Funzione logartimo con tan di x/2. calcolare la derivata
Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà con quest'esercizio, non so il perchè ma non riesco ad arrivare al risultato del mio libro. Aiutatemi a capire. Grazie in anticipo.
Sia $f(x)=\ln(\tan(x/2))$. Calcolare $f'(x)$
ho provato a svolgere così l'esercizio
$D(\ln(\tan(x/2)))=(1)/(\tan(x/2))\cdot D(\tan(x/2))=(1)/(\tan(x/2))\cdot (1+\tan^2(x/2))\cdot 1/2=$
$=1/2((1+\tan^2(x/2))/(\tan(x/2)))$
ho pensato di scrivere $\tan(x/2)=(\sin x)/(1+\cos x)$. Solo che qui è elevato al quadrato
non so più andare avanti. Il risultato dice il mio libro che è $f'(x)=(1)/(\sin x)$
Sia $f(x)=\ln(\tan(x/2))$. Calcolare $f'(x)$
ho provato a svolgere così l'esercizio
$D(\ln(\tan(x/2)))=(1)/(\tan(x/2))\cdot D(\tan(x/2))=(1)/(\tan(x/2))\cdot (1+\tan^2(x/2))\cdot 1/2=$
$=1/2((1+\tan^2(x/2))/(\tan(x/2)))$
ho pensato di scrivere $\tan(x/2)=(\sin x)/(1+\cos x)$. Solo che qui è elevato al quadrato
non so più andare avanti. Il risultato dice il mio libro che è $f'(x)=(1)/(\sin x)$
Risposte
Ti suggerisco questa strada alternativa:
\[ D \left [ \ln \left ( \tan \frac{x}{2} \right ) \right ] = [\dots] = \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \left ( \cot \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right ) \]
A te l'onore di concludere.
\[ D \left [ \ln \left ( \tan \frac{x}{2} \right ) \right ] = [\dots] = \frac{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \left ( \cot \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right ) \]
A te l'onore di concludere.
Puoi anche provare in questo modo:
$f(x)=log(sin(x/2)/cos(x/2))$
$f'(x)=cos(x/2)/sin(x/2)*D(sin(x/2)/cos(x/2))$
$f'(x)=cos(x/2)/sin(x/2)*1/(cos^2(x))*1/2$
$f'(x)=1/(2sin(x/2)cos(x/2))$
Ora però osserviamo che $2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x)$, quindi otteniamo il risultato voluto
$f(x)=log(sin(x/2)/cos(x/2))$
$f'(x)=cos(x/2)/sin(x/2)*D(sin(x/2)/cos(x/2))$
$f'(x)=cos(x/2)/sin(x/2)*1/(cos^2(x))*1/2$
$f'(x)=1/(2sin(x/2)cos(x/2))$
Ora però osserviamo che $2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x)$, quindi otteniamo il risultato voluto
"Obidream":
Puoi anche provare in questo modo:
$f(x)=log(sin(x/2)/cos(x/2))$
$f'(x)=cos(x/2)/sin(x/2)*D(sin(x/2)/cos(x/2))$
$f'(x)=cos(x/2)/sin(x/2)*1/(cos^2(x))*1/2$
$f'(x)=1/(2sin(x/2)cos(x/2))$
Ora però osserviamo che $2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x)$, quindi otteniamo il risultato voluto
decisamente più semplice
grazie!
guardando sul libro di trigonometria ho visto che $\tan (\alpha/2)$ si può scrivere in 2 modi diversi
$\tan(\alpha/2)=(\sin \alpha)/(1+\cos \alpha)$ oppure $\tan(\alpha/2)=(1-\cos \alpha)/(\sin \alpha)$
ecco ho anche provato a svolgere l'esercizio con la seconda formula.
Ma nella praticità qual è più conveniente usare? prima provo con una poi se non funziona provo l'altra? Oppure qual è tra le 2 formule quella che si usa più spesso?..
(la dimostrazione delle 2 formule ce l'ho già scritta sui libri e l'ho capita)
$\tan(\alpha/2)=(\sin \alpha)/(1+\cos \alpha)$ oppure $\tan(\alpha/2)=(1-\cos \alpha)/(\sin \alpha)$
ecco ho anche provato a svolgere l'esercizio con la seconda formula.
Ma nella praticità qual è più conveniente usare? prima provo con una poi se non funziona provo l'altra? Oppure qual è tra le 2 formule quella che si usa più spesso?..
(la dimostrazione delle 2 formule ce l'ho già scritta sui libri e l'ho capita)
Le formule si scelgono a seconda di come fa comodo nel caso di interesse.
Ad esempio, puoi concludere il conto che ti ho proposto utilizzando le seguenti:
\[ \left \lbrace \begin{matrix} \tan \frac{x}{2} = \frac{1- \cos x}{\sin x} \\ \cot \frac{x}{2} = \frac{1+ \cos x}{\sin x} \end{matrix} \right. \]
È la loro somiglianza a renderle vincenti:
\[ \frac{1}{2} \left ( \cot \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right ) = \frac{1}{2} \left ( \frac{1+ \cos x}{\sin x} + \frac{1- \cos x}{\sin x} \right ) = \frac{1}{\sin x} \]
Ad esempio, puoi concludere il conto che ti ho proposto utilizzando le seguenti:
\[ \left \lbrace \begin{matrix} \tan \frac{x}{2} = \frac{1- \cos x}{\sin x} \\ \cot \frac{x}{2} = \frac{1+ \cos x}{\sin x} \end{matrix} \right. \]
È la loro somiglianza a renderle vincenti:
\[ \frac{1}{2} \left ( \cot \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right ) = \frac{1}{2} \left ( \frac{1+ \cos x}{\sin x} + \frac{1- \cos x}{\sin x} \right ) = \frac{1}{\sin x} \]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo