Convergenza uniforme, una domanda

[giangianni1]

C'è una affermazione del mio professore che non capisco, ossia:

l'unione infinita di intervalli di covergenza uniforme non è, in generale, un intervallo di convergenza uniforme.

Ho visto vari controesempi e mi hanno convinto , però non capisco il motivo di fondo. Intuitivamente infatti mi sembra che unendo intervalli con tale proprietà dovrebbero "Portare" la proprietà sull'intervallo frutto di unione. Ma per quale motivo la conv. uniforme no? Mi ha sbalordito.

Ad esempio posso dimostrare che $[a,d) = \bigcup_{a< c
Grazie!

[gugo82]

Beh, potrebbe accadere questo.

Diciamo che in corrispondenza di un certo fissato $epsilon >0$ nell'intervallo $I_k$ si trovi un indice $nu_(k,epsilon) in NN$ tale che $AA n > nu_(k,epsilon),\ "sup"_(I_k) |f_n - f| < epsilon$.

Per ovvi motivi, sull'unione $X=uu_k I_k$ degli $I_k$ l'indice che dovrebbe funzionare per soddisfare la condizione di convergenza uniforme $AA n > nu_epsilon,\ "sup"_X |f_n - f| < epsilon$ è $nu_epsilon = "sup"_k nu_(k,epsilon)$.

Se gli $I_k$ sono in numero finito, l'estremo superiore è in realtà un massimo, quindi $nu_epsilon$ esiste finito e tutto funziona come si deve; ma appena gli $I_k$ sono infiniti, l'estremo superiore potrebbe non esistere finito, quindi non esisterebbe alcun $\nu_epsilon$ per cui la condizione di convergenza uniforme sia soddisfatta su $X$.

[giangianni1]

Geniale! Grazie gugo82 . Dai sempre degli spunti bellissimi.

C'è solo una cosa che mi stona: $[a,d) = \bigcup_{a< c

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[gugo82]

So cosa non ho capito io: la tua domanda...

Se intendi che non ti torna che la convergenza uniforme si possa provare su ogni intervallo, ma non su tutta l'unione, beh, guardati un po' intorno: sono tantissime le proprietà che "non passano al limite".

Esempio banale: la finitezza.
Se hai infiniti insiemi finiti, non è detto che la loro unione sia finita (e difatti $RR$ -che è infinito- è unione di tutti gli infiniti singleton $\{ x\}$ con $x in RR$ -che sono finiti-).

[giangianni1]

Ti prego di scusarmi se non sono stato chiaro , probabilmente non hai capito perché è un dubbio così sempliciotto che manco ti passa per la mente possa essere un dubbio.

Di fondo è proprio "non ti torna che la convergenza uniforme si possa provare su ogni intervallo, ma non su tutta l'unione". Però la domanda è questa: io dimostro che posso scrivere l'uguaglianza seguente $[a,d) = \bigcup_{a< c (1) (dimostro prima l'inclusione da un lato e poi dall'altro => vale il segno di uguale).
Quindi dico, se vale il segno di uguale tra i due insiemi sono lo stesso oggetto.
Ho dimostrato che tutti gli oggetti del membro destro "assieme" formano il termine a sinistra (sono uguali) però $\sum_(n=1)^oo x^n/n$ converge uniformemente su ogni $[0,r]$ con $r<1$ (vale quindi per un intervallo tipo quello del termine a dx dell'uguglianza (1)), tuttavia non vale per il sinistro: non ho convergenza uniforme su $[0,r)$


PS. credo di aver detto una stupidaggine, in effetti non converge uniformemente nemmeno su $\bigcup_{a< c

[gugo82]

Ma sì che è possibile...

Pensa ad un esempio scemo, invece di incasinarti con le serie.
Considera la successione di funzioni $f_n:]0,1] -> RR$ definite da:
\[
f_n(x) := \begin{cases} n &\text{, se } 0< x \leq \frac{1}{n} \\ \frac{1}{x} & \text{, se } \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \end{cases}
\]
e che hanno grafici fatti in questo modo:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=5;
axes(0.125,1,"labels",0.125,1,"grid");
stroke="red";
strokewidth=2;
line([0,4],[0.25,4]); plot("1/x",0.25,1); dot([1,1]);[/asvg]
(quella sopra è $f_4$); la successione converge uniformemente su ogni intervallo del tipo $]r,1]$, poiché essa è definitivamente costante in tale intervallo (infatti, per ogni $n>nu=1/r$ risulta $f_n(x) = 1/x$ in $]r,1]$); e però col cavolo che la convergenza è uniforme in tutto $]0,1]$! (Dimostralo se non ci credi )

[giangianni1]

Ho afferrato!

Ci provo