Derivabilità di una funzione
Ciao,
qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questo esercizio per favore?
Quello che ho capito io è che la condizione P ci dice solamente che la derivata della funzione è continua in 0. Ciò non vuol dire che è derivabile in 0. Giusto?
Però non riesco a trovare un esempio del genere.
Inoltre il testo dice che la funzione non è derivabile in 0, mentre l'esercizio 2 dice di trovare una condizione che insieme a P faccia sì che esista la derivata prima calcolata in 0. Quello che non capisco qui è: se abbiamo supposto che la funzione f non sia derivabile in 0, come fa ad esistere la derivata prima calcolata in 0?
Mi sto confondendo vero?
Vi ringrazio già per l'aiuto che mi darete
qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questo esercizio per favore?
Quello che ho capito io è che la condizione P ci dice solamente che la derivata della funzione è continua in 0. Ciò non vuol dire che è derivabile in 0. Giusto?
Però non riesco a trovare un esempio del genere.
Inoltre il testo dice che la funzione non è derivabile in 0, mentre l'esercizio 2 dice di trovare una condizione che insieme a P faccia sì che esista la derivata prima calcolata in 0. Quello che non capisco qui è: se abbiamo supposto che la funzione f non sia derivabile in 0, come fa ad esistere la derivata prima calcolata in 0?
Mi sto confondendo vero?
Vi ringrazio già per l'aiuto che mi darete
Risposte
No allora, dobbiamo fare un po di chiarezza, la questione è un po delicata.
Innanzitutto dobbiamo usare una definizione precisa di derivata e di funzione derivata.
Sia $f:A rarr RR$ una funzione reale di variabile reale e sia $x_0$ un punto interno ad A (con interno non intendo contenuto, conosci qualcosa di Topologia?).
f si dice derivabile in $x_0$ se esiste finito il limite
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$. Tale limite si dice derivata di f in $x_0$ e si indica con la notazione $f'(x_0)$
Definiamo ora una funzione $f':B rarr RR$, dove B è l'insieme dei punti di A dove f è derivabile (medita bene su questo, su chi è il dominio della funzione derivata). Tale funzione associa a x la derivata di f in x.
Di conseguenza se la funzione derivata è definita in un punto, necessariamente la funzione f è derivabile in quel punto, per come l'ho costruita io. Nessuno però ci garantisce che la derivata sia continua in quel punto, infatti può anche non esserlo. D'altronde se la funzione derivata non è definita in punto, non ha senso chiedersi se la funzione derivata sia continua in tale punto (la continuità è definita esclusivamente sui punti del dominio).
Per il tuo controesempio ti do un suggerimento: prova a costruire una f con un discontinuità a salto in 0 e vedi che succede. Posta qua i tuoi pensieri e ne parliamo
Innanzitutto dobbiamo usare una definizione precisa di derivata e di funzione derivata.
Sia $f:A rarr RR$ una funzione reale di variabile reale e sia $x_0$ un punto interno ad A (con interno non intendo contenuto, conosci qualcosa di Topologia?).
f si dice derivabile in $x_0$ se esiste finito il limite
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$. Tale limite si dice derivata di f in $x_0$ e si indica con la notazione $f'(x_0)$
Definiamo ora una funzione $f':B rarr RR$, dove B è l'insieme dei punti di A dove f è derivabile (medita bene su questo, su chi è il dominio della funzione derivata). Tale funzione associa a x la derivata di f in x.
Di conseguenza se la funzione derivata è definita in un punto, necessariamente la funzione f è derivabile in quel punto, per come l'ho costruita io. Nessuno però ci garantisce che la derivata sia continua in quel punto, infatti può anche non esserlo. D'altronde se la funzione derivata non è definita in punto, non ha senso chiedersi se la funzione derivata sia continua in tale punto (la continuità è definita esclusivamente sui punti del dominio).
Per il tuo controesempio ti do un suggerimento: prova a costruire una f con un discontinuità a salto in 0 e vedi che succede. Posta qua i tuoi pensieri e ne parliamo
Innanzitutto ti ringrazio,
allora si, punto interno vuol dire che un suo intorno è contenuto nell'insieme.
Riguardo il mio esercizio, ho $f :]-1,1[ \to RR$, derivabile in $]-1, 1[ -{0}$.. Allora ho capito che $f': ]-1, 1[ -{0} \to RR$
quindi $f'$ non può essere continua in 0, perchè 0 non sta nemmeno nel dominio. Allora non so bene $P$ che voglia dire.
controesempio:
$ f(x) = \{(x, if x\ in [0, 1]), (x-2, if x \in [-1;0)):} $
in questo caso $f'(x) = 1 $ quindi sicuramente la condizione $P$ è soddisfatta.. e la derivata prima a destra e a sinistra di 0 sono uguali ad 1. Però $f$ non è continua in 0 e quindi non è derivabile in 0. Questo dimostrerebbe la non sufficienza. Corretto?
invece per la necessarietà non riesco a trovare un esempio. Mi servirebbe una funzione per cui la condizione P non valga, ma esiste lo stesso la derivata f'(0).
Però aspetta mi sto di nuovo confondendo. il fatto che $f$ non sia derivabile in 0, vuol dire che i limiti del rapporto incrementale destro e sinistro non sono uguali. Ma anche se questo accade, può succedere che esiste f' valutabile in 0??
Cavolo mi sa di sì?
Esempio:
$ f(x) = \{(x, if x\ in [0, 1]), (2x-2, if x \in [-1;0)):} $
in questo caso $\lim_{h \to 0^+}\frac(h)(h)=1$
invece: $\lim_{h \to 0^-}\frac(2h-2+2)(h)=2$
Quindi la funzione non è continua in 0 per come l'ho definita e non è derivabile in 0 perchè i limiti dei rapporti incrementali sono diversi, però:
$ f'(x) = \{(1, if x\ in [0, 1]), (2, if x \in [-1;0)):} $
quindi
$ f'(0) = \{(1, if x\ in [0, 1]), (2, if x \in [-1;0)):} $
quindi f non è derivabile in 0, ma esiste la derivata valutata in 0.
Chiedo perdono se ho scritto delle castronerie allucinanti e grazie per l'aiuto
allora si, punto interno vuol dire che un suo intorno è contenuto nell'insieme.
Riguardo il mio esercizio, ho $f :]-1,1[ \to RR$, derivabile in $]-1, 1[ -{0}$.. Allora ho capito che $f': ]-1, 1[ -{0} \to RR$
quindi $f'$ non può essere continua in 0, perchè 0 non sta nemmeno nel dominio. Allora non so bene $P$ che voglia dire.
controesempio:
$ f(x) = \{(x, if x\ in [0, 1]), (x-2, if x \in [-1;0)):} $
in questo caso $f'(x) = 1 $ quindi sicuramente la condizione $P$ è soddisfatta.. e la derivata prima a destra e a sinistra di 0 sono uguali ad 1. Però $f$ non è continua in 0 e quindi non è derivabile in 0. Questo dimostrerebbe la non sufficienza. Corretto?
invece per la necessarietà non riesco a trovare un esempio. Mi servirebbe una funzione per cui la condizione P non valga, ma esiste lo stesso la derivata f'(0).
Però aspetta mi sto di nuovo confondendo. il fatto che $f$ non sia derivabile in 0, vuol dire che i limiti del rapporto incrementale destro e sinistro non sono uguali. Ma anche se questo accade, può succedere che esiste f' valutabile in 0??
Cavolo mi sa di sì?
Esempio:
$ f(x) = \{(x, if x\ in [0, 1]), (2x-2, if x \in [-1;0)):} $
in questo caso $\lim_{h \to 0^+}\frac(h)(h)=1$
invece: $\lim_{h \to 0^-}\frac(2h-2+2)(h)=2$
Quindi la funzione non è continua in 0 per come l'ho definita e non è derivabile in 0 perchè i limiti dei rapporti incrementali sono diversi, però:
$ f'(x) = \{(1, if x\ in [0, 1]), (2, if x \in [-1;0)):} $
quindi
$ f'(0) = \{(1, if x\ in [0, 1]), (2, if x \in [-1;0)):} $
quindi f non è derivabile in 0, ma esiste la derivata valutata in 0.
Chiedo perdono se ho scritto delle castronerie allucinanti e grazie per l'aiuto
"simona111291":
quindi f' non può essere continua in 0, perchè 0 non sta nemmeno nel dominio.
Ottimo
"simona111291":
in questo caso $f'(x)=1$
si capisco ciò che intendi ma in questo caso forse sarebbe meglio specificare meglio. Del tipo $f'(x)=1, AA x in (-1,1)-{0}$ (si lo so sono pignolo
). Ti ricordo infatti che f' non è definita in 0"simona111291":
Questo dimostrerebbe la non sufficienza. Corretto?
Esatto
"simona111291":
invece per la necessarietà non riesco a trovare un esempio
Eh questa è più delicata... provo a sparartela io e lascio a te verificare il perchè funziona
$ f(x)={ ( 0\if x=0 ),( x^2sin(1/x)\if x!=0 ):} $
"simona111291":
il fatto che f non sia derivabile in 0, vuol dire che i limiti del rapporto incrementale destro e sinistro non sono uguali.
potrebbero anche non esistere o esistere non finiti
"simona111291":
Ma anche se questo accade, può succedere che esiste f' valutabile in 0??
No, per quello che dicevamo prima. Se la funzione non è derivabile in un punto la funzione derivata non è definita il quel punto (per costruzione), quindi non puoi valutarla lì
"simona111291":
però:
$ f'(x) = \{(1, if x\ in [0, 1]), (2, if x \in [-1;0)):} $
No qua sbagli, stai definendo la derivata in un punto in cui la f non è derivabile. Se scrivi così stai dicendo che la funzione è derivabile in 0 con derivata uguale a uno. Il modo di procedere è corretto è: capisco dove la funzione è derivabile, metto quell'insieme come dominio della derivata e poi, dove si può, calcolo una espressione analitica per la derivata.
"simona111291":
quindi
$ f'(0) = \{(1, if x\ in [0, 1]), (2, if x \in [-1;0)):} $
Qua non capisco cosa intendi, quella scrittura è priva di senso.
Dall'esempio che hai messo (quello con il seno) non capisco delle cose: si dovrebbe dimostrare che P non è necessaria, quindi che anche se P non è soddisfatta, può succedere che esiste f'(0) in R..
Ma $lim_(h->0)(\frac{h^2 \sin \frac{1}{h}-0 \sin \frac{1}{0}}{h}) =$ indefinito.. perchè $\sin \frac{1}{0}$ è indefinito.. P non è verificata...
Ma f'(0) non esiste lo stesso.. perchè f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} -\cos\frac{1}{h}.. e valutata in 0 è indefinita
In genere quello che non sto capendo per niente è che il testo dice che f non è derivabile in 0.. che può succedere che i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale siano infiniti, diversi, non esistenti etc... ma.. può succedere che f'(0) esista... un esempio di ciò chi è?
Ma $lim_(h->0)(\frac{h^2 \sin \frac{1}{h}-0 \sin \frac{1}{0}}{h}) =$ indefinito.. perchè $\sin \frac{1}{0}$ è indefinito.. P non è verificata...
Ma f'(0) non esiste lo stesso.. perchè f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} -\cos\frac{1}{h}.. e valutata in 0 è indefinita
In genere quello che non sto capendo per niente è che il testo dice che f non è derivabile in 0.. che può succedere che i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale siano infiniti, diversi, non esistenti etc... ma.. può succedere che f'(0) esista... un esempio di ciò chi è?
Quanto vale $f(0)$? Non certo $0sin (1/0)$
Poi commetti ancora lo stesso errore. Il modo di valutare dove una funzione è derivabile non è usare ciecamente le regolette di derivazione e provare a valutare la funzione nei punti strani e vedere che succede. Quella che scrivi è la derivata fuori da 0, perché la stai calcolando usando l'espressione di f fuori da zero. Non ha senso provare a valutarla in 0.
Poi commetti ancora lo stesso errore. Il modo di valutare dove una funzione è derivabile non è usare ciecamente le regolette di derivazione e provare a valutare la funzione nei punti strani e vedere che succede. Quella che scrivi è la derivata fuori da 0, perché la stai calcolando usando l'espressione di f fuori da zero. Non ha senso provare a valutarla in 0.
giusto giusto.. f(0)=0.. scusa.
quindi avrei $\lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0$ perchè il seno è limitato.
Quindi P è verificata..
$f'(x) = { (0, if x=0), (2x \sin \frac{1}{x} -\cos\frac{1}{h}, if x !=0):} $
Quindi f'(0) = 0..
Giusto?
Però questo perchè è un esempio di necessarietà?
Scusa e grazie ancora
quindi avrei $\lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0$ perchè il seno è limitato.
Quindi P è verificata..
$f'(x) = { (0, if x=0), (2x \sin \frac{1}{x} -\cos\frac{1}{h}, if x !=0):} $
Quindi f'(0) = 0..
Giusto?
Però questo perchè è un esempio di necessarietà?
Scusa e grazie ancora
"simona111291":
scusa.
E per cosa, siamo qua per aiutarti
"simona111291":
Quindi $f'(0) = 0$
Giusto?
Si, bene
"simona111291":
Però questo perchè è un esempio di necessarietà?
Lo dicevi tu stessa qua
"simona111291":
Mi servirebbe una funzione per cui la condizione P non valga, ma esiste lo stesso la derivata f'(0).
Qua esiste la derivata in zero. Sapresti spiegare perchè non vale P?
Ho capito.. non vale P perchè $ f'(x) = { (0, if x=0), (2x \sin \frac{1}{x} -\cos\frac{1}{h}, if x !=0):} $
e il coseno a destra e a sinistra di 0 non sappiamo quant'è.. è indefinito.. quindi non sappiamo se i due limiti coincidono.. vero?
e il coseno a destra e a sinistra di 0 non sappiamo quant'è.. è indefinito.. quindi non sappiamo se i due limiti coincidono.. vero?
I due limiti non esistono, P diceva che esistevano finiti e uguali
Perfetto. ho capito. ti ringrazio molto 
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