Analisi matematica di base

Premessa. Studio questa roba per un esame di Metodi Matematici per la Fisica, dunque la formalizzazione non è spinta come piace a voi matematici. Esercizio. Calcola, con il teorema di Cauchy e il teorema dei residui, assieme al lemma di Jordan, il seguente integrale \[ I=\int_{0}^{+\infty} \frac{x\sin{\alpha x}}{1+x^2} dx\] Svolgimento (con errori). Ho scritto l'integrale come \[ \oint_{\gamma} \frac{z\sin{\alpha z}}{1+z^2} dz\] e, sostituendo al seno i rispettivi ...

Trovo difficoltà nel calcolare il solido generato dalla rotazione rispetto all'asse $z$. So calcolare la rotazione rispetto a $x$ utilizzando questa formula ( quando sto nel piano $x, y$ ) : $V= \pi \int_a^b f(x)^2 dx$ ; e la rotazione rispetto a $y$ con questa formula ( quando sto nel piano $x, y$) : $V=2\pi \int_a^b x f(x) dx$ . Ma quando c'è in gioco l'asse $z$ con uno degli altri due ( $x o y$) come si ...

Ciao a tutti, sto cercando di fare questo esercizio, chiedo conferma e\o suggerimenti su quanto ho fatto Allora l'esercizio è questo, è data: \(\displaystyle f(z)= \frac{e^{2iz} - e^{iz}}{z^2} \) si richiede: 1) calcolare gli zeri del numeratore 2) individuare le singolarità e calcolarne i residui 3) calcolare \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos2x-cosx}{x^2} dx \) Ecco le mie idee: 1) Facendo quanche conto si trova che il numeratore si annulla per \(\displaystyle ...

Consideriamo la successione di funzioni $f_n : [0,1] -> R$ definite per ogni $n \in N^+$, da Il grafico di $f_n$ è formato dai lati di un triangolo isoscele avente per base il segmento $[0,1/n]$ sull'asse $x$ e altezza $n$ , più il segmento $[1/n,1]$ sull'asse x. Si verifica facilmente che questa successione di funzioni converge puntualmente in tutto l'intervallo [0,1], alla funzione nulla. Infatti se $x=0$ è chiaro ...

Definizione di Differenziale: Sia $AuuRR^n$ un insieme aperto. Una funzione $f:A->RR^m$ si dice differenziabile in un punto $x_0\inA$ se esiste una trasformazione lineare $T:RR^n->RR^m$ tale che $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0)-T(x-x_0))/|x-x_0|=0$. Chiamiamo la trasformazione lineare $df(x_0)=T$ il differenziale di $f$ in $x_0$. Per l'unicità del differenziale si usa il fatto che $Tv=lim_(t->0^+)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$ $AAv\inRR^n$ e l'unicità di $T$ segue dall'unicità del ...

Salve a tutti, volevo proporvi un esercizio sui punti critici molto semplice svolto da me per avere una conferma sui ragionamenti effettuati =); f(x,y) = x^2(y+1); Dal consueto sistema Gradiente Nullo, mi viene come soluzione, (0,0) (Unico punto critico); Valuto la 'natura' del punto critico all' interno della Matrice hessiana; Mi trovo valore nullo; A questo punto applico il metodo del segno del 'Delta f(x,y)', che in questo caso coincide con la f(x,y) di partenza; Imposto la disequazione ...

se abbiamo la funzione [tex]g(x)=e^x-1[/tex] e una funzione h(x) derivata solo al [tex]x_o=0, h(0)=0 h{'}(0)=2[/tex] dobbiamo trovare il limite [tex]\lim_{x\to 0}\cfrac{g(h(x))-h(x)}{x^2}[/tex] , ma prima che [tex]h(x)\neq 0[/tex] vicino a zero.

Buongiorno a tutti! Torno a a rompervi presentandovi un nuovo problema che non riesco a risolvere Testo: Sia P un polinomio definito da \(\displaystyle P(x) = x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\dots + a_1 x +a_{0} \) Dimostrare che esiste \(\displaystyle x_{*}\in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle P(x_*)= \inf \Big\{P(x) : x\in\mathbb{R} \Big\} \) Inoltre dimostrare che \(\displaystyle |P(x_*)|= \inf \Big\{|P(x)|: x\in\mathbb{R} \Big\} \). Bene, tralasciamo un'attimo il fatto che sia ...

Ciao a tutti! Grazie al vostro aiuto ho capito come fare gli integrali di superficie.. ho solamente un piccolo problema con questo nuovo integrale: $int int_S z(1+2cos^2(y-x))^(-1/2)dS$ dove $S: {z=sen(y-x),0<=x<=pi,x<=y<=x+7}$ Io ho pensato di svolgere l'integrale direttamente in coordinate cartesiane, quindi calcolando la derivata parziale di z rispetto x e y e poi trovare la norma.. però trovare le derivate e poi fare l'integrale non è molto veloce e semplice.. Avete un suggerimento su come impostare la partenza per rendere ...

Vorrei proporre una piccola generalizzazione di un esercizio, che ha avuto un certo seguito, proposto in questo post: teorema-valori-intermedi-esercizio-t106484.html di cui riporto il testo: Un uomo percorre un tragitto di 777km in 7h; dimostrare che esiste un intervallo di un'ora dove ha percorso esattamente 111km. La generalizzazione che propongo è la seguente: Un uomo (molto lento) percorre un tragitto di \(T\) km in \(T\) ore. Dimostrare che, per ogni \(\tau\in (0, T/2]\), esiste un ...

Buongiorno a tutti. Avrei bisogno di una mano su un esercizio L'enunciato dice : Un uomo percorre un tragitto di 777km in 7h , dimostrare che esiste un intervallo di un'ora dove ha percorso esattamente 111km. Ho capito che devo applicare il TVI ma mi perdo nella dimostrazione. La prima cosa che faccio è definire [tex]f : [0,7] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] Questa funzione assume valori minimo in [tex]f(0)=0[/tex] e massimo in [tex]f(7)=777[/tex] Poi definisco una funzione basata sulla ...

Salve a tutti, Dovrei esporre un agomento ovvero il teorema dei valori intermedi però mi piacerebbe trovare qualcosa di veramente interessante riguardo a questo teorema, qualcosa che sorprenda e sopratutto che non annoi il pubblico. Avreste qualche consiglio da darmi? Magari qualche applicazione iteressante e/o il vero significato profondo di questo teorema.. Grazie in anticipo =)

Salve,avrei bisogno di aiuto con questi due integrali che non riesco a risolvere: $\int log(1+tanx)/(cos^2x) dx$ $\intcosx/(3-cos^2x-3sinx)dx$ Grazie a tutti per la disponibilità!!

Ciao a tutti oggi mentre facevo un esercizio sulle serie (risolto in due passaggi) mi sono reso conto che di certo avevo sbagliato qualche ragionamento..è un esercizio di una sessione di esami e non credo possa essere risolvibile così banalmente.. passiamo all'esercizio : dobbiamo studiare la seguente serie al variare del parametro x appartenente ai reali positivi \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} \) ho sviluppato i calcoli al denominatore ed ho ...

ciao a tutti, ho dei problemi nella risoluzione del problema di cauchy con eq differenziali di primo ordine. ( non me ne torna uno. ) vi scrivo un esempio: y'=(1+y)sen(2x) y( $ pi /4 $ )= -1 ho provato a risolverlo con l'integrale ma non mi torna. grazie in anticipo

Ciao a tutti! Ho delle difficoltà a svolgere questo esercizio (e in generale un po' tutti gli integrali tripli).. calcolare la misura di $A={(x,y,z) in R^3; x^2+y^2-z^2<=12, -2<=z<=sqrt(x^2+y^2)/2}$. Ciò equivale a calcolare l'integrale: $\int_A1dxdydz$. Passando alle coordinate cilindriche $x=\rho\cos(\theta); y=\rho\sin(\theta); z=z$ si semplifica molto la definizione dell'insieme, che diventa: $B={(\rho,\theta,z) in R^3; \rho^2-z^2<=12, -2<=z<=\rho/2}$. Ora però non so come impostare l'integrale! In particolare ho delle difficoltà nella determinazione degli estremi di integrazione: ho messo a sistema ...

Ciao a tutti ho un dubbio sul calcolo dei limiti in due variabili. Quando calcolo il limite andando a studiare una curva quale curva devo prendere? Cioè non capisco per esempio perché nel calcolo dei limiti il mio professore alcune volte studi la funzione con la curva (t,mt) altre volte con la curva (0,t) oppure (t,0). Io vorrei capire su quali basi devo scegliere la curva in cui studiare il limite. Grazie mille!

Nell'ambito dei limiti di successione, volendo dimostrare che $root(n)(n^b)=1$, il libro studia il caso in cui $ b= 1/2 $ , quindi abbiamo: $root(n)(n^(1/2))$ Poi afferma che $root(n)(n^(1/2))>=1$ perchè? se per caso ho $n=0$ non ottengo un assurdo poi?

Buongiorno! Nel risolvere il seguente limite so di aver commesso un errore, perché facendo la verifica con il teorema de l'Hopital ottengo risultati diversi. Mi potreste cortesemente indicare quale madornale errore ho commesso nel mio tentato processo risolutivo? Grazie mille, Francesco. Il limite: $lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x - 1)/(x^2) - x/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x -1)/(x) * (1/x) - 1/x=$ $lim_{x \to \0} (e^x -1)/x = 1$ per limite notevole, quindi $=lim_{x \to \0} 1/x - 1/x = 0$

Sto cercando di capire come pensare le forme differenziali... Cercando un po' in giro ho trovato questa frase 0-forme (le funzioni, cioè quelle che possiamo pensare come potenziali), le 1-forme (pensabili come campi vettoriali) e le 2-forme (rotori di campi vettoriali), Ma cosa vuol dire pensare per esempio una 2-forma come rotore di un campo vettoriale? E' corretta? E l'integrale di una 0,1,2-forma come lo penso allora? Grazie in anticipo