Analisi matematica di base
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Ciao a tutti e Buon Natale.
Sono alle prese con lo studio dei punti stazionari di una funzione a due variabili (tema esame analisi 2)
Testo: Determinare e classificare i punti stazionari della funzione $ f:R-R^2 $ data da
$ f(x,y)=x+senx+7y^2 -pi $
Per prima cosa ho calcolato le derivate:
$ { ( (partial)/(partialx)=1+cosx ),( (partial)/(partialy)=14y):} $
In seguito ho calcolato il gradiente che mi ha dato come risultato il punto stazionario: $ ((2k+1)pi,0) $
Vado quindi a calcolare le derivate parziali miste:
...
Nel caso in cui io mi trovi a svolgere su carta lo studio di una funzione la cui derivata seconda risulti essere molto complessa, al punto che il relativo studio non può che esser fatto mediante l'ausilio di computer, è possibile utilizzare un espediente che mi permetta comunque di terminare correttamente lo studio della funzione in questione? Se sì quale?
Tra gli esercizi che ho affrontato per quanto riguarda questo argomento ci sono due limiti (che poi sono uno "propedeutico" per l'altro...almeno secondo il libro!) che mi hanno dato particolare problemi.
$lim_((x,y)->(0,0))(|x|^{a} |y|^{b})/(x^4 +y^2)^c $
$lim_((x,y)->(0,0))(1-e^{x^3 y^2})/(x^6 +y^4) $
Ovviamente nel primo caso chiede di trovare i valori di a,b,c per cui il limite sia finito.
In entrambi i casi mi sono affidato alle coordinate polari con cui però: nel primo caso non riesco ad arrivare da nessuna parte mentre nel secondo arrivo ad un ...
Salve a tutti, nonostante sia il 31 mi sto dedicando alle EDO ed ho trovato qualche problema
$y'=(2x)/(x^2-1)y$
Per prima cosa individuo le soluzioni costanti, ovvero in questo caso $y=0$... da quel che ho capito dalla teoria però questa soluzione non vale su tutto $RR$ ma solo nel dominio di $(2x)/(x^2-1)$.. è corretto?
Poi procedo in questo modo:
$(y')/y=(2x)/(x^2-1)$
$int dy/y=int (2x)/(x^2-1)dx$
$log|y|=log|x^2-1|+c$
Però a questo punto come devo procedere? Dovrei ricavare ...
Salve a tutti!!! Ho risolto la seguente equazione alle derivate parziali mediante il metodo delle caratteristiche:
\(\displaystyle \frac{\partial u} {\partial x} \frac{\partial u} {\partial y}=u \)
soggetta alla condizione iniziale
\(\displaystyle u(0,y)=y \).
A parer mio (cioè a meno di qualche errore di calcolo) la soluzione è
\(\displaystyle u(x,y)=y(x+1) \).
Ammesso che sia corretta tale soluzione, ha qualche significato fisico? Grazie anticipatamente!
Ciao a tutti!
Ho un problema con il seguente esercizio. Devo risolvere il sistema:
$\{(y_1'+y_2'+y_1=0),(y_2'+y_1=3):}$, $y_1(0)=0$, $y_2(0)=0$
utilizzando la trasformata di Laplace.
Innanzitutto ho pensato di riscrivere il sistema in uno equivalente sottraendo membro a membro le due equazioni, ottenendo:
$\{(y_1'=-3),(y_2'=-y_1+3):}$
Dall'espressione $Y'=AY+F$, applicando la trasformata: $z\mathcal{L}(Y)-Y(0)=A\mathcal{L}(Y)+\mathcal{L}(F)$.
Poichè $Y(0)=\bb0$, si ottiene:
$z\mathcal{L}(Y)=A\mathcal{L}(Y)+\mathcal{L}(F)$
$\mathcal{L}(Y)=-(A-zI)^-1\mathcal{L}(F)$
Per quanto ...
salve a tutti, ho la seguente funzione da studiare:
$ f(x,y)=g(x^2+xy-4) $ con la funzione $ g(t)=e ^t +e^(-t) $ .
Dopo aver studiato $ g(t) $ arrivo a dire che per $ t>0 $ $ rArr $ $ g(t) $ è crescente mentre per $ t<0 $ $ rArr $ $ g(t) $ è decrescente.
A questo punto mi studio la funzione $ h(t) =(x^2+xy-4) $ con la matrice Hessiana e trovo che per il punto $ A-= (0;0) $ il $ detH $ nel punto mi da zero, quindi ...
Esercizio. Sia $f$ integrabile su $(X,\mathcal A, \mu)$ t.c.
\[
\int_E f d\mu = 0, \qquad \forall E \in \mathcal A.
\]
Allora $f=0$ q.o.
Svolgimento. Anzitutto, osservo che non ho ipotesi sul segno di $f$. Quindi, per ogni $E \in \mathcal A$ ho che
\[
0 = \int_E f d\mu =\int_E f^{+} d\mu - \int_E f^{-}d\mu \Rightarrow \int_E f^{+} d\mu = \int_E f^{-}d\mu
\]
e quindi anche
\[
\int_E \vert f \vert d\mu = \int_E f^{+} d\mu + \int_E f^{-}d\mu = 2 \int_E f^{+} ...
Ciao a tutti. Sto studiando gli operatori ellittici del secondo ordine sull'Evans ma non c'è la dimostrazione della disuguaglianza di Harnack. Sapete dove posso trovarla? Finora ho trovato solo quella relativa al caso particolare del laplaciano.
$y''+y=sin^2 x$. L' ho risolta con il metodo della variazione delle costanti :
integrale generale dell'omogenea associata: $c1 cosx+c2 sinx$
integrale particolare: $ ( \gamma \1)cosx+( \gamma \2) sinx $ dove $\gamma\1=cosx-(cos^3 x)/3$ $\gamma\2=(sin^3 x)/3$
Ho provato a risolverlo col metodo dei coefficienti indeterminati, più agevole dal punto di vista computazionale, e mi trovo che $yp=A sin^2x+ B cos^$, $y'p=A 2sinxcosx-B2cosxsinx$ $y''=A(2cos^2 x-2 sin^2x)-B(-2sinx^2 +2cos^2 x)$=$sin^2x$ che per il principio d' identità dei polinomi mi porta a \( ...
Determinare una soluzione dell'equazione differenziale:
$ye^(ln(x^2-7x+12)+ln(y^2+1))dy/dx=xy^3+y$
Quello che mi chiedo, sarà che a secondo membro ci deve essere scritto $xy^3+xy$?
Dimostrare che $int_0^x (sin^(2)t)/t dt<=1+logx$ $AA x>=1$
Osservo che:
$int_0^x (sin^(2)t)/t dt=int_0^1 (sin^2t)/t dt+int_1^x (sin^2t)/t dt$
$sint<t => int_0^1 (sin^2t)/t dt<=int_0^1 t dt=1/2$
$(sin^2t)/t=(1-cos^2t)/t=1/t-(cos^2t)/t<=1/t-t$ $AA x>=1$
Quindi:
$int_0^x (sin^(2)t)/t dt=int_0^1 (sin^2t)/t dt+int_1^x (sin^2t)/t dt<=1/2+int_1^x (sin^2t)/t<=1/2+int_1^x (1/t-t) dt=$
$1/2+logx-log1-x^2/2+1/2=1+logx-x^2/2<=1+logx$
$AA x>=1$
Cosa ne dite? Può andare? Grazie di tutto...
Esercizio. Sia $X$ localmente(*) compatto di Hausdorff e sia $C(X)$ lo spazio delle funzioni continue definite su $X$ a valori reali, dotato della solita norma del sup. Caratterizzare la convergenza debole, i.e. trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché \( f_n \rightharpoonup f \) .
Svolgimento. Se \( f_n \rightharpoonup f \) sicuramente $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x \in X$, cioè c'è convergenza puntuale, perché la valutazione in ...
Sto studiando gli integrali definiti e le rispettive proprietà. Solo che non ho capito alcuni esempi d'integrazione per sostituzione. Uno è:
$\int (x arcsenx^2)/sqrt(1-x^4) dx$
Lo svolgimento del libro è:
$\1/2int arcsenx^2/sqrt(1-x^4) dx^2$
$\1/2int arcseny/sqrt(1-y^2) dy$ $=$ $1/2 arcsen^2y + c$
Quell'$1/2$ fuori dal segno di integrale cos'è?
Salve a tutti!!
Nello studio della funzione $lim_(x->+infty)(x+\arctan(x^2/(x+2)))$
Il limite della funzione, per x che tende a più infinito, è uguale a:$( x + (pi/2) + o( 1))$
l' asinoto obliquo di conseguenza è $y=x+(pi/2)$. Sucessivamente non mi è chiaro il procedimento seguito per poter affermare che la funzione, per x che tende a più infinito, tende all'asintoto obliquo dal basso.
Vi ringrazio già anticipatamente per l'aiuto!!!!
PS. Scusate se nella formule che ho riportato troverete degli errori di battitura ...
Ho il seguente integrale:
$int x^3/(sqrt(1-x^2))$
Io ho pensato di porre $x=sent$ In questo modo mi ritrovo $((sen(t))^3 * cost)/cost$
Ho risolto e mi viene $ -cost +cos(t)^3/3$
Il risultato dovrebbe essere però $-(sqrt(1-x^2))/(3) * (2+x^2) +c$
E' la mia sostituzione che non esiste nè in cielo e nè in terra oppure i rissultati sono equivalenti ( ) ??
Buonasera...mi è sorto un dubbio...è possibile risolvere questo genere di equazioni?
$cosx=x$
So che una soluzione c'è...graficamente ho visto che dovrebbe essere circa $0.739$, ma algebricamente come ci si arriva?
Grazie mille
Quando mi si chiede se una forma è chiusa o meno, basta verificare sempre e comunque che le derivate incrociate siano uguali, giusto? Se volessi anche sapere se è esatta in un insieme, posso sicuramente dirlo se quest'ultimo è semplicemente connesso, altrimenti non saprei dire altro, cioè potrebbe esserlo o no. Se l'insieme non è semplicemente connesso, come faccio a dire se è esatta o meno? Devo trovare una primitiva? Però non esiste sempre..?
Come faccio a dire se un insieme è sicuramente ...
Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà con quest'esercizio, non so il perchè ma non riesco ad arrivare al risultato del mio libro. Aiutatemi a capire. Grazie in anticipo.
Sia $f(x)=\ln(\tan(x/2))$. Calcolare $f'(x)$
ho provato a svolgere così l'esercizio
$D(\ln(\tan(x/2)))=(1)/(\tan(x/2))\cdot D(\tan(x/2))=(1)/(\tan(x/2))\cdot (1+\tan^2(x/2))\cdot 1/2=$
$=1/2((1+\tan^2(x/2))/(\tan(x/2)))$
ho pensato di scrivere $\tan(x/2)=(\sin x)/(1+\cos x)$. Solo che qui è elevato al quadrato
non so più andare avanti. Il risultato dice il mio libro che è $f'(x)=(1)/(\sin x)$
$\int int _D x\ y^2 dx\ dy$ dove $D = {(x,y) \in R^2: x^2 + y^2 <= 1, x >= |y|}$
Ho capito come risolvere gli integrali ma ho dei dubbi sugli estremi di integrazione! Allora le condizioni a priori sono:
$0<=\rho<=oo$ ed $0 <=\theta< 2 \pi$ posso subito dire che $0<=\rho<=1$ però usando la condizione $\rho \cos \theta >= |\rho \sin \theta|$ posso dire $\ \cos \theta >= |\sin \theta|$ ed ora?
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