Continuità funzione limite serie di potenze
Sia $f:(-R,R)->RR$ la funzione $f(x)=\sum_{n=0}^(oo) a_nx^n$, $x\in(-R,R)$, dove $0
Innanzitutto avevo pensato di mostrare che $f\inC^0(-R,R)$ osservando che è somma (infinita) di funzioni continue (polinomi) e dunque è una funzione continua; già qui però arrivano i primi problemi perchè essendo la somma infinita non sono sicuro che valga questo discorso. Come posso procedere?
Innanzitutto avevo pensato di mostrare che $f\inC^0(-R,R)$ osservando che è somma (infinita) di funzioni continue (polinomi) e dunque è una funzione continua; già qui però arrivano i primi problemi perchè essendo la somma infinita non sono sicuro che valga questo discorso. Come posso procedere?
Risposte
Ci sono teoremi che ti dicono precisamente in che modo una serie di potenze converge nel suo intervallo di convergenza... Li hai studiati?
Ho visto il criterio di Abel che dice che se la serie di potenze $\sum_{n=0}^(oo) a_nx^n$ converge nel punto $x_0\inRR$ allora converge uniformemente sul segmento $[0,x_0]={lambdax_0\inRR:lambda\in[0,1]}$.
Da questo deduco che fissati $a,b\inRR$ tali che $-R
EDIT: inoltre so che $AAx\in(-R,R)$ la serie $\sum_{n=0}^(oo) a_nx^n$ converge assolutamente, ovvero converge la serie $\sum_{n=0}^(oo) |a_nx^n|=\sum_{n=0}^(oo) |a_n||x|^n$.
Da questo deduco che fissati $a,b\inRR$ tali che $-R
EDIT: inoltre so che $AAx\in(-R,R)$ la serie $\sum_{n=0}^(oo) a_nx^n$ converge assolutamente, ovvero converge la serie $\sum_{n=0}^(oo) |a_nx^n|=\sum_{n=0}^(oo) |a_n||x|^n$.
Sai che la continuità è una proprietà locale (nel senso che va verificata "punto per punto" in un insieme), così come la differenzibilità.
Ora, un notevole teorema ti assicura che se una successione di funzioni continue converge uniformemente in un compatto, allora la funzione limite è un funzione continua in quello stesso compatto. In particolare, se la successione di funzioni considerata è quella delle somme parziali di una serie di funzioni continue che converge totalmente in quel compatto, puoi tranquillamente affermare che la somma della serie è continua lì dentro.
Questo ti consente di dire che, comunque fissi un punto \(x\in ]-R,R[\) e comunque scegli un intorno \([a,b]\) di \(x\) contenuto in \(]-R,R[\), la serie di potenze \(\sum a_nx^n\) converge verso una funzione continua in \([a,b]\) la quale è in particolare continua in \(x\): infatti la serie \(\sum a_nx^n\) converge totalmente in \([a,b]\) ed è fatta da funzioni continue.
Dato che per ogni punto \(x\in ]-R,R[\) è possibile determinare un intorno compatto con le proprietà di cui sopra, hai assicurata la continuità della somma in ogni punto di \(]-R,R[\).
Lo stesso discorso vale per la differenziabilità: perchè?
Infine, se la serie di potenze converge in uno degli eventuali punti di bordo \(\pm R\), perdi la convergenza totale e, senza conoscere la teoria, non potresti più dire nulla sulla continuità della somma in tali punti.
Tuttavia, supposto per fissare le idee che la serie converga in \(R\), un notevole teorema di Abel ti assicura che la serie \(\sum a_nx^n\) converge uniformemente (ma non totalmente!) in ogni intorno del tipo \([a,R]\) con \(a\in ]-R,R[\); pertanto la somma della serie è continua in \([a,R]\) ed, in particolare, è continua in \(R\).
[Mutatis mutandis, il ragionamento vale anche in \(-R\), se la serie converge anche lì.]
Ora, un notevole teorema ti assicura che se una successione di funzioni continue converge uniformemente in un compatto, allora la funzione limite è un funzione continua in quello stesso compatto. In particolare, se la successione di funzioni considerata è quella delle somme parziali di una serie di funzioni continue che converge totalmente in quel compatto, puoi tranquillamente affermare che la somma della serie è continua lì dentro.
Questo ti consente di dire che, comunque fissi un punto \(x\in ]-R,R[\) e comunque scegli un intorno \([a,b]\) di \(x\) contenuto in \(]-R,R[\), la serie di potenze \(\sum a_nx^n\) converge verso una funzione continua in \([a,b]\) la quale è in particolare continua in \(x\): infatti la serie \(\sum a_nx^n\) converge totalmente in \([a,b]\) ed è fatta da funzioni continue.
Dato che per ogni punto \(x\in ]-R,R[\) è possibile determinare un intorno compatto con le proprietà di cui sopra, hai assicurata la continuità della somma in ogni punto di \(]-R,R[\).
Lo stesso discorso vale per la differenziabilità: perchè?
Infine, se la serie di potenze converge in uno degli eventuali punti di bordo \(\pm R\), perdi la convergenza totale e, senza conoscere la teoria, non potresti più dire nulla sulla continuità della somma in tali punti.
Tuttavia, supposto per fissare le idee che la serie converga in \(R\), un notevole teorema di Abel ti assicura che la serie \(\sum a_nx^n\) converge uniformemente (ma non totalmente!) in ogni intorno del tipo \([a,R]\) con \(a\in ]-R,R[\); pertanto la somma della serie è continua in \([a,R]\) ed, in particolare, è continua in \(R\).
[Mutatis mutandis, il ragionamento vale anche in \(-R\), se la serie converge anche lì.]
Grazie!
Vorrei ora provare che la funzione $f$ è addirittura di classe $C^(oo)$.
Pensavo di utilizzare il teorema dello scambio di derivata e somma.
Teorema:
Sia data $f_n:I->RR$, $n\inNN$ una successione di funzioni derivabili. Supponiamo che:
i) Esiste un punto $x_0\inI$ tale che converga la serie $\sum_{n=1}^(oo) f_n(x_0)$;
ii) La serie delle derivate $\sum_{n=1}^(oo) f_n'(x)$ converge uniformemente su $I$;
Allora la serie di funzioni $\sum_{n=1}^(oo) f_n(x)$ converge uniformemente su $I$, definisce una funzione derivabile, ed inoltre $d/(dx)\sum_{n=1}^(oo) f_n(x)=\sum_{n=1}^(oo) d/(dx)(f_n(x))$.
Nel mio caso $I=(-R,R)$ ed $R>0$ è il raggio di convergenza dunque sicuramente esiste $x_0\inI$ tale che converga la serie $\sum_{n=1}^(oo) f_n(x_0)$.
Se riuscissi a mostrare che la serie delle derivate $\sum_{n=1}^(oo) a_n*nx^(n-1)$ converge uniformemente su $I$ sarei praticamente a posto, ma del fatto che quest'ultima convergenza valga non sono troppo sicuro.
Sto andando fuori strada?
Vorrei ora provare che la funzione $f$ è addirittura di classe $C^(oo)$.
Pensavo di utilizzare il teorema dello scambio di derivata e somma.
Teorema:
Sia data $f_n:I->RR$, $n\inNN$ una successione di funzioni derivabili. Supponiamo che:
i) Esiste un punto $x_0\inI$ tale che converga la serie $\sum_{n=1}^(oo) f_n(x_0)$;
ii) La serie delle derivate $\sum_{n=1}^(oo) f_n'(x)$ converge uniformemente su $I$;
Allora la serie di funzioni $\sum_{n=1}^(oo) f_n(x)$ converge uniformemente su $I$, definisce una funzione derivabile, ed inoltre $d/(dx)\sum_{n=1}^(oo) f_n(x)=\sum_{n=1}^(oo) d/(dx)(f_n(x))$.
Nel mio caso $I=(-R,R)$ ed $R>0$ è il raggio di convergenza dunque sicuramente esiste $x_0\inI$ tale che converga la serie $\sum_{n=1}^(oo) f_n(x_0)$.
Se riuscissi a mostrare che la serie delle derivate $\sum_{n=1}^(oo) a_n*nx^(n-1)$ converge uniformemente su $I$ sarei praticamente a posto, ma del fatto che quest'ultima convergenza valga non sono troppo sicuro.
Sto andando fuori strada?
Ma come non sei sicuro?!?!
Un teorema importantissimo ti assicura che la serie \(\sum a_nx^n\) e la sua serie derivata \(\sum (n+1) a_{n+1} x^n\) hanno addirittura lo stesso raggio di convergenza...
Un teorema importantissimo ti assicura che la serie \(\sum a_nx^n\) e la sua serie derivata \(\sum (n+1) a_{n+1} x^n\) hanno addirittura lo stesso raggio di convergenza...
Giusto...
Potrei utilizzare il criterio di Cauchy Hadamard.
So che il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=0}^(oo) a_nx^n$ è $R$ e dunque so che $1/R=\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n|^(1/n)$, allora $\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n*n|^(1/n)=\lim_{n \to \infty}"sup"(|a_n|^(1/n)*n^(1/n))=\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n|^(1/n)*1=\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n|^(1/n)=1/R$ dunque la serie $\sum_{n=1}^(oo) a_n*nx^(n-1)$ sarà anch'esso $R$.
Al che posso ripetere il ragionamento fatto per mostrare che $f\inC^0$ e mostrare che se $f^(n)\inC^n$ allora $f^(n+1)\inC^(n+1)$ e quindi per induzione ottenere la tesi. Corretto?
Se poi volessi verificare che $a_n=(f^(n)(0))/(n!)$ basterebbe dire che sviluppando in serie di Taylor $f$ in un intorno di $0$ (lo si può fare perchè abbiamo mostrato che $f:I->RR$ è di classe $C^(oo)$) si ottiene $f(x)=\sum_{n=0}^(oo) (f^(n)(0))/(n!)(x-0)^n=\sum_{n=0}^(oo) (f^(n)(0))/(n!)x^n$ e da qui ricavo l'uguaglianza $a_n=(f^(n)(0))/(n!)$?
Potrei utilizzare il criterio di Cauchy Hadamard.
So che il raggio di convergenza della serie $\sum_{n=0}^(oo) a_nx^n$ è $R$ e dunque so che $1/R=\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n|^(1/n)$, allora $\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n*n|^(1/n)=\lim_{n \to \infty}"sup"(|a_n|^(1/n)*n^(1/n))=\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n|^(1/n)*1=\lim_{n \to \infty}"sup"|a_n|^(1/n)=1/R$ dunque la serie $\sum_{n=1}^(oo) a_n*nx^(n-1)$ sarà anch'esso $R$.
Al che posso ripetere il ragionamento fatto per mostrare che $f\inC^0$ e mostrare che se $f^(n)\inC^n$ allora $f^(n+1)\inC^(n+1)$ e quindi per induzione ottenere la tesi. Corretto?
Se poi volessi verificare che $a_n=(f^(n)(0))/(n!)$ basterebbe dire che sviluppando in serie di Taylor $f$ in un intorno di $0$ (lo si può fare perchè abbiamo mostrato che $f:I->RR$ è di classe $C^(oo)$) si ottiene $f(x)=\sum_{n=0}^(oo) (f^(n)(0))/(n!)(x-0)^n=\sum_{n=0}^(oo) (f^(n)(0))/(n!)x^n$ e da qui ricavo l'uguaglianza $a_n=(f^(n)(0))/(n!)$?
Beh, dovresti aver provato un teorema di unicità dello sviluppo in serie per trarre questa conclusione.
Non è più semplice fare un calcolo esplicito?
Voglio dire, hai:
\[
f^{(N)}(x) = \sum_{n=N}^\infty \frac{n!}{(n-N)!}\ a_n x^{n-N}
\]
quindi quanto vale \(f^{(N)}(0)\)?
P.S.: Ma da dove le stai studiando queste cose?
Non è più semplice fare un calcolo esplicito?
Voglio dire, hai:
\[
f^{(N)}(x) = \sum_{n=N}^\infty \frac{n!}{(n-N)!}\ a_n x^{n-N}
\]
quindi quanto vale \(f^{(N)}(0)\)?
P.S.: Ma da dove le stai studiando queste cose?
Tornando un secondo al problema di come dimostrare la continuità, anzichè scomodare il teorema che dici tu che ci garantisce l'uniforme continuità su ogni compatto contenuto in $(-R,R)$ potrei usare il criterio di Abel che dice che se la serie di potenze converge in $x_0$ allora converge uniformemente sull'intervallo $[0,x_0]$ giusto?
Dopodichè come abbiamo detto, dall'uniforme convergenza di una serie di funzioni continue otteniamo la continuità della funzione limite.
Invece per quanto riguarda il calcolo esplicito di $a_n$ ho che vale la tua formula per $f^(N)(x)$ (*) (lo posso mostrare per induzione) e dunque $f^(N)(0)=\sum_{n=N}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_nx^(n-N)=N!*a_N+\sum_{n=N+1}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_n0^(n-N)=N!*a_N+0=N!*a_N$. A posto vero?
Comunque la teoria la sto studiando sul De Marco ma questi sono esercizi in preparazione all'esame, non sono presi dal libro
(*) Quello che non mi è chiaro è perchè l'indice della sommatoria parta da $N$ e non da $0$...
Dopodichè come abbiamo detto, dall'uniforme convergenza di una serie di funzioni continue otteniamo la continuità della funzione limite.
Invece per quanto riguarda il calcolo esplicito di $a_n$ ho che vale la tua formula per $f^(N)(x)$ (*) (lo posso mostrare per induzione) e dunque $f^(N)(0)=\sum_{n=N}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_nx^(n-N)=N!*a_N+\sum_{n=N+1}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_n0^(n-N)=N!*a_N+0=N!*a_N$. A posto vero?
Comunque la teoria la sto studiando sul De Marco ma questi sono esercizi in preparazione all'esame, non sono presi dal libro
(*) Quello che non mi è chiaro è perchè l'indice della sommatoria parta da $N$ e non da $0$...
"thedarkhero":
Tornando un secondo al problema di come dimostrare la continuità, anzichè scomodare il teorema che dici tu che ci garantisce l'uniforme continuità su ogni compatto contenuto in $(-R,R)$ potrei usare il criterio di Abel che dice che se la serie di potenze converge in $x_0$ allora converge uniformemente sull'intervallo $[0,x_0]$ giusto?
Dopodichè come abbiamo detto, dall'uniforme convergenza di una serie di funzioni continue otteniamo la continuità della funzione limite.
Beh, sì... Tanto siamo sempre lì.
"thedarkhero":
Invece per quanto riguarda il calcolo esplicito di $a_n$ ho che vale la tua formula per $f^(N)(x)$ (*) (lo posso mostrare per induzione) e dunque $f^(N)(0)=\sum_{n=N}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_nx^(n-N)=N!*a_N+\sum_{n=N+1}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_n0^(n-N)=N!*a_N+0=N!*a_N$. A posto vero?
Certo.
"thedarkhero":
Comunque la teoria la sto studiando sul De Marco ma questi sono esercizi in preparazione all'esame, non sono presi dal libro
Quello che mi pare strano è che queste cose che chiedi non ci siano sul libro, o che tu non le abbia lette (pur facendo già esercizi per l'esame)... Insomma, i teoremi sul raggio di convergenza della serie derivata e sulla regolarità della somma di una serie di potenze credo si trovino sui libri.
"thedarkhero":
(*) Quello che non mi è chiaro è perchè l'indice della sommatoria parta da $N$ e non da $0$...
Prova a scrivere gli addendi.
Sempre sullo stesso argomento, un esercizio teorico più difficile (poiché presuppone la conoscenza delle serie doppie) è il seguente:
Siano \(\sum a_nx^n\) una serie di potenze con raggio di convergenza \(\rho:=\rho (0) >0\) ed \(f\) la sua somma.
Dimostrare che \(f\) è analitica in \(]-\rho ,\rho[\).
In altre parole, provare che per ogni punto \(x_0\in ]-\rho ,\rho[\) esiste una serie di potenze \(\sum \alpha_n (x-x_0)^n\) con raggio di convergenza \(\rho (x_0)\geq \min \{ \rho -x_0, x_0+\rho\}>0\) tale che:
\[
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \alpha_n (x-x_0)^n
\]
per \(x\in ]x_0-\rho (x_0),x_0+\rho (x_0))[\cap ]-\rho,\rho[\).
Un esercizio un po' più immediato è il seguente:
Sia \(f\) una funzione di classe \(C^\infty(I)\), ove \(I\) è un intervallo aperto.
Dimostrare che \(f\) è analitica in \(I\) (i.e., che per ogni \(x_0\in I\) esiste una serie di potenze \(\sum \alpha_n (x-x_0)^n\) con raggio di convergenza \(\rho (x_0) >0\) tale che \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) per \(x\in ]x_0-\rho(x_0), x_0+\rho(x_0)[\subseteq I\)), se e solo se per ogni compatto \([a,b]\subset I\) esistono due costanti \(M\geq 0\) ed \(r>0\) tali che:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad \sup_{x\in [a,b]}|f^{(n)}(x)|\leq M\ r^n\ n!\; .
\]
"gugo82":
Quello che mi pare strano è che queste cose che chiedi non ci siano sul libro, o che tu non le abbia lette (pur facendo già esercizi per l'esame)... Insomma, i teoremi sul raggio di convergenza della serie derivata e sulla regolarità della somma di una serie di potenze credo si trovino sui libri.
I due teoremi che citi non si trovano sul mio libro, l'esercizio che ho proposto consisteva proprio nel dimostrare la regolarita della serie di potenze.
Un ultimo dettaglio tecnico...una volta che ho provato che la serie delle derivate ha raggio di convergenza $R$ e definisce una funzione continua $g$ ho usato il teorema di scambio di derivata e somma per provare che questa funzione che ho chiamato $g$ è proprio $f'$ cioè la derivata di $f$.
Teorema di scambio di derivata e somma:
Sia $f_n:I->RR$, $n\inNN$, una successione di funzioni derivabili.
Supponiamo che:
i) esista un punto $x_0\inI$ tale che converga la serie $\sum_{n=1}^(oo) f_n(x_0)$;
ii) la serie delle derivate $\sum_{n=1}^(oo) f_n'(x)$ converga uniformemente in I.
Allora $d/(dx)\sum_{n=1}^(oo) f_n(x)=\sum_{n=1}^(oo) f_n'(x)$.
Questo teorema lo posso usare se scelgo come intervallo $I$ un intervallo strettamente contenuto in $(-R,R)$ perchè allora so che c'è convergenza uniforme ma per poter portare a termine la mia dimostrazione, cioè mostrare che $g=f'$ dovrei mostrare che questo è vero su tutto l'intervallo $(-R,R)$. Come posso risolvere la questione?
Beh, è:
\[
]-R,R[=\bigcup_{n> \nu} \left[ -R+\frac{1}{n}, R-\frac{1}{n}\right]
\]
con \(\nu =\frac{1}{2R}\), quindi...
\[
]-R,R[=\bigcup_{n> \nu} \left[ -R+\frac{1}{n}, R-\frac{1}{n}\right]
\]
con \(\nu =\frac{1}{2R}\), quindi...
Ok, quindi se $f'=g$ su ogni compatto contenuto in $(-R,R)$ allora l'uguaglianza vale su tutto $(-R,R)$.
Grazie di tutto
Grazie di tutto
Riscrivendomi "in bella" questa dimostrazione mi è venuto un altro dubbio...
In questo passaggio ho dato per buono che $0^0=1$ invece dovrebbe essere una quantità indeterminata...quindi di fatto ho "imbrogliato" per far si che il risultato fosse $N!a_N$. Come posso risolvere questo problema?
"thedarkhero":
Invece per quanto riguarda il calcolo esplicito di $a_n$ ho che vale la tua formula per $f^(N)(x)$ (*) (lo posso mostrare per induzione) e dunque $f^(N)(0)=\sum_{n=N}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_nx^(n-N)=N!*a_N+\sum_{n=N+1}^(oo) (n!)/((n-N)!)a_n0^(n-N)=N!*a_N+0=N!*a_N$. A posto vero?
In questo passaggio ho dato per buono che $0^0=1$ invece dovrebbe essere una quantità indeterminata...quindi di fatto ho "imbrogliato" per far si che il risultato fosse $N!a_N$. Come posso risolvere questo problema?
Quando si scrivono le serie di potenze partendo da zero, si fa sempre la convenzione che il primo termine (che poi sarebbe \(a_0x^0\)) sia sempre uguale ad \(a_0\).
Ah ottimo, non sapevo di questa convenzione. Gentilissimo!
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