[EX] Funzioni continue

[Rigel1]

Vorrei proporre una piccola generalizzazione di un esercizio, che ha avuto un certo seguito, proposto in questo post:
teorema-valori-intermedi-esercizio-t106484.html
di cui riporto il testo:

Un uomo percorre un tragitto di 777km in 7h; dimostrare che esiste un intervallo di un'ora dove ha percorso esattamente 111km.

La generalizzazione che propongo è la seguente:

Un uomo (molto lento) percorre un tragitto di \(T\) km in \(T\) ore. Dimostrare che, per ogni \(\tau\in (0, T/2]\), esiste un intervallo di \(\tau\) ore dove ha percorso esattamente \(\tau\) km.
Mostrare, con un esempio, che se invece \(\tau\in(T/2, T)\) non è detto che questo avvenga.

[Demostene92]

E' assodato che l'uomo (molto lento) non torni indietro una volta percorso un tot di km?

[Rigel1]

Se vuoi puoi anche assumerlo; comunque si può concedere, all'uomo molto lento e molto distratto, anche di tornare indietro a raccogliere gli occhiali da sole che gli sono caduti lungo il tragitto (insomma, non è necessario fare quell'ipotesi aggiuntiva, ma se ti semplifica il problema puoi anche farla ).

[Demostene92]

Niente, non sono in grado xD. Volevo provarci per vedere se fossi almeno in grado di risolvere queste tipologie (immagino banali) di dimostrazioni, ma non ne ho le capacità

[Rigel1]

Non demoralizzarti; in tua difesa posso dire che la dimostrazione, per quanto non difficile, non è del tutto banale.

[Quinzio]

"Rigel":Se vuoi puoi anche assumerlo; comunque si può concedere, all'uomo molto lento e molto distratto, anche di tornare indietro a raccogliere gli occhiali da sole che gli sono caduti lungo il tragitto.

Capperi, sono io.

Il concetto che porta alla dimostrazione mi pare di averlo intuito, anche se non so come tradurlo in termini formali.
In ogni caso si parte considerando la funzione $g(x)=f(x)-xS/T$
dove $f(x)$ è la funzione che descrive il cammino dell'uomo dalla partenza, lo zero, alla meta distante $S$, che raggiunge in un tempo $T$.
La funzione $g$ è il cammino di un uomo che parte da un punto e vi ritorna dopo un tempo T. Dimostrare il problema originale equivale a dimostrare che l'uomo del problema "$g$" passa per lo stesso punto dopo un tempo $\tau$. Chiaramente in entrambi i problemi gli uomini si muovono su una curva, non su una superficie, cioè se invertono la direzione del movimento, devono rifare il cammino al contrario.
Della funzione $g(x)$ si individuano il massimo e il minimo, che esistono per Weiestrass.
Sia quindi $Q$ l'insieme dei punti $x_i$ tale che $g(x_i)=y$, dove $y\in[min g, max g]$.
Si tratta di dimostrare, e intuitivamente si vede che è vero che $\EE y, j, k: \ \ |j-k|=\tau, \ \ \ \ g(j)=g(k)=y $

Il tutto potrebbe risolversi dicendo che esiste una opprtuna successione di massimi e minimi relativi della $g$ tale per cui si trova $|j-k|=\tau$, ma qui mi fermo, però.

[gio73]

Ciao, non ho letto l'altra discussione per non copiare. Ringrazio anticipatamente per le osservazioni/correzioni che mi vorrete fare.

Tutto quello che mi viene in mente è:

1) l'uomo procede di moto uniforme, dunque la funzione che descrive il suo tragitto è una retta e in tutti gli intervalli di 1h ha percorso esattamente 111km
2) l'uomo non procede di moto uniforme, ma quale che sia il grafico della funzione che congiunge il punto a tempo 0 e km 0 con quello a tempo 7h e km 777, ci deve essere almeno un punto la cui tangente sia parallela alla retta precedente

[Seneca1]

Non capisco come interpretare il "molto lento"...

[Quinzio]

"Seneca":Non capisco come interpretare il "molto lento"...

Sarò stanco... mm no, per Lagrange a un certo punto deve andare almeno a una velocità $S/T$, quindi proprio lento non è.

[Rigel1]

"Seneca":Non capisco come interpretare il "molto lento"...

Se uno percorre \(T\) chilometri in \(T\) ore, non è certo particolarmente veloce
(Nel problema originario l'omino viaggiava a 111 Km/h.)

[Seneca1]

Orca, avevo completamente ignorato il significato (reale) dei dati!

[Rigel1]

Intanto formuliamo il problema in termini matematici.
Indichiamo con \(f:[0,T]\to\mathbb{R}\) al posizione del nostro eroe in funzione del tempo. Assumiamo che \(f\) sia continua; per ipotesi sappiamo che, posto \(f(0) = 0\), si ha \(f(T) = T\).
Dobbiamo dimostrare che, dato \(\tau\in (0, T/2]\), esiste \(t_0\in [0, T-\tau]\) tale che \(f(t_0+\tau) = f(t_0) + \tau\).

Hint:

Può essere utile definire la funzione \(g(t) := f(t) - t\); si tratta dunque di trovare \(t_0\in [0, T-\tau]\) tale che \(g(t_0+\tau) = g(t_0)\). Osserviamo che adesso \(g\) è una funzione continua in \([0,T]\) e soddisfa \(g(0) = g(T) = 0\); possiamo dunque estenderla con periodicità a tutto \(\mathbb{R}\).
A questo punto possiamo definire la funzione \(\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(\phi(t) := g(t+\tau) - g(t)\); si tratta di dimostrare che esiste \(t_0\in [0,T-\tau]\) tale che \(\phi(t_0) = 0\).

[Esposito.sofia1]

come si conclude questa dimostrazione ? '' si tratta di dimostrare che esiste t0∈[0,T−τ] tale che ϕ(t0)=0.''

[Rigel1]

Indichiamo con \(f:[0,T]\to\mathbb{R}\) la posizione al tempo \(t\). Per ipotesi sappiamo che, posto \(f(0) = 0\), si ha \(f(T) = T\). Possiamo inoltre assumere che \(f\) sia continua.
Dobbiamo dimostrare che, dato \(\tau\in (0, T/2]\), esiste \(t_0\in [0, T-\tau]\) tale che \(f(t_0+\tau) = f(t_0) + \tau\).
Definiamo la funzione \(g(t) := f(t) - t\); si tratta dunque di trovare \(t_0\in [0, T-\tau]\) tale che \(g(t_0+\tau) = g(t_0)\).
La funzione \(g\) è continua in \([0,T]\) e soddisfa \(g(0) = g(T) = 0\).
Se \(g\) è costante (dunque identicamente nulla), la tesi è immediata.
Supponiamo dunque che \(g\) non sia costante; per il teorema di Weierstrass esistono \(x_0,x_1\in [0, T]\) tali che
\[
g(x_0) = \min_{x\in [0, T]} g(x),\qquad
g(x_1) = \max_{x\in [0,T]} g(x).
\]
Estendiamo con periodicità \(g\) a tutto \(\mathbb{R}\) e definiamo la funzione \(\phi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(\phi(t) := g(t+\tau) - g(t)\); si tratta di dimostrare che esiste \(t_0\in [0,T-\tau]\) tale che \(\phi(t_0) = 0\). Abbiamo che
\[
\phi(x_0) = g(x_0+\tau) - g(x_0) \geq 0,\qquad
\phi(x_1) = g(x_1+\tau) - g(x_1) \leq 0,
\]
dunque esiste \(\sigma\in [0,T]\) (più precisamente, appartenente all'intervallo chiuso di estremi \(x_0\) e \(x_1\)) tale che \(\phi(\sigma) = 0\).
Se \(\sigma\leq T-\tau\) basta dunque scegliere \(t_0 = \sigma\); se invece \(\sigma \in (T-\tau, T]\) basta scegliere \(t_0 = \sigma - \tau\).

Se \(\tau\in (T/2, T)\), per costruire un controesempio basta considerare \(f(t) = t + \sin(2\pi t/T\), vale a dire \(g(t) = \sin(2\pi t/T\).

[Esposito.sofia1]

''Se g è costante (dunque identicamente nulla), la tesi è immediata.''
Non ho capito questo passaggio...

[Rigel1]

Se \(g\) è identicamente nulla hai che \(f(t) = t\) per ogni \(t\in [0,T]\), quindi non è difficile trovare l'intervallo richiesto.

[Esposito.sofia1]

Grazie davvero eccellente!!! =)

[Esposito.sofia1]

No aspetta.. i conti non mi tornano...Per applicare il teorema di Bolzano alla funzione fi, ho bisogno delle disuguaglianze strette.. quindi dovresti dire se vale l'uguale allora ho gia $g(x_0)= g(x_0 + tau)$... Se fi(x_0)=0 e fi(x_1)=0 allora fi è costante... se ne vale una ragiono separatamente... Basta quindi considerare il caso in cui vale solo una disuguaglianza.. RIASSUMENDO: può accadere che fi(x_0)=0 e fi(x1)<0 devo ragionare su cio che succede.. Perchè l'obbiettivo è dimostrare che fi ha uno zero.. E SE VALE IL SEGNO DI UGUALE HO GIA' DIMOSTRATO CHE ESISTE UNO ZERO PERCHè fi(x-0)=0

[Rigel1]

Delle disuguaglianze strette per il teorema di Bolzano abbiamo già parlato...

[Esposito.sofia1]

Perchè se devo dimostrare che esiste t_o tale che.... chiamo t_0= x_0 e ho finito! no?

[Rigel1]

Sì; ne abbiamo già parlato non più di uno o due giorni fa.