Algebra dei limiti
Buon pomeriggio a tutti,
ho un dubbio riguardante l'algebra dei limiti che sono sicuro possiate chiarirmi.
Premesso che $lim f(x)*g(x)=lim f(x)*lim g(x)=l_1*l_2$, supponendo che $l_1*l_2=k$, è corretto affermare che $l_1=k/l_2$?
Grazie in anticipo!
ho un dubbio riguardante l'algebra dei limiti che sono sicuro possiate chiarirmi.
Premesso che $lim f(x)*g(x)=lim f(x)*lim g(x)=l_1*l_2$, supponendo che $l_1*l_2=k$, è corretto affermare che $l_1=k/l_2$?
Grazie in anticipo!
Risposte
Domanda posta male.
Cosa sono $l_1$ ed $l_2$? Numeri? Infiniti? Patate?
Cosa sono $l_1$ ed $l_2$? Numeri? Infiniti? Patate?
Mi scuso per la mancanza di chiarezza. Mi riferisco al caso in cui uno tra $l_1$ ed $l_2$ tenda ad infinito e il loro prodotto valga $k in RR$. In tal caso, se la condizione dovesse essere verificata, risulterebbe $l_x=0$. Ma ho il dubbio che sia una castoneria...
In primo luogo attento che non è sempre vero che
\[ \lim f(x) g(x) = \lim f(x) \lim g(x) \]
In generale è vero se esistono (in \( \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \) ) finiti i limiti di \(f \) e \( g \), o se sono entrambi infinito, o uno infinito e l'altro finito. Ma non se uno è infinito e l'altro è zero, o se non esistono.
Prendi ad esempio \( f(x) = (-1)^{[x]} \) e \( g(x) = x (-1)^{[x]} \), dove \( [\cdot] \) denota la parte intera.
\( \lim_{x \to \infty} f(x) \) e \( \lim_{x \to \infty} g(x) \) non esistono perché la funzione oscilla, inoltre sono pure discontinue in \( \mathbb{R} \). Mentre invece \( \lim_{x \to \infty} f(x) g(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty \).
Venendo al tuo caso se \( \ell_1 = \infty \) e \( k \in \mathbb{R} \) allora forzatamente \( \ell_2 = 0 \) pertanto non ha senso ne scrivere \( k/\ell_2 \).... (non si può dividere per zero!) ne spezzare così i limiti, poiché molto spesso in \( \mathbb{R} \) esteso l'espressione \( 0 \cdot \infty \) non è definita[nota]in teoria della misura a volte si definisce come \( 0 \cdot \infty =0 \) per dare senso ad espressioni come \( \sum_{n=0}^{\infty} 0 = 0 \)[/nota]. Pertanto non puoi spezzare il limite se parti dall'ipotesi che \( \ell_1 = \infty \) e \( k \in \mathbb{R} \).
\[ \lim f(x) g(x) = \lim f(x) \lim g(x) \]
In generale è vero se esistono (in \( \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\} \) ) finiti i limiti di \(f \) e \( g \), o se sono entrambi infinito, o uno infinito e l'altro finito. Ma non se uno è infinito e l'altro è zero, o se non esistono.
Prendi ad esempio \( f(x) = (-1)^{[x]} \) e \( g(x) = x (-1)^{[x]} \), dove \( [\cdot] \) denota la parte intera.
\( \lim_{x \to \infty} f(x) \) e \( \lim_{x \to \infty} g(x) \) non esistono perché la funzione oscilla, inoltre sono pure discontinue in \( \mathbb{R} \). Mentre invece \( \lim_{x \to \infty} f(x) g(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty \).
Venendo al tuo caso se \( \ell_1 = \infty \) e \( k \in \mathbb{R} \) allora forzatamente \( \ell_2 = 0 \) pertanto non ha senso ne scrivere \( k/\ell_2 \).... (non si può dividere per zero!) ne spezzare così i limiti, poiché molto spesso in \( \mathbb{R} \) esteso l'espressione \( 0 \cdot \infty \) non è definita[nota]in teoria della misura a volte si definisce come \( 0 \cdot \infty =0 \) per dare senso ad espressioni come \( \sum_{n=0}^{\infty} 0 = 0 \)[/nota]. Pertanto non puoi spezzare il limite se parti dall'ipotesi che \( \ell_1 = \infty \) e \( k \in \mathbb{R} \).
Ti ringrazio per la risposta iper esaustiva. Non capisco però da cosa dedurre che $l_2=0$. La mia idea era che, in generale, una grandezza finita su un infinito tende ovviamente a zero, ma da quanto ho capito ciò non vale nel caso in questione.
"Maglio19":
Ti ringrazio per la risposta iper esaustiva. Non capisco però da cosa dedurre che $l_2=0$.
Allora se poniamo \( \lim f(x)g(x) = k \in \mathbb{R} \) e \( \lim f(x) = + \infty \) e \( \lim g(x) = \ell_2 \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
Dimostriamo che \( \ell_2 = 0 \).
Se \( \ell_2 \in \mathbb{R}^* \) allora puoi dire che \( \lim f(x) g(x) = \lim f(x) \lim g(x) = \ell_2 \cdot \lim f(x) = sgn(\ell_2) \infty \).
Se \( \ell_2 \in \{ \pm \infty \} \) allora abbiamo che \( \lim f(x) g(x) = \lim f(x) \lim g(x) = \pm \infty \)
Dunque se esiste il limite di \( g \) abbiamo forzatamente che \( \ell_2 = 0 \). Ma è sbagliato dire che \( \lim f(x) g(x) = \lim f(x) \lim g(x) \) proprio perché \( \infty \cdot 0 \) non è definito!!
"Maglio19":
La mia idea era che, in generale, una grandezza finita su un infinito tende ovviamente a zero, ma da quanto ho capito ciò non vale nel caso in questione.
No! Vale anche in questo, ma devi stare attento perché a priori non sai se puoi spezzare il limite. Nel senso che non puoi dimostrarlo portando di là il limite perché è falso scrivere quanto segue
\[ \lim f(x) g(x) = k \] allora
\[ \lim g(x) = \frac{k}{\lim f(x) } \]
ed è falso proprio perché facendo questo passaggio stai spezzando il limite in modo illegale.
Anche se è sempre vero che \( \lim k/f(x) = 0 \), con \( \lim f(x) = \infty \) e \( k \) finito.
La cosa falsa è questa: \( \lim k/g(x) = \infty \) con \( \lim g(x) = 0 \) e \(k \) finito. E tu spezzando il limite stai dicendo entrambe le cose! In primo luogo se \( g = 0 \) non puoi invertirla e quindi \(k/g(x) \) non ha senso! Ma anche con \( g \neq 0 \) prendi
Prendi l'esempio
Prendi \( g(x) = \frac{(-1)^{[x]}}{x} \) e \( f(x) = \frac{x}{(-1)^{[x]}} \) abbiamo chiaramente
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) g(x) = 1 \]
E per il teorema dei gendarmi abbiamo
\[ 0 = \lim_{ x \to \infty} \frac{-1}{x} \leq \lim_{ x \to \infty} \frac{(-1)^{[x]}}{x} \leq \lim_{ x \to \infty} \frac{1}{x}=0 \]
e dunque
\[ \lim_{ x \to \infty} g(x)=0 \]
ma il limite di \( \lim_{x \to \infty} \frac{x}{(-1)^{[x]}} \) non esiste perché per ogni \( M > 0 \), puoi trovare sempre due valori arbitrariamente grandi \( \alpha, \beta \) tale per cui \( f(\alpha) < - M <0 < M< f(\beta) \).
Quindi non puoi dire che \( \lim 1 / g(x) = \infty \).
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