Dimostrazione sugli integrali

[alterbi]

Ciao

Vorrei mostrare (DImostrare) che dato un integrale definito $\int_a^bf(x)dx=0; \AAa,b <=> f(x)=0$, è una mia supposizione, però mi sembra valere in generale.

Per quanto semplice non ho la più pallida idea di come svolgere una dimostrazione del genere (sempre se vale)

[Pierlu11]

Quanto hai affermato non è vero... ovviamente una funzione identicamente nulla ha integrale nullo qualunque siano gli estremi di integrazione, ma non è detto il viceversa.
Basta prendere una funzione del tipo
\[
f(x)=\begin{cases}
1&x=0\\
0&x\neq 0
\end{cases}
\]
oppure, una funzione più "elaborata" come
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{q}&x=\frac{p}{q}\\
0&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
\]
Sono funzioni con integrale nullo indipendentemente dagli estremi di integrazione ma non identicamente nulle.
Quanto hai affermato invece è vero per funzioni continue. Basta pensare al teorema della permanenza del segno per dimostrarlo...
Se per assurdo non fosse identicamente nulla ci sarebbe un punto in cui $f(x)>0$ (equivalente con il $<$) e quindi, poichè $f$ è continua, un intorno $[a;b]$ (possiamo sempre prenderlo chiuso) in cui $f(x)>0$ $\forall x\in[a;b]$ e lì l'integrale non può essere nullo.

[alterbi]

Chiarissimo. Merci.