Proprietà degli integrali

Mr.Mazzarr
Sto studiando gli integrali definiti e le rispettive proprietà. Solo che non ho capito alcuni esempi d'integrazione per sostituzione. Uno è:

$\int (x arcsenx^2)/sqrt(1-x^4) dx$

Lo svolgimento del libro è:

$\1/2int arcsenx^2/sqrt(1-x^4) dx^2$
$\1/2int arcseny/sqrt(1-y^2) dy$ $=$ $1/2 arcsen^2y + c$

Quell'$1/2$ fuori dal segno di integrale cos'è?

Risposte
Noisemaker
ha semplicemente portato dentro il differenziale, cioè integrato, $x$



\begin{align*}
\int \frac{ x \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} dx &= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{1}{2}\int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d x^2\quad\mbox{posto}\,\,\,x^2=y\\
&= \frac{1}{2}\int \frac{ \arcsin y }{\sqrt{1-y^2}} d y= \frac{1}{2}\int \arcsin y d \left(\arcsin y\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{ \arcsin^2 y }{2}\\
&= \frac{1}{4}\arcsin^2x^2+c
\end{align*}

Mr.Mazzarr
Mmm...

Due cose non mi sono chiare:

- La $x$ che moltiplica l'arcoseno che fine ha fatto?
- Perchè $d(x^2/2)$ e non solo $dx^2$?

Noisemaker
te l'ho scritto ... la $x$ che moltiplica l'arcoseno è stata portata dentro il differenziale (cioè è stata integrata)

tu sai che

\begin{align*}\int x\,\,dx=\frac{x^2}{2} \to \int \frac{x\cdot\arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}}\,\,dx= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)\end{align*}

dopoidchè per definizione di differenziale hai che $d (\frac{x^2}{2} )=\frac{1}{2}dx^2$ e dunque

\begin{align*}\int x\,\,dx=\frac{x^2}{2} \to \int \frac{x\cdot\arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}}\,\,dx= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{1}{2} \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d x^2 \end{align*}

Mr.Mazzarr
Ah, ora ho capito.
Io avevo provato a risolvere questo esercizio tramite regola di sostituzione, ma con scarsi risultati.

Come l'ho applicato a:

$\int 1/(sqrt(1-arcsen^2x)) * 1/(sqrt(1-x^2)) dx$

Io so che $\int 1/(sqrt(1-x^2)) = arcsenx + C$.
Pongo l'arcoseno come y. Così viene..

$\int (Dy)/(sqrt(1-y^2)) dx = arcseny + C$

Però mi sono bloccato su questa

$\int sqrt(x) * 1/(sqrt(1+x^3)) dx$

Noisemaker
basta scrivere

\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt{1-\arcsin^2 x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\,dx&=\int \frac{1}{\sqrt{1-\arcsin^2 x}}\,\,d\left(\arcsin x\right)=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,\,d\left(y\right)\\
&=\arcsin y=\arcsin\arcsin x+c
\end{align*}

Mr.Mazzarr
Sì ma quello l'ho risolto, è il secondo esercizio che non so come muovermi.

Noisemaker
quell'integrale li è differente dai precedenti; puoi considerare la sostituzione


\begin{align*}
x^{3/2}=t,\quad x=t^{2/3}\quad dx=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \qquad \Rightarrow\qquad \frac{2}{3}\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} dt
\end{align*}

Mr.Mazzarr
Questa sostituzione però come fai a farla valere anche per il $sqrt(x)$ iniziale?
Perchè se la x è elevata a $1/3$ allora ok, fai la sostituzione e poi elevi a 2. Ma se è elevata a $1/2$ come fai a strasformarla in rapporto alla tua sostituzione?

P.s.
Il rapporto $dx/dt$ come si calcola?

Noisemaker
Considera la sostituzione

\begin{align*} x^{3/2}=t,\quad x=t^{2/3}\quad dx=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \end{align*}

allora l'integrale diviene:

\begin{align*} \int \sqrt x \cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\,\,dx&=\int \sqrt {t^{2/3}} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+(t^{2/3})^3}}\,\,\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt =\frac{2}{3} \int \sqrt[3]{t} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+ t^2}}\,\,\frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt\\
&=\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1+ t^2}} \,\,dt\end{align*}

Mr.Mazzarr
Ah ora ho capito il ragionamento.

Mentre la regola di portare il differenziale? Sto sfogliando gli appunti presi a lezioni e non ne abbiamo mai parlato.
Non ho capito nemmeno come '' costruire '' $dt$ da $dx/dt$ .

Noisemaker
ma no devi costruire niente! :wink:

il $dt$ lo calcoli facendo semplicemente la derivata, mi spiego : nel nostro caso abbiamo posto

\begin{align*} x^{3/2}=t \end{align*}

da cui abbiamo ricavato la $x$

\begin{align*} x=t^{2/3} \end{align*}

a questo punto applicando il differenziale ad ambo i membri, ottieni:

\begin{align*} d(x)=d(t^{2/3})dt=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \end{align*}

Mr.Mazzarr
Ah mo' sì! :D
Mentre per quanto riguarda portare un elemento dell'integrale nel differenziale? Come posso applicarlo e in quali casi?

Noisemaker
puoi applicarlo sempre ... dipende dal tipo di esercizio ... il fatto di "portare dentro" il differenziale, equivale ad integrare l'oggetto che che intendi portare dentro il $dx$ ...è chiaro che dovendo fare un integrazione deve essere conveniente!

Mr.Mazzarr
"Noisemaker":
puoi applicarlo sempre ... dipende dal tipo di esercizio ... il fatto di "portare dentro" il differenziale, equivale ad integrare l'oggetto che che intendi portare dentro il $dx$ ...è chiaro che dovendo fare un integrazione deve essere conveniente!


E' un po' come se sostituissi l'elemento in se con la propria derivata ma tenendolo ancora dopo il segno di integrale?

Noisemaker
è come se integrassi un oggetto della funzione integranda per semplificarla

Mr.Mazzarr
"Noisemaker":
è come se integrassi un oggetto della funzione integranda per semplificarla


Senza risolvere la funzione integranda stessa però..
Comunque hai un mp!

Noisemaker
per vedere se hai capito, prova questo

\begin{align*}
\int \frac{\ln^2x\sin(\pi\ln x)}{x\cdot\cos^3(\pi\ln x)} \,\,dx
\end{align*}

Mr.Mazzarr
Prima di risolvere quell'esercizio, dimmi se il ragionamento su questo esempio è corretto:

$\int (1 + senx)/(x - cosx)^2 dx$ $=$ $\int 1/(x - cosx)^2 d(x - cosx)$

Ha prima scomposto l'integrale in una somma ( scomponendo sostanzialmente il numeratore ), poi ha portato $senx$ in differenziale ed ha unito i due integrali sommando anche i differenziali. Giusto?

Noisemaker
:smt023

Mr.Mazzarr
Però mi sono totalmente bloccato su un integrale, sempre con la regola di sostituzione:

$\int (logx)/((1+log^4x)x) dx$

Ho pensato di isolare $1/x$, di portarlo nel differenziale in quanto derivata di $logx$ e poi di porre $logx = y$, ma viene:

$\int (y)/(1+y^4) dy$

Ma poi mi blocco, solo che non capisco come potrei applicare differentemente la regola.
Tra l'altro, ad occhio, mi sembra che prenda la forma di un integrale dell'arcotangente, poichè:

$1/(1+x^2) dx$ $=$ $f'(x)/(1 + f(x)^2)$ $=$ $arctgx$

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