Disuguaglianza con integrale

[melli13]

Dimostrare che $int_0^x (sin^(2)t)/t dt<=1+logx$ $AA x>=1$
Osservo che:

$int_0^x (sin^(2)t)/t dt=int_0^1 (sin^2t)/t dt+int_1^x (sin^2t)/t dt$

$sint int_0^1 (sin^2t)/t dt<=int_0^1 t dt=1/2$

$(sin^2t)/t=(1-cos^2t)/t=1/t-(cos^2t)/t<=1/t-t$ $AA x>=1$

Quindi:
$int_0^x (sin^(2)t)/t dt=int_0^1 (sin^2t)/t dt+int_1^x (sin^2t)/t dt<=1/2+int_1^x (sin^2t)/t<=1/2+int_1^x (1/t-t) dt=$
$1/2+logx-log1-x^2/2+1/2=1+logx-x^2/2<=1+logx$
$AA x>=1$

Cosa ne dite? Può andare? Grazie di tutto...

[gugo82]

Direi di sì.

Si potrebbe fare anche altrimenti.
Invero:

Basta provare che:
\[
\Delta (x)\geq 0
\]
per \(x\geq 1\), ove \(\Delta\) è il deficit tra i due membri della disuguaglianza, i.e.:
\[
\Delta (x):= 1+\log x-\int_0^x \frac{\sin^2 t}{t}\ \text{d} t\; .
\]
Evidentemente \(\Delta\) è di classe \(C^1(]0,\infty[)\) e la sua derivata è:
\[
\Delta^\prime (x) = \frac{1}{x}-\frac{\sin^2 x}{x} = \frac{\cos^2 x}{x}\geq 0
\]
cosicché \(\Delta\) è crescente in \(]0,\infty[\) ed, a fortiori, in \([1,\infty[\); conseguentemente:
\[
\Delta (x)\geq \Delta (1) = 1-\int_0^1 \frac{\sin^2 t}{t}\ \text{d} t\; ,
\]
e, per ottenere la tesi, ci basta provare che \(\Delta (1)\geq 0\).
Dato che \(1=\int_0^1 2t\ \text{d} t\), si ha:
\[
\Delta (1) = \int_0^1 \left( 2t-\frac{\sin^2 t}{t}\right)\ \text{d} t = \int_0^1 \frac{2t^2-\sin^2 t}{t}\ \text{d} t \geq 0
\]
(in quanto da \(\sin t\leq t\) per \(t\geq 0\) segue \(\sin^2 t\leq t^2\leq 2t^2\) per \(t\geq 0\), sicché l'integrando al terzo membro è nonnegativo), che è quanto volevamo...

Anzi, possiamo dire anche qualcosa in più.
Infatti si ha \(\Delta (1)>0\) (perché, per permanenza del segno, l'integrando è strettamente positivo intorno a \(1\)), dunque:
\[
\Delta (x)\geq \Delta (1) >0
\]
e perciò non esistono \(x\geq 1\) che soddisfino col segno di uguaglianza la disuguaglianza \(\Delta (x)\geq 0\).
Pertanto è più corretto scrivere:
\[
\int_0^x \frac{\sin^2 t}{t}\ \text{d} t< 1+\log x
\]
per \(x\in [1,\infty[\).

[melli13]

Grazie mille....bella idea...

[dennysmathprof]

La funzione [tex]\cfrac{sin^{2}t}{t}[/tex] deve essere continua al intervallo [0,1], ma al zero cosa facciamo?

[melli13]

La funzione $(sint)^2/t$ non è definita in $t=0$, ma $lim_(x->0) (sint)^2/t=0$ e quindi la funzione integrale $int_0^x (sint)^2/t dt$ è definita e continua in $x=0$