Analisi matematica di base
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Sia $(g_n)_{n\in\NN}$ una successione di funzioni derivabili su $\RR$ tale che
\[g_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{} g(x)\in\mathbb{R} \text{ per lebesgue-quasi ogni }x\in\mathbb{R} .\]
Posso affermare che le successioni delle derivate $(g_n'(x))_{n\in\NN}$ sono limitate per lebesgue-quasi ogni $x\in\RR$ ?
Sto leggendo un articolo di fisica matematica e mi pare che si utilizzi questo risultato (che a dire il vero mi lascia un po' perplesso). Ho provato ad usare il teorema ...

Il problema è questo, c'è un limite per n-->infinito con un parametro e bisogna determinare il valore del limite al variare del parametro.
Ok. Con gli sviluppi di taylor l'ho quasi risolto (quasi perchè a un certo punto ho creduto mi stesse venendo e l'ho mollato lì), ma non capisco perchè non mi viene senza usare taylor.
Riporto tutti i miei passaggi (senza taylor), qualcuno potrebbe gentilmente farmi notare dove sbaglio
$ n^k{e^(1/(2n))[1+sen(1/n)]^n-e}~$
$n^k{e^(1/(2n))[1+(1/n)]^n-e}~ $
$ n^k{e^(1/(2n))e-e}=n^k[e(e^(1/(2n))-1)]= $ ...

Ciao a tutti, vorrei capire come comportarmi in una situazione di questo tipo:
\[ f(x) \rightarrow 0^{\pm}, \quad g(x) \rightarrow 0^{\pm} \]
Come si comportano \[ f(x) + g(x), \quad f(x)\, g(x) \]? Tendono a $ 0^+ $ o a $ 0^- $? Quali sono i teoremi che consentono di concluderlo?

Allora usando il criterio della radice avrei:
$\lim_(n -> oo) (1 - 1 / (n^(\alpha) \log n))^(-n)$
Dovete perdonare la mia ignoranza ma non capisco perchè questo limite fa $1$ per $\alpha >= 1$ e $+ oo$ per $0 <= \alpha < 1$
Perchè?

Atroce domanda:
lim per x->inf di f(x) = inf (con infinito senza segno) vuol dire che esistono contemporaneamente tutti i limiti lim per x->+inf di f(x)=+inf, lim x->+inf di f(x)= -inf ecc oppure cosa si vuol intendere? Se esiste il solo lim per x->+inf di f(x) = +inf allora esiste lim x->inf di f(x)= inf (con inf senza segno?) Scusate per la scrittura ma non riesco ad usare il metodo per scrivere le formule!
Se esiste lim per x->inf di f(x) = l (inf senza segno) allora vuol dire che esistono ...

Allora avrei qualche domanda da porvi.
1) Studiando la teoria ho letto che la serie armonica generalizzata converge per $\alpha > 1$, ecco vorrei sapere se si intende convergenza semplice o assoluta.
Studiando prima la convergenza assoluta devo dire che se quella serie converge assolutamente vuol dire che il modulo della successione converge semplicemente. Quindi posso togliere il termine $q^n$ che sarebbe uguale a un numero positivo, e dire che:
$\sum_(n=1)^oo\ |\sin (1/n)^(\alpha)| \sim \sum_(n=1)^oo\ |1/n^(\alpha)|$ ed ora? ...

buongiorno sono nuovo del forum , stò studiando per l'esame di Analisi I presso la facoltà di ing. di genova. stò trovando particolari difficoltà in una tipologia di domanda relativa alle equazioni differenziali. Si chiede infatti , dato un opportuno problema di cauchy, di studiarne il limite. Cerco di spiegarmi meglio con un esempio
\[y'(x)=a(x)y(x)+b(x)\] (1.0)
\[y(xo)= (yo)\] (1.1)
dato il seguente problema , fissati xo e yo, bisogna ...

Ho capito come vanno risolte equazioni del tipo $x + 3y = 0$ (anche perchè c'è poco da capire)
E cioè, si isola la x: $x = -3y$.
MA, come si risolvono, quando per esempio, la x moltiplica la y?
Es. $x + 3xy = 0$
Intanto, vorrei capire questo.... grazie mille

Salve ragazzi
a inizio gennaio avrò l'esame di analisi 1 per ingegneria e ho grandissimi problemi con i limiti(di successioni e di funzioni), principalmente quelli in cui non si può oppure viene chiesto di non usare Taylor o de l'Hopital.
Cerco da voi un aiuto per imparare delle linee guida per svolgerli...vi prego

Salve a tutti:)
sto preparando ora Analisi 1 e non riesco bene a capire il meccanismo della risoluzione dei limiti con gli integrali:
ad esempio:
\( \text{lim x }\ \rightarrow\ 0 \)
\[\frac{ \int_0^{3x} sin(t^2)\ \text{d} t}{x(1-cos(x))} \]
utilizzando il teorema della media integrale posso dire k \[\int_0^{3x} sin(t^2)\ \text{d} t =\ f(\gamma)(3x)\] con \(\gamma\) conpreso tra gli estremi di integrazione.
arrivo ad una formula del tipo
\[\frac{sin(\gamma^2)3x }{x(1-cos(x))} \]
applicando i ...

Non riesco a risolvere questo limite:
$lim_(x->2-) (x|x-2|) / (x^2 - 4)$.
Tende a due da sinistra, ciò vuol dire che devo sostituire valori di poco più piccoli di due. Ma, il valore assoluto, lo devo considerare positivo o negativo?
Io l'ho considerato solo negativo, avendo come informazione la x che tende a due da sinistra, ma nonostante ciò mi viene una forma indeterminata 0 su 0! grazie..

Salve ragazzi. Stamattina stavo ripensando alle serie di Laurent studiate a metodi matematici ed ho riscontrato dei problemi nello scrivere la serie di Laurent di questa funzione nel punto $z_0=0$:
$f(z)=(1)/(z^2-3z+2)$
sapreste indicarmi come fare?
Allora io ho calcolato gli zeri del denominatore che sono due poli semplici in $z=1$ e $z=2$.
Come faccio? Dovrei calcolare la serie nella corona circolare fatta cosi: $0<|z|<1$ giusto? Come faccio? ...

Salve a tutti. Scusate ma non so scrivere in simboli... (anzi se potete dirmi come si fa )
limite di n che tende a + infinito di ( 5^n - n^5) / (4^n + n^6 )
Si deve riportare ai due limiti notevoli
n^b / a^n
a^n / n!
ma non ci riesco.
Grazie

Salve a tutti, vorrei provare che
$ \lim_(x -> +oo ) e^(-x^2) \int_0^x e^(t^2)\ \text{d} t =0 $
So che non è integrabile elementarmente, e difatti non mi interessa calcolarlo, vorrei solo provare che tende a 0.
Ho pensato di maggiorare la funzione all'interno dell'integrale ma non ne riesco a trovare una che dopo sia ingrado di dire che converge, qualcuno ha qualche idea su qualche intuizione che potrei utilizzare?
Grazie in anticipo!!

I simboli +,-,* che compaiono in un'equazione differenziale non sono gli stessi che indicano le operazioni di somma, differenza e moltiplicazione, giusto?
I simboli +,-,* che compaiono in un'equazione differenziale sono degli operatori che associano a due funzioni un'altra funzione?
Grazie!

Ciao a tutti, mi presento, ho 20 anni e sono di Bologna.
Come molti di voi, anche io sono sotto esami e scrivo per avere un chiarimento sul programma di analisi I.
Risolvendo limiti con gli sviluppi di Taylor, spesso mi capita di fare sostituzioni e di avere delle funzioni complicate all'interno dell'o piccolo. Per esempio:
sen(x+2x^2) = x + 2x^2 + o((x+2x^2)^2)
è lo sviluppo al II ordine di punto iniziale 0 del seno.
La domanda è, come faccio a semplificare la funzione all'interno dell'o ...

Sto iniziando a studiare per l'esame di Metodi Matematici della Fisica. Ho questo dubbio, e credo di stare per scrivere una castroneria. Correggetemi, vi prego!
Sia $H$ uno spazio di Hilbert, sia $x \in H$ e sia $\{ \e_n \}_{n\in N}$ un set di vettori linearmente indipendenti e ortonormali di $H$. Definendo $a_n=(x,e_n)$, dove $(\cdot,\cdot)$ prodotto scalare, se
\[\bar x_n = \sum_{i=0}^{n} a_i e_i\]
converge a $\bar x=x$ per $n \to infty$, ...

premetto che non voglio mancare alla vostra regola più sacra, ma io sinceramente non so proprio dove mettere le mani su questi esercizi!
1.12 Esercizio. Piuttosto utile è la seguente diseguaglianza equivalente alla diseguaglianza
triangolare: per ogni x, y € R si ha
||x|-|y||

Ciao ragazzi,
al termine di un esercizio di Fisica II mi è richiesto il calcolo di questo integrale indefinito (sono sicuro che sia corretto):
$int (-x*cos(theta)-y*sin(theta)+R)/(x^2+y^2+R^2-2x*R*cos(theta)-2y*R*sin(theta))^(3/2)d\theta$
con $x,yinRR$ e $RinRR^+$.
Mi sembra opportuno scrivere subito $gamma=x^2+y^2+R^2$,$=>gammainRR^+$, giusto per ridurre visivamente il denominatore:
$int (-x*cos(theta)-y*sin(theta)+R)/(gamma-2x*R*cos(theta)-2y*R*sin(theta))^(3/2)d\theta$
Con l'aiuto della trigonometria riscrivo l'integrale così:
$int (-x*[(1-tan(theta/2)^2)/(1+tan(theta/2)^2)]-y*[(2tan(theta/2))/(1+tan(theta/2)^2)]+R)/(gamma-2x*R*[(1-tan(theta/2)^2)/(1+tan(theta/2)^2)]-2y*R*[(2tan(theta/2))/(1+tan(theta/2)^2)])^(3/2)d\theta$
Per sostituzione: ...

Consideriamo la successione di termine generale
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n} \]
Voglio studiare
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n \]
So che tale limite fa $ 0 $ (nè dalla destra, nè dalla sinistra).
Voglio mostrare questo risultato utilizzando i teoremi sui limiti.
Abbiamo
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^n}{n} \]
Ma la successione di termine generale \( (-1)^n \) è irregolare, dunque non posso applicare il teorema che dice
\[ \frac{a_n}{b_n} \longrightarrow \frac{a}{b} ...