x)< -(\epsilon+M)=-\epsilon-M$
Per la (1) si ha che
$f(x)<-\epsilon-g(x) => f(x)+g(x)<-\epsilon$ la tesi.
Che ve ne sembra, può andare?
thanks
Non so quanto questo argomento vada bene qui, forse sarebbe più da scuola superiore, ma provo comunque a metterloi n questa sezione. Vi faccio un esempio semplice per chiarire quale è il mio tipo di dubbio.
Prendiamo ad esempio le due disequazioni:
1) $|x-2|<1$
2) $|x-2|>1$
è chiaro come i risultati siano
1) $1<x<3$
2)$x<1 uu x>3$
ma andando a fare i calcoli si ottiene
1) $|x-2|<1$
$x-2<1; x<3$
$-x+2<1; x>1$
2) ...
Ciao a tutti, ho questa funzione
$f(x)=$ $log[(x+1)/sqrt(x-1)]$ Dovendo trovare il dominio, metto a sistema tutte le condizioni della funzione cioè:
$[(x+1)/sqrt(x-1)] >0$ quindi $x<-1 vv x>1$
$sqrt(x-1)!=0$ quindi $x!=1$
$(x-1)>=0$ quindi $x>=1$ quest'ultima con la penultima condizione mi permettono di dire che $x>1$
mettendo sulla rette le condizioni, mi trovo qualcosa del genere:
......-1.........1.......
..+.........-........+..... ...
Ho i seguenti quesiti, spero che mi aiutate a verificarne la correttezza. Mi scuso se ne sono troppi, ma sono relativamente semplici, è per verificare se ho capito appieno.
1) Sia $f : RR->RR$ . $T-$ periodica . Allora $AA n \in NN\\{0}$ f è $nT$ periodica.
Dim : Per induzione.
Se $n=1$ la tesi è banalmente vera. Infatti $f(x+1*T)=f(x+T)=f(x)$
Supponiamo vero il fatto che $f(x+nT)=f(x)$.
E deduciamo che $f(x+(n+1)T)=f(x)$
Abbiamo che ...
$P = [x^2 + y^2 + z^2 <= 1, z>=0, x^2 + y^2 <= z^2}$
Si calcoli
1)il volume di $P$
2) $\int \int \int_P e^z dx dy dz$
Per il primo punto dovrei calcolare $\int \int \int dx dy dz$ come faccio ad essere sicuro se devo usare le coordinate cilindriche o sferiche? Nel senso è lecito usarle entrambe? usando le cilindriche e tendendo conto della matrice jacobiana potremmo dire:
$\int \int \int \rho\ d\rho\ d\theta\ dz$ però ora l'insieme $P$ è diverso, e non ho ben capito come è definito quelo da trovare. Comunque con le cordinate cilindriche ...
Sia $A={x in RR | x=n+3/n , AA n in NN} sube RR$ , trovare l'estremo inferiore , superiore ed eventualmente il massimo e il minimo.
Sono un poco legato nello svolgere questo tipo di esercizi.
Ad occhio $A$ sembra non essere limitato superiormente.
Per mostrarlo, devo provare che $AA M in RR : E x in A : x>M$
cioè , equivalentemente che $AA M in RR : EE n in NN : n+3/n>M$
hO che $n+3/n = (n^2+3)/n >M <=> (n^2+3-nM)/n>0$ Da cui, avrei che $n> (M+\sqrt(M^2-12))/2$ quindi A non è limitato superiormente e $su$pA$=+\infty$ ma onestamente, questo tipo ...
Salve a tutti!
Il teorema di Abel afferma che:
\[\tag{1}
W[y_1,y_2](x)=W[y_1,y_2](x_0)\exp \left (-\int_{x_0}^{x}p(\xi)d\xi \right )
\]
dove:
- \(x_0\) è un qualsiasi punto dell'intervallo di definizione \(I \subseteq \mathbb{R}\)
-\(W[y_1,y_2](x)\) è il wronskiano delle funzioni \(y_1\) e \(y_2\) calcolato in \(x\)
-\(y_1\) e \(y_2\) sono soluzioni della EDO omogenea \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), con \(p\) e \(q\) continue su tutto l'intervallo di definizione \(I ...
ho un dubbio molto piccolo:
se in una generica successione convergente puntualmente devo calcolare la convergenza uniforme, devo trovare il SUP della funzione meno il valore a cui tende puntualmente al variare di x e poi calcolarne il limite tendente a infinito ok fin qui ci siamo, ma, nel fare questo SUP, potendo variare x tra tutti i numero reali, posso porla uguale a N?
grazie
Salve a tutti.
Ho un dubbio riguardo al criterio del confronto asintotico di serie numeriche. Da quello che ho capito il teorema dice che: prese due serie numeriche $\sum_{n=1}^{+\infty}a_k$ e $\sum_{n=1}^{+\infty}b_k$ se la seconda è convergente e allo stesso tempo $\lim_{n \to \infty}(a_k/b_k)=l$ dove l è un numero finito, allora anche la prima è convergente.
Quello che non mi è chiaro è: se $\sum_{n=1}^{+\infty}b_k$ è convergente vuol dire che il suo termine generico è infinitesimo. Quindi come può il limite del ...
Ho questa equazione:
\(\displaystyle 2z^2+Im(z)+Re(z)+3(Im(z))^2=6 \)
posto\(\displaystyle z=a+ib \)l'equazione diventa:
\(\displaystyle 2a^2-2b^2+2abi+b+a+3b^2=6 \)
quindi:
\(\displaystyle 2a^2+b^2+a=6 \)
\(\displaystyle 2ab=0 \)
ma dopo?
Buona sera a tutti, avrei alcune domande sulle dimostrazioni: Siano ${a_n},{b_n}$ due successioni convergenti e siano rispettivamente a e b i limiti delle due successioni; Allora possiamo definire la successione prodotto tale che $lim(a_n*b_n)=a*b $.La successione Quoziente con $lim(a_n)/(b_n)=a/b$ con $limb_n=b!=0$. In entrambi i casi non capisco perché bisogna dimostrare che esiste un c fissato tale che $|a_n*b_n-ab|<c*epsilon$ e tale che $|a_n/b_n-a/b|<c*epsilon$ per ogni n>N dove N è il più grande tra ...
Buongiorno a tutti. Vi espongo il mio problema.
Quando vado a risolvere questo tipo di esercizio mi ritrovo sempre di fronte a forme del tipo : $n_{i+1}=n_{i}+ah[f(x_{i},n_{i})+f(x_{i}+bh, n_{i}+bhf(x_{i},n_{i})]$ questa volta ho di fronte una forma del tipo $n_{i+1}=n_{i}+ah[f(x_{i},n_{i})+bf(x_{i+1}, n_{i+1}]$ ho seri problemi a capire come trasformare la parte $bf(x_{i+1},n_{i+1})$ in una forma come nel problema precedente. So che $x_{i+1}=x_{i}+h$, ma non so come riscrivere $n_{i+1}$. Qualkuno potrebbe gentilmente aiutarmi? grazie in anticipo per l'aiuto. h è il passo. se ...
Ciao a tutti ragazzi.
Volevo fare una domanda "semplice". Nel calcolo degli integrali è lecito moltiplicare numeratore e denominatore per $x/x$ ?
Esempio : In questo integrale che non so come trattare
$\int 1/(x^3+1/x) dx$
posso moltiplicare per per $x/x$ in questo modo
$\int x/x * 1/(x^3+1/x) dx$
per ottenere
$\int x/(x^4+1) dx $
che è molto più semplice da risolvere. Posso farlo?
Se si, posso sempre fare questo passaggio o in questo esempio è un caso particolare? Grazie
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