Cosa ho sbagliato nel calcolo di questo limite?
Buongiorno!
Nel risolvere il seguente limite so di aver commesso un errore, perché facendo la verifica con il teorema de l'Hopital ottengo risultati diversi. Mi potreste cortesemente indicare quale madornale errore ho commesso nel mio tentato processo risolutivo?
Grazie mille,
Francesco.
Il limite:
$lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x - 1)/(x^2) - x/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x -1)/(x) * (1/x) - 1/x=$
$lim_{x \to \0} (e^x -1)/x = 1$ per limite notevole, quindi
$=lim_{x \to \0} 1/x - 1/x = 0$
Nel risolvere il seguente limite so di aver commesso un errore, perché facendo la verifica con il teorema de l'Hopital ottengo risultati diversi. Mi potreste cortesemente indicare quale madornale errore ho commesso nel mio tentato processo risolutivo?
Grazie mille,
Francesco.
Il limite:
$lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x - 1)/(x^2) - x/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x -1)/(x) * (1/x) - 1/x=$
$lim_{x \to \0} (e^x -1)/x = 1$ per limite notevole, quindi
$=lim_{x \to \0} 1/x - 1/x = 0$
Risposte
e no alla fine hai $ +\infty-\infty$ che è una forma indeterminata
Ma $1/x - 1/x$ non fa semplicemente zero? Ops!
quando fa zero? ricorda che $x$ sta andando a $+\infty$ e la differenza tra quelle frazioni non riesci a controllarla molto bene....
Prova a risolvere questo limite con Taylor/MacLaurin.
Sostituisci ad $e^x$ il polinomio equivalente fino al secondo grado, dato che hai al denominatore una $x$ al grado 2.
Sostituisci ad $e^x$ il polinomio equivalente fino al secondo grado, dato che hai al denominatore una $x$ al grado 2.
Grazie mille per il suggerimento!
"tuttoscorre":
Grazie mille per il suggerimento!
Aspetta l'approvazione di un utente più bravo di me prima di farlo. Non sono sicuro di ciò che ho detto!
quel limite lo si può risolvere o con Taylor o con De L'Hopital:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{\bf (H)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x }=\frac{1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{\bf (T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-x-1}{x^2 }=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^2}{2} }{x^2 }=\frac{1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{\bf (H)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x }=\frac{1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\stackrel{\bf (T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-x-1}{x^2 }=\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^2}{2} }{x^2 }=\frac{1}{2}
\end{align*}
Ottimo, pensavo di aver detto una stupidaggine

E' ben vero che $12-12 =0 $ così come $ 157-157=0 $ cioè la differenza tra due numeri uguali è $0$.
Ma qui hai la differenza non tra due numeri ma tra qualcosa che tende all'$oo$ e quindi hai una forma indeterminata $oo-oo $ che non sai controllare.
Non spezzare la frazione in 2 , vai solo incontro a guai
se sviluppi il polinomio di Taylor per $e^x$ al secondo ordine ottieni subito il valore corretto : $1/2$.
Ma qui hai la differenza non tra due numeri ma tra qualcosa che tende all'$oo$ e quindi hai una forma indeterminata $oo-oo $ che non sai controllare.
Non spezzare la frazione in 2 , vai solo incontro a guai

"tuttoscorre":
$lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x - 1)/(x^2) - x/(x^2) = lim_{x \to \0} (e^x -1)/(x) * (1/x) - 1/x=$
$lim_{x \to \0} (e^x -1)/x = 1$ per limite notevole, quindi
$=lim_{x \to \0} 1/x - 1/x = 0$
L'errore a mio parere è che hai fatto una sostituzione parziale al limite, il che non è lecito. Non è lecito perché ad esempio applicheresti male il teorema della somma e del prodotto di limiti di funzioni...
Quello che puoi dire è questo.
Se esistono $lim_{x->0} (e^x-1)/x . lim_{x->0} (1/x)$ allora
$EE lim_{x->0}(e^x-1)/x*(1/x)-1/x = lim_{x->0}((e^x-1)/x)* lim_{x->0}1/x-lim_{x->0}1/x$ ma ti accorgi
che hai allora una indeterminazione $\infty-\infty$ che non ti permette di dir nulla sul limite di partenza.
A mio parere , ti consiglio altre strade per la risoluzione di $lim_{x \to \0} (e^x -x -1)/(x^2)$.
Ad esempio utilizzando Mac Lurin [in spoiler alcune osservazioni]
Un'altro metodo è quello di applicare il teorema di De Hopital - Bernulli. Ma anche qui, devi fare molta attenzione. Personalmente, se posso evitarlo lo evito. Perché dovresti far un poco di verifiche iniziali.
Ciao!
Grazie mille per tutte le risposte!
Buon weekend!
Francesco.
Buon weekend!
Francesco.