Convergenza debole in $C(X)$
Esercizio. Sia $X$ localmente(*) compatto di Hausdorff e sia $C(X)$ lo spazio delle funzioni continue definite su $X$ a valori reali, dotato della solita norma del sup. Caratterizzare la convergenza debole, i.e. trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché \( f_n \rightharpoonup f \) .
Svolgimento. Se \( f_n \rightharpoonup f \) sicuramente $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x \in X$, cioè c'è convergenza puntuale, perché la valutazione in $x$ è un funzionale lineare e continuo su $C(X)$. Inoltre, è noto che se una successione converge debolmente in un normato, allora essa è limitata in norma, quindi \( \sup_n \Vert f_n\Vert_{\infty}<\infty \).
Viceversa, mostrare che la limitatezza in norma e la convergenza puntuale implicano la convergenza debole è leggermente più delicato. Supponiamo che esista $M>0$ tale che \( \sup_n \Vert f_n\Vert_{\infty}=M \) e che $f_n to f$ puntualmente per ogni $x \in X$. Prendo una misura (con segno) $\mu$ (a variazione totale limitata); il fatto che la variazione totale sia limitata, dovrebbe garantirmi che \( \vert \mu \vert (X)<\infty\) da cui deduco (?) che le costanti sono in $L_{\mu}^1(X)$. Per convergenza dominata, allora $\int_X f_n d\mu \to \int_X f d\mu$ per ogni $\mu$; visto che tutti i funzionali lineari e continui su $C(X)$ sono siffatti (grazie al teorema di rappresentazione di Riesz), si ha la tesi.
Vi convince? Io ho qualche dubbio sulla liceità dell'utilizzo della convergenza dominata... Grazie in anticipo.
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(*) $X$ deve essere compatto, non basta localmente compatto (vedi interventi successivi di Rigel).
Svolgimento. Se \( f_n \rightharpoonup f \) sicuramente $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x \in X$, cioè c'è convergenza puntuale, perché la valutazione in $x$ è un funzionale lineare e continuo su $C(X)$. Inoltre, è noto che se una successione converge debolmente in un normato, allora essa è limitata in norma, quindi \( \sup_n \Vert f_n\Vert_{\infty}<\infty \).
Viceversa, mostrare che la limitatezza in norma e la convergenza puntuale implicano la convergenza debole è leggermente più delicato. Supponiamo che esista $M>0$ tale che \( \sup_n \Vert f_n\Vert_{\infty}=M \) e che $f_n to f$ puntualmente per ogni $x \in X$. Prendo una misura (con segno) $\mu$ (a variazione totale limitata); il fatto che la variazione totale sia limitata, dovrebbe garantirmi che \( \vert \mu \vert (X)<\infty\) da cui deduco (?) che le costanti sono in $L_{\mu}^1(X)$. Per convergenza dominata, allora $\int_X f_n d\mu \to \int_X f d\mu$ per ogni $\mu$; visto che tutti i funzionali lineari e continui su $C(X)$ sono siffatti (grazie al teorema di rappresentazione di Riesz), si ha la tesi.
Vi convince? Io ho qualche dubbio sulla liceità dell'utilizzo della convergenza dominata... Grazie in anticipo.
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(*) $X$ deve essere compatto, non basta localmente compatto (vedi interventi successivi di Rigel).
Risposte
Stai usando \(C(X)\) o \(C_c(X)\)?
$C(X)$, cioè tutte le funzioni continue $f:X \to RR$.
Grazie.
Grazie.
Allora sono un po' perplesso riguardo all'uso del teorema di Riesz. Quale versione usi?
Rudin, R&CA, cap. 6 pag. 129 nella mia edizione (la terza).
Comunque ti chiedo scusa, avrei dovuto dirlo subito (forse la versione a cui stai pensando tu è quella sui funzionali lineari positivi su $C_c(X)$, che Rudin usa nel capitolo 2 per la costruzione della misura di Lebesgue). Ti torna?
Ti ringrazio ancora
Sia $X$ spazio topologico loc. compatto e di Hausdorff e sia $C(X)$ lo spazio delle funzioni continue a valori complessi su $X$. Allora per ogni funzionale limitato $\Phi \in C(X)^{\star}$ esiste un'unica misura $\mu$ (con segno) di Borel, regolare, tale che
\[
\Phi(f) = \int_X f d\mu
\]
per ogni $f$ e tale che la norma (operatoriale) di $\Phi$ coincida con la variazione totale di $\mu$.
Comunque ti chiedo scusa, avrei dovuto dirlo subito (forse la versione a cui stai pensando tu è quella sui funzionali lineari positivi su $C_c(X)$, che Rudin usa nel capitolo 2 per la costruzione della misura di Lebesgue). Ti torna?
Ti ringrazio ancora
Il teorema 6.19 si riferisce però ai funzionali lineari in \(C_0(X)\), che è il completamento di \(C_c(X)\) rispetto alla metrica uniforme.
Hai ragione, ti chiedo scusa.
A questo punto, allora avrei una domanda: con chi si identifica il duale di $C(X)$? C'è una rappresentazione "carina" di questo benedetto duale?
E il mio argomento si può salvare (magari con qualche argomento di densità)? Grazie.
EDIT: forse si salva tutto richiedendo che $X$ sia compatto (qui, pag. 2).
A questo punto, allora avrei una domanda: con chi si identifica il duale di $C(X)$? C'è una rappresentazione "carina" di questo benedetto duale?
E il mio argomento si può salvare (magari con qualche argomento di densità)? Grazie.
EDIT: forse si salva tutto richiedendo che $X$ sia compatto (qui, pag. 2).
Se \(X\) è compatto allora l'argomento funziona (in particolare, hai anche che \(C(X) = C_c(X)\)).
Molto bene, ti ringrazio. Edito il topic di apertura, segnalando la tua correzione.
Grazie ancora per l'aiuto.
Grazie ancora per l'aiuto.
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