Convergenza serie (assoluta e semplice)
Salve,
intanto vi ringrazio per avermi accettato su questo forum molto interessante. Volevo chiedervi alcune delucidazioni riguardo alle due serie:
$sum_(n=1)^oo ((-1/5)^n n^n)/(n!)$ e $sum_(n=1)^oo (-1)^n (5^(n^2))/(n!)^n$.
La soluzione per entrambe è che convergono, ma la mia domanda è, non convergono anche assolutamente? Grazie mille per l'aiuto.
intanto vi ringrazio per avermi accettato su questo forum molto interessante. Volevo chiedervi alcune delucidazioni riguardo alle due serie:
$sum_(n=1)^oo ((-1/5)^n n^n)/(n!)$ e $sum_(n=1)^oo (-1)^n (5^(n^2))/(n!)^n$.
La soluzione per entrambe è che convergono, ma la mia domanda è, non convergono anche assolutamente? Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Secondo te?
Ciao daiuba,
Benvenuto sul forum!
Dalla domanda che hai posto sembra quasi che tu non abbia ben compreso il significato di convergenza assoluta. Facciamo così, ti riscrivo le due serie proposte e tu rispondi con un post con le due serie assolute corrispondenti:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((-1/5)^n n^n)/(n!) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n ((n/5)^n)/(n!) $
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n (5^(n^2))/(n!)^n $
Benvenuto sul forum!
"daiuba":
[...] la mia domanda è, non convergono anche assolutamente?
Dalla domanda che hai posto sembra quasi che tu non abbia ben compreso il significato di convergenza assoluta. Facciamo così, ti riscrivo le due serie proposte e tu rispondi con un post con le due serie assolute corrispondenti:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((-1/5)^n n^n)/(n!) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n ((n/5)^n)/(n!) $
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n (5^(n^2))/(n!)^n $
Le convergenza assoluta so calcola con i moduli e quindi in entrambe basta studiare la serie senza il termine (-1)^n. Pongo meglio la domanda, a me risulta che convergono entrambe anche assolutamente, mentre nel risultato di entrambi gli esercizi è indicato solo che converge, quindi, visto che quando converge assolutamente lo specifica, penso di aver fatto qualche errore nello studio delle serie dei moduli. Scusate per la domanda che può sembrare stupida. Vi ringrazio comunque per l’aiuto.
Se vuoi davvero che qualcuno ti risponda, dovresti postare un po' di calcoli (che è quello che suggerivo sopra). 
"daiuba":
a me risulta che convergono entrambe anche assolutamente, mentre nel risultato di entrambi gli esercizi è indicato solo che converge
Beh, se convergono assolutamente per un ben noto teorema convergono anche semplicemente...
Allora nella prima ho fatto questi passaggi applicando il criterio del rapporto
$ (((n+1)^(n+1))/(5^(n+1)*(n+1)!))*((5^(n)*n!)/(n^n)) $
semplificando ottengo
$ (n+1)^(n)/(5*n^n) $
che può essere riscritto come
$ 1/5*(1+1/n)^n $
e ottengo quindi che il limite è
$ e/5 < 1 $
Quindi la serie converge assolutamente, ma la risposta dell'esame è che converge e basta.
per la seconda applico il criterio della radice ottendo il limite di
$ 5^n/(n! $
che per l'ordine degli infiniti tende a 0 quindi anche questa essendo il limite < 1 dovrebbe convergere assolutamente, ma anche la risposta dell'esame è che converge e basta.
Spero che ora possiate aiutarmi e scusate per il disturbo
$ (((n+1)^(n+1))/(5^(n+1)*(n+1)!))*((5^(n)*n!)/(n^n)) $
semplificando ottengo
$ (n+1)^(n)/(5*n^n) $
che può essere riscritto come
$ 1/5*(1+1/n)^n $
e ottengo quindi che il limite è
$ e/5 < 1 $
Quindi la serie converge assolutamente, ma la risposta dell'esame è che converge e basta.
per la seconda applico il criterio della radice ottendo il limite di
$ 5^n/(n! $
che per l'ordine degli infiniti tende a 0 quindi anche questa essendo il limite < 1 dovrebbe convergere assolutamente, ma anche la risposta dell'esame è che converge e basta.
Spero che ora possiate aiutarmi e scusate per il disturbo
I conti sono fatti in maniera precisa e corretta, quindi tali sono le tue conclusioni.
Complimenti.
A futura memoria, ricorda che per fare valutazioni "rapide" puoi usare il Criterio dell'Ordine di Infinitesimo e la formula di Stirling per il fattoriale, i.e. $n! ~~ sqrt(2pi)* n^(n + 1/2) * e^(-n)$.
Complimenti.
A futura memoria, ricorda che per fare valutazioni "rapide" puoi usare il Criterio dell'Ordine di Infinitesimo e la formula di Stirling per il fattoriale, i.e. $n! ~~ sqrt(2pi)* n^(n + 1/2) * e^(-n)$.
Grazie mille. Scusate il disturbo. Ho deciso di iscrivermi di nuovo ad ingegneria per finire un percorso lasciato tanto tempo fa (quasi 15 anni). Avevo fatto Analisi I e II con 30/30 ma ora devo integrare Analisi I e dopo così tanto tempo passato lontano da queste materie mi viene qualche dubbio. Ancora grazie per l’aiuto e buona giornata a tutti
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