Cosa ho sbagliato nel calcolo di questo limite?

[tuttoscorre]

Buongiorno!

Nel risolvere il seguente limite so di aver commesso un errore, perché facendo la verifica con il teorema de l'Hopital ottengo risultati diversi. Mi potreste cortesemente indicare quale madornale errore ho commesso nel mio tentato processo risolutivo?

Grazie mille,
Francesco.

Il limite:

$lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x - 1)/(x^2) - x/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x -1)/(x) * (1/x) - 1/x=$

$lim_{x \to \0} (e^x -1)/x = 1$ per limite notevole, quindi

$=lim_{x \to \0} 1/x - 1/x = 0$

[Noisemaker]

e no alla fine hai $ +\infty-\infty$ che è una forma indeterminata

[tuttoscorre]

Ma $1/x - 1/x$ non fa semplicemente zero? Ops!

[Noisemaker]

quando fa zero? ricorda che $x$ sta andando a $+\infty$ e la differenza tra quelle frazioni non riesci a controllarla molto bene....

[Mr.Mazzarr]

Prova a risolvere questo limite con Taylor/MacLaurin.
Sostituisci ad $e^x$ il polinomio equivalente fino al secondo grado, dato che hai al denominatore una $x$ al grado 2.

[tuttoscorre]

Grazie mille per il suggerimento!

[Mr.Mazzarr]

"tuttoscorre":Grazie mille per il suggerimento!

Aspetta l'approvazione di un utente più bravo di me prima di farlo. Non sono sicuro di ciò che ho detto!

[Noisemaker]

quel limite lo si può risolvere o con Taylor o con De L'Hopital:

\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{\bf (H)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x }=\frac{1}{2}
\end{align*}

\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{\bf (T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-x-1}{x^2 }=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^2}{2} }{x^2 }=\frac{1}{2}
\end{align*}

[Mr.Mazzarr]

Ottimo, pensavo di aver detto una stupidaggine

[Camillo]

E' ben vero che $12-12 =0 $ così come $ 157-157=0 $ cioè la differenza tra due numeri uguali è $0$.
Ma qui hai la differenza non tra due numeri ma tra qualcosa che tende all'$oo$ e quindi hai una forma indeterminata $oo-oo $ che non sai controllare.
Non spezzare la frazione in 2 , vai solo incontro a guai se sviluppi il polinomio di Taylor per $e^x$ al secondo ordine ottieni subito il valore corretto : $1/2$.

[Kashaman]

"tuttoscorre":

$lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x - 1)/(x^2) - x/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x -1)/(x) * (1/x) - 1/x=$

$lim_{x \to \0} (e^x -1)/x = 1$ per limite notevole, quindi

$=lim_{x \to \0} 1/x - 1/x = 0$

L'errore a mio parere è che hai fatto una sostituzione parziale al limite, il che non è lecito. Non è lecito perché ad esempio applicheresti male il teorema della somma e del prodotto di limiti di funzioni...
Quello che puoi dire è questo.
Se esistono $lim_{x->0} (e^x-1)/x . lim_{x->0} (1/x)$ allora
$EE lim_{x->0}(e^x-1)/x*(1/x)-1/x = lim_{x->0}((e^x-1)/x)* lim_{x->0}1/x-lim_{x->0}1/x$ ma ti accorgi
che hai allora una indeterminazione $\infty-\infty$ che non ti permette di dir nulla sul limite di partenza.
A mio parere , ti consiglio altre strade per la risoluzione di $lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2)$.
Ad esempio utilizzando Mac Lurin [in spoiler alcune osservazioni]

Qui ad esempio dovresti star attento alla giusta approssimazione che dai a $e^x$ ad esempio,
se scegli di approssimare al primo ordine, hai che $e^x-1 = x+o(x)$ e hai che
$lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2) = lim_{x\to \0} (x+o(x)-x)/x^2) =$$ lim_{x\to\0} o(x)/x^2 = ? $ <-- questa approssimazione non ti permette di dir nulla in quanto hai un $o(x)$ che sai che ha un ordine di infinitesimo maggiore rispetto a $x$ ma non sai se sia maggiore di $2$.
La giusta risoluzione la hai, ad esempio, approssimando $e^x$ sino all'ordine 2, e questo lo lascio fare a te.

Un'altro metodo è quello di applicare il teorema di De Hopital - Bernulli. Ma anche qui, devi fare molta attenzione. Personalmente, se posso evitarlo lo evito. Perché dovresti far un poco di verifiche iniziali.

Del tipo, se $f(x) = e^x-x-1$ , $g(x)=x^2$. Devi verificare se in un intorno $I$ di zero sono entrambe derivabili. E qua ci siamo. Se $g(x)!=0$ per ogni $x \in I$ e anche qui ci siamo. Se $AA x \in I : g'(x)!=0$ e anche qui ci siamo. Dovresti verificare poi se $EE lim_{x->0} (df)/(dg) $ in questo caso esiste ed è $1/2$. Solo adesso puoi affermare che anche il limite iniziale ha valore $1/2$.
Si avrebbero da fare un bel po di verifiche e calcoli! De Hopital diventa già più scomodo da utilizzare se si hanno funzioni complicatucce da derivare.
Inoltre $DH$ può generare cicli e può non aiutare minimamente. Ad esempio , prova a vedere che succede se applichi Hopital a questo limite :
$lim_{x->0} \sqrt(sinx)/\sqrt(x)$

Ciao!

[tuttoscorre]

Grazie mille per tutte le risposte!
Buon weekend!
Francesco.