Equazione differenziale

[Daddarius1]

$y''+y=sin^2 x$. L' ho risolta con il metodo della variazione delle costanti :
integrale generale dell'omogenea associata: $c1 cosx+c2 sinx$
integrale particolare: $ ( \gamma \1)cosx+( \gamma \2) sinx $ dove $\gamma\1=cosx-(cos^3 x)/3$ $\gamma\2=(sin^3 x)/3$

Ho provato a risolverlo col metodo dei coefficienti indeterminati, più agevole dal punto di vista computazionale, e mi trovo che $yp=A sin^2x+ B cos^$, $y'p=A 2sinxcosx-B2cosxsinx$ $y''=A(2cos^2 x-2 sin^2x)-B(-2sinx^2 +2cos^2 x)$=$sin^2x$ che per il principio d' identità dei polinomi mi porta a \( \begin{cases} 2A-2B=0 \\ -2A+2B=1 \end{cases} \) , INCOMPATIBILE. L' errore è nel calcolo o nel modo risolutivo?

[ciampax]

Il metodo di somiglianza, qui, non lo puoi applicare direttamente, a causa del fatto che il termine noto è $\sin^2 x$, mentre tale metodo va bene quando come termine noto si presenta qualcosa del tipo $\sin(\omega x)$ o $\cos(\omega x)$ (o combinazioni lineari varie). Per poterlo applicare, puoi scrivere che (formula di bisezione del seno)

$\sin^2 x={1-\cos(2x)}/{2}=1/2 -1/2\cos(2x)$

e cercare una soluzione particolare della forma

$y_p=a\sin(2x)+b\cos(2x)+c$

Tra l'altro: quando applica la variazione delle costanti, ti conviene alla fine cercare di scrivere la soluzione particolare trovata in modo più semplice svolgendo i calcoli (lì puoi ridurre delle potenze di ordine 4 a potenze di ordine 2 e poi mettere tutto sotto forma di seni e coseni dell'angolo $2x$).

[Daddarius1]

Letto.