Proprietà degli integrali
Sto studiando gli integrali definiti e le rispettive proprietà. Solo che non ho capito alcuni esempi d'integrazione per sostituzione. Uno è:
$\int (x arcsenx^2)/sqrt(1-x^4) dx$
Lo svolgimento del libro è:
$\1/2int arcsenx^2/sqrt(1-x^4) dx^2$
$\1/2int arcseny/sqrt(1-y^2) dy$ $=$ $1/2 arcsen^2y + c$
Quell'$1/2$ fuori dal segno di integrale cos'è?
$\int (x arcsenx^2)/sqrt(1-x^4) dx$
Lo svolgimento del libro è:
$\1/2int arcsenx^2/sqrt(1-x^4) dx^2$
$\1/2int arcseny/sqrt(1-y^2) dy$ $=$ $1/2 arcsen^2y + c$
Quell'$1/2$ fuori dal segno di integrale cos'è?
Risposte
ha semplicemente portato dentro il differenziale, cioè integrato, $x$
\begin{align*}
\int \frac{ x \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} dx &= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{1}{2}\int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d x^2\quad\mbox{posto}\,\,\,x^2=y\\
&= \frac{1}{2}\int \frac{ \arcsin y }{\sqrt{1-y^2}} d y= \frac{1}{2}\int \arcsin y d \left(\arcsin y\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{ \arcsin^2 y }{2}\\
&= \frac{1}{4}\arcsin^2x^2+c
\end{align*}
\begin{align*}
\int \frac{ x \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} dx &= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{1}{2}\int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d x^2\quad\mbox{posto}\,\,\,x^2=y\\
&= \frac{1}{2}\int \frac{ \arcsin y }{\sqrt{1-y^2}} d y= \frac{1}{2}\int \arcsin y d \left(\arcsin y\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{ \arcsin^2 y }{2}\\
&= \frac{1}{4}\arcsin^2x^2+c
\end{align*}
Mmm...
Due cose non mi sono chiare:
- La $x$ che moltiplica l'arcoseno che fine ha fatto?
- Perchè $d(x^2/2)$ e non solo $dx^2$?
Due cose non mi sono chiare:
- La $x$ che moltiplica l'arcoseno che fine ha fatto?
- Perchè $d(x^2/2)$ e non solo $dx^2$?
te l'ho scritto ... la $x$ che moltiplica l'arcoseno è stata portata dentro il differenziale (cioè è stata integrata)
tu sai che
\begin{align*}\int x\,\,dx=\frac{x^2}{2} \to \int \frac{x\cdot\arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}}\,\,dx= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)\end{align*}
dopoidchè per definizione di differenziale hai che $d (\frac{x^2}{2} )=\frac{1}{2}dx^2$ e dunque
\begin{align*}\int x\,\,dx=\frac{x^2}{2} \to \int \frac{x\cdot\arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}}\,\,dx= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{1}{2} \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d x^2 \end{align*}
tu sai che
\begin{align*}\int x\,\,dx=\frac{x^2}{2} \to \int \frac{x\cdot\arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}}\,\,dx= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)\end{align*}
dopoidchè per definizione di differenziale hai che $d (\frac{x^2}{2} )=\frac{1}{2}dx^2$ e dunque
\begin{align*}\int x\,\,dx=\frac{x^2}{2} \to \int \frac{x\cdot\arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}}\,\,dx= \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{1}{2} \int \frac{ \arcsin x^2 }{\sqrt{1-x^4}} d x^2 \end{align*}
Ah, ora ho capito.
Io avevo provato a risolvere questo esercizio tramite regola di sostituzione, ma con scarsi risultati.
Come l'ho applicato a:
$\int 1/(sqrt(1-arcsen^2x)) * 1/(sqrt(1-x^2)) dx$
Io so che $\int 1/(sqrt(1-x^2)) = arcsenx + C$.
Pongo l'arcoseno come y. Così viene..
$\int (Dy)/(sqrt(1-y^2)) dx = arcseny + C$
Però mi sono bloccato su questa
$\int sqrt(x) * 1/(sqrt(1+x^3)) dx$
Io avevo provato a risolvere questo esercizio tramite regola di sostituzione, ma con scarsi risultati.
Come l'ho applicato a:
$\int 1/(sqrt(1-arcsen^2x)) * 1/(sqrt(1-x^2)) dx$
Io so che $\int 1/(sqrt(1-x^2)) = arcsenx + C$.
Pongo l'arcoseno come y. Così viene..
$\int (Dy)/(sqrt(1-y^2)) dx = arcseny + C$
Però mi sono bloccato su questa
$\int sqrt(x) * 1/(sqrt(1+x^3)) dx$
basta scrivere
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt{1-\arcsin^2 x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\,dx&=\int \frac{1}{\sqrt{1-\arcsin^2 x}}\,\,d\left(\arcsin x\right)=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,\,d\left(y\right)\\
&=\arcsin y=\arcsin\arcsin x+c
\end{align*}
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt{1-\arcsin^2 x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\,dx&=\int \frac{1}{\sqrt{1-\arcsin^2 x}}\,\,d\left(\arcsin x\right)=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,\,d\left(y\right)\\
&=\arcsin y=\arcsin\arcsin x+c
\end{align*}
Sì ma quello l'ho risolto, è il secondo esercizio che non so come muovermi.
quell'integrale li è differente dai precedenti; puoi considerare la sostituzione
\begin{align*}
x^{3/2}=t,\quad x=t^{2/3}\quad dx=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \qquad \Rightarrow\qquad \frac{2}{3}\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} dt
\end{align*}
\begin{align*}
x^{3/2}=t,\quad x=t^{2/3}\quad dx=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \qquad \Rightarrow\qquad \frac{2}{3}\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} dt
\end{align*}
Questa sostituzione però come fai a farla valere anche per il $sqrt(x)$ iniziale?
Perchè se la x è elevata a $1/3$ allora ok, fai la sostituzione e poi elevi a 2. Ma se è elevata a $1/2$ come fai a strasformarla in rapporto alla tua sostituzione?
P.s.
Il rapporto $dx/dt$ come si calcola?
Perchè se la x è elevata a $1/3$ allora ok, fai la sostituzione e poi elevi a 2. Ma se è elevata a $1/2$ come fai a strasformarla in rapporto alla tua sostituzione?
P.s.
Il rapporto $dx/dt$ come si calcola?
Considera la sostituzione
\begin{align*} x^{3/2}=t,\quad x=t^{2/3}\quad dx=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \end{align*}
allora l'integrale diviene:
\begin{align*} \int \sqrt x \cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\,\,dx&=\int \sqrt {t^{2/3}} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+(t^{2/3})^3}}\,\,\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt =\frac{2}{3} \int \sqrt[3]{t} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+ t^2}}\,\,\frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt\\
&=\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1+ t^2}} \,\,dt\end{align*}
\begin{align*} x^{3/2}=t,\quad x=t^{2/3}\quad dx=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \end{align*}
allora l'integrale diviene:
\begin{align*} \int \sqrt x \cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\,\,dx&=\int \sqrt {t^{2/3}} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+(t^{2/3})^3}}\,\,\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt =\frac{2}{3} \int \sqrt[3]{t} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+ t^2}}\,\,\frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt\\
&=\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1+ t^2}} \,\,dt\end{align*}
Ah ora ho capito il ragionamento.
Mentre la regola di portare il differenziale? Sto sfogliando gli appunti presi a lezioni e non ne abbiamo mai parlato.
Non ho capito nemmeno come '' costruire '' $dt$ da $dx/dt$ .
Mentre la regola di portare il differenziale? Sto sfogliando gli appunti presi a lezioni e non ne abbiamo mai parlato.
Non ho capito nemmeno come '' costruire '' $dt$ da $dx/dt$ .
ma no devi costruire niente! 
il $dt$ lo calcoli facendo semplicemente la derivata, mi spiego : nel nostro caso abbiamo posto
\begin{align*} x^{3/2}=t \end{align*}
da cui abbiamo ricavato la $x$
\begin{align*} x=t^{2/3} \end{align*}
a questo punto applicando il differenziale ad ambo i membri, ottieni:
\begin{align*} d(x)=d(t^{2/3})dt=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \end{align*}
il $dt$ lo calcoli facendo semplicemente la derivata, mi spiego : nel nostro caso abbiamo posto
\begin{align*} x^{3/2}=t \end{align*}
da cui abbiamo ricavato la $x$
\begin{align*} x=t^{2/3} \end{align*}
a questo punto applicando il differenziale ad ambo i membri, ottieni:
\begin{align*} d(x)=d(t^{2/3})dt=\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3] t} \,\,dt \end{align*}
Ah mo' sì! 
Mentre per quanto riguarda portare un elemento dell'integrale nel differenziale? Come posso applicarlo e in quali casi?
Mentre per quanto riguarda portare un elemento dell'integrale nel differenziale? Come posso applicarlo e in quali casi?
puoi applicarlo sempre ... dipende dal tipo di esercizio ... il fatto di "portare dentro" il differenziale, equivale ad integrare l'oggetto che che intendi portare dentro il $dx$ ...è chiaro che dovendo fare un integrazione deve essere conveniente!
"Noisemaker":
puoi applicarlo sempre ... dipende dal tipo di esercizio ... il fatto di "portare dentro" il differenziale, equivale ad integrare l'oggetto che che intendi portare dentro il $dx$ ...è chiaro che dovendo fare un integrazione deve essere conveniente!
E' un po' come se sostituissi l'elemento in se con la propria derivata ma tenendolo ancora dopo il segno di integrale?
è come se integrassi un oggetto della funzione integranda per semplificarla
"Noisemaker":
è come se integrassi un oggetto della funzione integranda per semplificarla
Senza risolvere la funzione integranda stessa però..
Comunque hai un mp!
per vedere se hai capito, prova questo
\begin{align*}
\int \frac{\ln^2x\sin(\pi\ln x)}{x\cdot\cos^3(\pi\ln x)} \,\,dx
\end{align*}
\begin{align*}
\int \frac{\ln^2x\sin(\pi\ln x)}{x\cdot\cos^3(\pi\ln x)} \,\,dx
\end{align*}
Prima di risolvere quell'esercizio, dimmi se il ragionamento su questo esempio è corretto:
$\int (1 + senx)/(x - cosx)^2 dx$ $=$ $\int 1/(x - cosx)^2 d(x - cosx)$
Ha prima scomposto l'integrale in una somma ( scomponendo sostanzialmente il numeratore ), poi ha portato $senx$ in differenziale ed ha unito i due integrali sommando anche i differenziali. Giusto?
$\int (1 + senx)/(x - cosx)^2 dx$ $=$ $\int 1/(x - cosx)^2 d(x - cosx)$
Ha prima scomposto l'integrale in una somma ( scomponendo sostanzialmente il numeratore ), poi ha portato $senx$ in differenziale ed ha unito i due integrali sommando anche i differenziali. Giusto?
Però mi sono totalmente bloccato su un integrale, sempre con la regola di sostituzione:
$\int (logx)/((1+log^4x)x) dx$
Ho pensato di isolare $1/x$, di portarlo nel differenziale in quanto derivata di $logx$ e poi di porre $logx = y$, ma viene:
$\int (y)/(1+y^4) dy$
Ma poi mi blocco, solo che non capisco come potrei applicare differentemente la regola.
Tra l'altro, ad occhio, mi sembra che prenda la forma di un integrale dell'arcotangente, poichè:
$1/(1+x^2) dx$ $=$ $f'(x)/(1 + f(x)^2)$ $=$ $arctgx$
$\int (logx)/((1+log^4x)x) dx$
Ho pensato di isolare $1/x$, di portarlo nel differenziale in quanto derivata di $logx$ e poi di porre $logx = y$, ma viene:
$\int (y)/(1+y^4) dy$
Ma poi mi blocco, solo che non capisco come potrei applicare differentemente la regola.
Tra l'altro, ad occhio, mi sembra che prenda la forma di un integrale dell'arcotangente, poichè:
$1/(1+x^2) dx$ $=$ $f'(x)/(1 + f(x)^2)$ $=$ $arctgx$
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