Due domande su un vecchio post (dimostrazione sul limite)
Vorrei chiedere una domanda base che origina dalla lettura di un vecchio post https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8424287
Nel post segnato l'utente dà la definizione di immagine
E @gugo aiuta interpretandola pragmaticamente:
Noto quindi che il "tale che" viene letto come un "se e solo se".Ma èquesto il significato del tale che?
Non riesco bene a capire questo operatore logico appieno, e non vorrei fare errori base su questo.
Grazie a chi interverrà:)
Nel post segnato l'utente dà la definizione di immagine
l'immagine è il sottoinsieme del codominio data dagli elementi che soddisfano la seguente:
sono gli elementi $y\inB$ tali che esiste una $x\inA$ tale che $y=f(x)$
ove siano A dominio e B codominio.
E @gugo aiuta interpretandola pragmaticamente:
Cosa significa in pratica?
Beh, significa che $y in text(Im)f sub B$ se e solo se l’equazione $f(x) = y$ nell’incognita $x$ ha almeno una soluzione in $A$.
Noto quindi che il "tale che" viene letto come un "se e solo se".Ma èquesto il significato del tale che?
Non riesco bene a capire questo operatore logico appieno, e non vorrei fare errori base su questo.
Grazie a chi interverrà:)
Risposte
No, lì non sta dicendo che è equivalente ad un se e solo se, sta scrivendo la stessa cosa in modo alternativo.
Uno diceva $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ dove con : indico il tale che.
Gugo invece diceva
$ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.
In generale per caratterizzare un insieme dici $A={x:P(x)}$, dove $P(x) $ è un predicato nella variabile libera x (tipo $x>1$) Oppure di solito il tale che sta dopo $EE$, tipo nella definizione di limite
$ AA epsilon>0, EE delta>0$ tale che ecc
Il se e solo se serve per dire che due affermazioni sono equivalenti.
Tipo $x>0 hArr - x<0$. Oppure $y in A hArr P(x) $
Uno diceva $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ dove con : indico il tale che.
Gugo invece diceva
$ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.
In generale per caratterizzare un insieme dici $A={x:P(x)}$, dove $P(x) $ è un predicato nella variabile libera x (tipo $x>1$) Oppure di solito il tale che sta dopo $EE$, tipo nella definizione di limite
$ AA epsilon>0, EE delta>0$ tale che ecc
Il se e solo se serve per dire che due affermazioni sono equivalenti.
Tipo $x>0 hArr - x<0$. Oppure $y in A hArr P(x) $
Grazie per il tuo aiuto.
Ok, ci sono sul senso, però mi pare che se posso scrivere in due modi diversi la stessa proprietà è come dire che il "tale che" posso leggerlo come "se e solo se". Mi sfugge questa cosa, scusami la stupidità
In pratica: $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ è l'insieme e in particolare $y\inImf$ se è una $y in B:EE x in A : y=f(x)$ ossia $ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione. In questo senso intendevo il rileggere il tale che come un se e solo se.
[Edit]
Forse ci sono, vediamo:
Dato l'insieme $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ ora: $y\inImf <=> y in B:EE x in A : y=f(x)$ ossia $ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.
In pratica è tutto questo 'paragrafo': "$y in B:EE x in A : y=f(x)$" riassunto in questo: "f$(x)=y$ ha un'unica soluzione"
Giusto @Lore?
"LoreT314":
Uno diceva $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ dove con : indico il tale che.
Gugo invece diceva
$ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.
In generale per caratterizzare un insieme dici $A={x:P(x)}$, dove $P(x) $ è un predicato nella variabile libera x
Ok, ci sono sul senso, però mi pare che se posso scrivere in due modi diversi la stessa proprietà è come dire che il "tale che" posso leggerlo come "se e solo se". Mi sfugge questa cosa, scusami la stupidità
In pratica: $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ è l'insieme e in particolare $y\inImf$ se è una $y in B:EE x in A : y=f(x)$ ossia $ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione. In questo senso intendevo il rileggere il tale che come un se e solo se.
[Edit]
Forse ci sono, vediamo:
Dato l'insieme $Im f={y in B:EE x in A : y=f(x)} $ ora: $y\inImf <=> y in B:EE x in A : y=f(x)$ ossia $ y in Imf hArr f(x)=y$ ha un'unica soluzione.
In pratica è tutto questo 'paragrafo': "$y in B:EE x in A : y=f(x)$" riassunto in questo: "f$(x)=y$ ha un'unica soluzione"
Giusto @Lore?
Già. 
"gugo82":
Già.
Grazie grazie grazie!!
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Potrei disturbarvi con un'altra domanda sempre sul post linkato? Per non aprire un'altra discussione mi sono permesso di rinominare il thread perché credo sia meglio per futuri lettori e mantenere ordine in questo formidabile forum (allitterazione non voluta
).Purtoppo mi sono accorto del dubbio solo dopo, la domanda è questa... Ho visto che la conclusione della dimostrazione è questa: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8424332 ed ho capito che in effetti per ogni $y$ fissato $y/c$ permette ancora di risolvere $f(x)$ essendo $y>=0$.
C'è però un punto che non mi è chiaro, ossia: se io ho la variabile $z$ che assume valori in $[0,+oo[$ come dimostro che $z/c$ (con c costante maggiore di zero) assume tutti i valori tra$[0,+oo[$?
Lo vedo bene intuitivamente,ma formalmente come lo posso dimostrare? Non ci riesco proprio
A parte che non ti serve, ma comunque... Prova.
No, certo, in realtà non serve. Però mi è venuto questo ulteriore dubbio e ammetto che non saprei da dove iniziare. 
Innanzitutto, cosa vuoi dimostrare?
Scrivilo per bene, usando i quantificatori.
Ti apparirà tutto più chiaro (sperabilmente).
Scrivilo per bene, usando i quantificatori.
Ti apparirà tutto più chiaro (sperabilmente).
[correggo messaggio di ieri per errore di battitura]
Mi sembra che io abbia:
Per HP: $\AAx\in[0,+oo[$
TH: Esiste un $x'=x/c$ (con $c>0$) $:x'\in[0,+oo[$
Ossia in modo compato devo dimostrare che: $AAx\in[0,+oo[$, $EEx'=x/c$ (con $c>0$) $:x'\in[0,+oo[$
Il che mi sembra sempre valido per il 2^ principio di equivalenda delle equazioni: se prendo $x=c*x'$ esso è sicuramente positivo (sta nell'HP) e posso dividere per tale c portandomi a $x'=x/c$.
1) Però non capisco se questa sia una dimostrazione: mi sembra qualcosa di sempliciottoe alla buona, in primis.
2) E in secondo luogo mi pare di dimostrare che ogni x trovo un x' contenuto in quell'intervallo indicato, tuttavia non mi pare di mostrare che lo copro tutto:perché è vero che per ogni x troverò un x' però chi mi dice che al limite a infinito di x esso coincida allo stesso limite a infinito per x' (cioè che x' vada a coprire tutto). (Non so come dirlo bene a parole, ma immaginando infinito come un punto non riesco a capire se quando x ci arriva anche x' ci arrivi comprendo lo stesso intervallo)
Spero davero in un aiuto a capire questi due punti, perché è un dubbio che trovo spesso nello studio ultimamente.
Mi sembra che io abbia:
Per HP: $\AAx\in[0,+oo[$
TH: Esiste un $x'=x/c$ (con $c>0$) $:x'\in[0,+oo[$
Ossia in modo compato devo dimostrare che: $AAx\in[0,+oo[$, $EEx'=x/c$ (con $c>0$) $:x'\in[0,+oo[$
Il che mi sembra sempre valido per il 2^ principio di equivalenda delle equazioni: se prendo $x=c*x'$ esso è sicuramente positivo (sta nell'HP) e posso dividere per tale c portandomi a $x'=x/c$.
1) Però non capisco se questa sia una dimostrazione: mi sembra qualcosa di sempliciottoe alla buona, in primis.
2) E in secondo luogo mi pare di dimostrare che ogni x trovo un x' contenuto in quell'intervallo indicato, tuttavia non mi pare di mostrare che lo copro tutto:perché è vero che per ogni x troverò un x' però chi mi dice che al limite a infinito di x esso coincida allo stesso limite a infinito per x' (cioè che x' vada a coprire tutto). (Non so come dirlo bene a parole, ma immaginando infinito come un punto non riesco a capire se quando x ci arriva anche x' ci arrivi comprendo lo stesso intervallo)
Spero davero in un aiuto a capire questi due punti, perché è un dubbio che trovo spesso nello studio ultimamente.
Prova a rileggere con attenzione la tua tesi: è davvero quello che vuoi dimostrare?
Ovviamente, se sbagli a formalizzare la tesi non riesci a capire come fare una dimostrazione... Il problema è lì (per adesso).
Propongo una dimostrazione qui di seguito:
Ovviamente, se sbagli a formalizzare la tesi non riesci a capire come fare una dimostrazione... Il problema è lì (per adesso).
Propongo una dimostrazione qui di seguito:
OK quindi dovevo fare esattamente il contrario di quello che avevo fatto: io mostravo che per ogni z esisteva un $zeta=z/c$.Invece l'idea corretta è mostrare che per ogni $zeta>0$ esiste un z che sta nell'intervallo $[0, oo[$.
*[ho aggiunto una parte in grassetto che credo sia utile per spiegare il mio dubbio qui di seguito]
Con la dimostrazione che hai indicato posso mostrare che per qualunque valore $zeta=z/c$ (cioè percorrendo tutto l'intervallo $[0, oo[$ per la variabile in questione) trovo una z all'interno dello stesso intervallo $[0, oo[$ di valori.
(quello che segue non è per nulla formale -perdonami- però vorrei chiarire solo l'idea per aiutarmi a formalizzare questo fatto)
Tuttavia non mi sembra di riuscire a mostrare che $z$ lo percorra tutto, potrei infatti supporre che nel "punto" infinito di $zeta=z/c$ abbia un corrispondente $z$ più piccolo del valore "massimo" del suo intervallo, cioè $z$ non abbia percorso "tutto" l'intervallo quando invece $zeta$ lo ha già percorso tutto.
E' il non capire questo pezzo che mi inquieta, che poi a parti invertite è quello che cercavo di mostrare nel mio post precedente.
Domanda bonus che mi hai proposto e mi segno qui, voglio andare per gradi. Cioè prima capire bene tutto sul precedente dubbio se no mi ingolfo di dubbi.
La evidenzio qui così non la perdo!
Grazie gugo
Quello che vuoi dimostrare è che, se c>0, allora al variare di z>0 (in tutto l'intervallo)*, il rapporto z/c assume tutti i valori >0
*[ho aggiunto una parte in grassetto che credo sia utile per spiegare il mio dubbio qui di seguito]
Con la dimostrazione che hai indicato posso mostrare che per qualunque valore $zeta=z/c$ (cioè percorrendo tutto l'intervallo $[0, oo[$ per la variabile in questione) trovo una z all'interno dello stesso intervallo $[0, oo[$ di valori.
(quello che segue non è per nulla formale -perdonami- però vorrei chiarire solo l'idea per aiutarmi a formalizzare questo fatto)
Tuttavia non mi sembra di riuscire a mostrare che $z$ lo percorra tutto, potrei infatti supporre che nel "punto" infinito di $zeta=z/c$ abbia un corrispondente $z$ più piccolo del valore "massimo" del suo intervallo, cioè $z$ non abbia percorso "tutto" l'intervallo quando invece $zeta$ lo ha già percorso tutto.
E' il non capire questo pezzo che mi inquieta, che poi a parti invertite è quello che cercavo di mostrare nel mio post precedente.
E sai dimostrare che il numero z determinato sopra è anche unico?
Domanda bonus che mi hai proposto e mi segno qui, voglio andare per gradi. Cioè prima capire bene tutto sul precedente dubbio se no mi ingolfo di dubbi
.La evidenzio qui così non la perdo!
Grazie gugo
Beh, semplicemente devi chiarire prima cosa vuoi dimostrare.
Una cosa è dimostrare che il rapporto $z/c$ assuma tutti i valori appartenenti all'intervallo $]0,+oo[$ quando $z$ prende valori positivi, il che significa provare che:
\[
\forall \zeta > 0,\ \exists z_\zeta >0:\quad \zeta = \frac{z_\zeta}{c}\; ;
\]
un'altra è provare che al variare di $zeta$ in $]0,+oo[$ i numeri $z_zeta$ tali che $zeta = (z_zeta)/c$ assumano tutti i valori appartenenti all'intervallo $]0,+oo[$, ossia che:
\[
\forall Z >0,\ \exists \zeta >0:\quad z_\zeta = Z\; .
\]
Sono proprio cose differenti... Anche perché sono legate a due differenti proprietà della funzione:
$f: [0,+oo[ -> RR$ definita ponendo $f(z) = z/c$.
La prima ($AA zeta >0, "etc..."$) equivale a dimostrare che la funzione $f$ ha come immagine l'insieme $]0,+oo[$; la seconda ($AA Z >0, exists zeta : "etc..."$) equivale a chiedersi se ogni elemento del dominio di $f$ ha immagine in $f([0,+oo[)$.
La seconda questione è banale e non ha bisogno di dimostrazione: infatti, per definizione di funzione, tutti gli elementi del dominio hanno un'immagine mediante $f$.
La prima non lo è (o, meglio, lo è, ma va comunque studiata).
Una cosa è dimostrare che il rapporto $z/c$ assuma tutti i valori appartenenti all'intervallo $]0,+oo[$ quando $z$ prende valori positivi, il che significa provare che:
\[
\forall \zeta > 0,\ \exists z_\zeta >0:\quad \zeta = \frac{z_\zeta}{c}\; ;
\]
un'altra è provare che al variare di $zeta$ in $]0,+oo[$ i numeri $z_zeta$ tali che $zeta = (z_zeta)/c$ assumano tutti i valori appartenenti all'intervallo $]0,+oo[$, ossia che:
\[
\forall Z >0,\ \exists \zeta >0:\quad z_\zeta = Z\; .
\]
Sono proprio cose differenti... Anche perché sono legate a due differenti proprietà della funzione:
$f: [0,+oo[ -> RR$ definita ponendo $f(z) = z/c$.
La prima ($AA zeta >0, "etc..."$) equivale a dimostrare che la funzione $f$ ha come immagine l'insieme $]0,+oo[$; la seconda ($AA Z >0, exists zeta : "etc..."$) equivale a chiedersi se ogni elemento del dominio di $f$ ha immagine in $f([0,+oo[)$.
La seconda questione è banale e non ha bisogno di dimostrazione: infatti, per definizione di funzione, tutti gli elementi del dominio hanno un'immagine mediante $f$.
La prima non lo è (o, meglio, lo è, ma va comunque studiata).
"gugo82":
Beh, semplicemente devi chiarire prima cosa vuoi dimostrare.
la seconda ($AA Z >0, exists zeta : "etc..."$) equivale a chiedersi se ogni elemento del dominio di $f$ ha immagine in $f([0,+oo[)$.
La seconda questione è banale e non ha bisogno di dimostrazione: infatti, per definizione di funzione, tutti gli elementi del dominio hanno un'immagine mediante $f$.
Hai ragionissima, ovviamente! Non ci avevo pensato
Ma a conti fatti quindi se voglio dimostrare questa proposizione:
Quello che vuoi dimostrare è che, se c>0, allora al variare di z>0 (in tutto l'intervallo)*, il rapporto z/c assume tutti i valori >0
Devo dimostrare entrambe le cose. Siccome -quella che chiami- "seconda" è ovvia per definzione di funzione, mi resta da dimostrare la "prima", e questo è dimostrabile come hai fatto nello spoiler.
In questo modo concludo dicendo che la proposizione è valida, è corretto impostarla così?
Informalmente la prima dimostra che prendendo qualunque $zeta$ trovo uno z>0, la seconda mostra che qualunque z>0 mi porta a uno $zeta$ e la dimostrazione della proposizione nel quote dovrebbe essere conclusa. Spero
giusto o ho sbagliato?.---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sperando sia giusta la parte sopra (nel caso bacchettami
) volevo provare a risponere a:Quello che vuoi dimostrare è che, se $c>0$, allora al variare di $z>0$ il rapporto $z/c$ assume tutti i valori $>0$, cioè che:
\[
\forall \zeta >0,\ \exists z >0 :\quad \zeta=\frac{z}{c}\; .
\]
Ma questo è banale: infatti, scelto arbitrariamente $zeta >0$ il numero $z=c zeta$ (che si ottiene formalmente risolvendo l'equazione $z/c=zeta$ rispetto a $z$) è positivo (per Regola dei Segni) e tale che $z/c = (c zeta)/c = zeta$ (per regolette algebriche fondamentali); l'arbitrarietà nella scelta di $zeta$ fa sì che tu possa riprodurre lo stesso discorso per ogni $zeta >0$ e quindi sei a cavallo.
E sai dimostrare che il numero $z$ determinato sopra è anche unico?
Ho pensato di ragionare per assurdo e dire:
Se $z$ non è unico (ipotesi assurdo) => $EEz'$ diverso da $z:z'=c\zeta$ tuttavia sappiamo che $z=c\zeta$ => $z=c\zeta=z' =>z=z'$ il che è un assurdo rispetto all'ipotesi d'assurdo
E' giusta una cosa del genere?
Per la prima parte, sì, ci sei grossomodo.
Per l'unicità, in realtà la dimostrazione può esser fatta in due modi:
[list=1][*:3d06yef4] unicità vuol dire che se esistono due oggetti che hanno la stessa proprietà, allora essi coincidono: sotto questo punto di vista, supponi che esistano due valori $z,Z >0$ tali che $z/c = zeta = Z/c$ e dimostri che $z=Z$;
[/*:m:3d06yef4]
[*:3d06yef4] unicità vuol dire che se esistono due oggetti differenti che hanno la stessa proprietà, allora la teoria "non sta in piedi" (cioè, ottieni un assurdo): sotto questo punto di vista, supponi che esistano $z!=Z$ tali che $z/c = zeta = Z/c$ e mostri che ciò porta ad un assurdo (il che può voler dire molte cose, cioè a ritrovare qualcosa che contrasta le ipotesi, oppure qualcosa che contrasta gli assiomi, ovvero contrasta teoremi già dimostrati, etc...).[/*:m:3d06yef4][/list:o:3d06yef4]
Tu sembri aver scelto la seconda strada, e però stai commettendo un errore capitale.
Infatti, non puoi usare l'informazione $z=c zeta$, perché non è detto che $c zeta$ sia l'unico numero tale che $z/c=zeta$ (lo è, ma lo devi dimostrare, quindi non lo puoi assumere tra le ipotesi) e questo lo stai usando per asserire che $z=z'$ (nella tua notazione).
Quindi, assumendo nelle ipotesi la tesi, non stai dimostrando... In pratica, il tuo ragionamento è assimilabile ad una frase del tipo "è così perché è così".
Per l'unicità, in realtà la dimostrazione può esser fatta in due modi:
[list=1][*:3d06yef4] unicità vuol dire che se esistono due oggetti che hanno la stessa proprietà, allora essi coincidono: sotto questo punto di vista, supponi che esistano due valori $z,Z >0$ tali che $z/c = zeta = Z/c$ e dimostri che $z=Z$;
[/*:m:3d06yef4]
[*:3d06yef4] unicità vuol dire che se esistono due oggetti differenti che hanno la stessa proprietà, allora la teoria "non sta in piedi" (cioè, ottieni un assurdo): sotto questo punto di vista, supponi che esistano $z!=Z$ tali che $z/c = zeta = Z/c$ e mostri che ciò porta ad un assurdo (il che può voler dire molte cose, cioè a ritrovare qualcosa che contrasta le ipotesi, oppure qualcosa che contrasta gli assiomi, ovvero contrasta teoremi già dimostrati, etc...).[/*:m:3d06yef4][/list:o:3d06yef4]
Tu sembri aver scelto la seconda strada, e però stai commettendo un errore capitale.
Infatti, non puoi usare l'informazione $z=c zeta$, perché non è detto che $c zeta$ sia l'unico numero tale che $z/c=zeta$ (lo è, ma lo devi dimostrare, quindi non lo puoi assumere tra le ipotesi) e questo lo stai usando per asserire che $z=z'$ (nella tua notazione).
Quindi, assumendo nelle ipotesi la tesi, non stai dimostrando... In pratica, il tuo ragionamento è assimilabile ad una frase del tipo "è così perché è così".
In effetti $z$ lo ricavo come soluzione di una equazione (nel nostro caso $z/c=\zeta$) che quindi non è sempre univoca, ho confuso perché mi son detto "prendo $z=c\zeta$", ma non è così esce dall'equazione! (ad esempio -prima cosa che mi viene in mente- se risolvo una equazione di secondo grado potrei avere due valori che rendono vero il tutto).
Insomma ho fatto una bella tautologia, perché a 'ste cose non ci arrivo mai!!
Quindi seguendo la tua seconda via dovrei in definitiva scrivere:
Ipotizzo per assurdo che $z!=Z$, e prendo quindi la relazione $z/c=ζ=Z/c$ da cui si deduce per transitività che $z/c=Z/c$ e dalla seconda proprietà di equivalenza per le equazioni giungo all'assurdo (rispetto all'ipotesi di assurdo) che $z=Z$: falso!
Dunque $z!=Z$ è ipotesi falsa e z sarà unico.
Insomma ho fatto una bella tautologia
, perché a 'ste cose non ci arrivo mai!!Quindi seguendo la tua seconda via dovrei in definitiva scrivere:
Ipotizzo per assurdo che $z!=Z$, e prendo quindi la relazione $z/c=ζ=Z/c$ da cui si deduce per transitività che $z/c=Z/c$ e dalla seconda proprietà di equivalenza per le equazioni giungo all'assurdo (rispetto all'ipotesi di assurdo) che $z=Z$: falso!
Dunque $z!=Z$ è ipotesi falsa e z sarà unico.
Sì, ci sei... Va scritto un po' meglio, ma per cominciare va bene.
Grazie gugo, davvero grazie mille. Purtroppo, da solo, per quanto facile, non ci sarei proprio riuscito e questo testimonia ancora quanta strada debba fare.
Sei stato gentilissimo.
Sei stato gentilissimo.
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