Esercizio sulle serie "troppo semplice"
Ciao a tutti 
oggi mentre facevo un esercizio sulle serie (risolto in due passaggi) mi sono reso conto che di certo avevo sbagliato qualche ragionamento..è un esercizio di una sessione di esami e non credo possa essere risolvibile così banalmente..
passiamo all'esercizio :
dobbiamo studiare la seguente serie al variare del parametro x appartenente ai reali positivi
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} \)
ho sviluppato i calcoli al denominatore ed ho ottenuto
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+n(2x+2)+x^2+2x} \)
poi se ho capito bene il procedimento, tale somma è asintotica a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)
ed essendo una serie armonica con \(\displaystyle \alpha > 1\) quindi convergente, allora anche la prima serie converge
ed in particolare (dato che dobbiamo studiare il parametro), la serie converge \(\displaystyle \forall x appartente R+ \)
sicuramente è sbagliato..spero siate clementi e mi possiate aiutare a capire meglio come ci si comporta in questi casi ed in particolare a capire il criterio con cui si determina l'asintotica di una serie
ho letto sul forum che bisogna considerare solo gli infiniti di ordine superiore, altri dicono di usare Taylor al primo ordine (provando con entrambi ottengo risultati differenti)
oggi mentre facevo un esercizio sulle serie (risolto in due passaggi) mi sono reso conto che di certo avevo sbagliato qualche ragionamento..è un esercizio di una sessione di esami e non credo possa essere risolvibile così banalmente..passiamo all'esercizio :
dobbiamo studiare la seguente serie al variare del parametro x appartenente ai reali positivi
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} \)
ho sviluppato i calcoli al denominatore ed ho ottenuto
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+n(2x+2)+x^2+2x} \)
poi se ho capito bene il procedimento, tale somma è asintotica a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)
ed essendo una serie armonica con \(\displaystyle \alpha > 1\) quindi convergente, allora anche la prima serie converge
ed in particolare (dato che dobbiamo studiare il parametro), la serie converge \(\displaystyle \forall x appartente R+ \)
sicuramente è sbagliato..spero siate clementi e mi possiate aiutare a capire meglio come ci si comporta in questi casi ed in particolare a capire il criterio con cui si determina l'asintotica di una serie
ho letto sul forum che bisogna considerare solo gli infiniti di ordine superiore, altri dicono di usare Taylor al primo ordine (provando con entrambi ottengo risultati differenti)
Risposte
Anzitutto osserviamo che la serie, per $n$ sufficientemente grande è a termini positivi: infatti se $x$ è un intero negativo, non vanno considerati i termini corrispondenti ai valori di $n$ per cui risulta $(n+x)(n+x+1).$ Applicando il criterio di Raabe si ha
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)&=\lim_{n\to+\infty} n\left(\frac{(x+n+1)(x+n+2)}{(x+n)(x+n+1)}-1\right)=\lim_{n\to+\infty} n\left(\frac{3n+2x+2}{(x+n)(x+n+1)}-1\right)\\
&\sim\lim_{n\to+\infty} \frac{3n^2 }{n^2} =3
\end{align*}
e dunque per Raabe la serie risulta convergente!
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)&=\lim_{n\to+\infty} n\left(\frac{(x+n+1)(x+n+2)}{(x+n)(x+n+1)}-1\right)=\lim_{n\to+\infty} n\left(\frac{3n+2x+2}{(x+n)(x+n+1)}-1\right)\\
&\sim\lim_{n\to+\infty} \frac{3n^2 }{n^2} =3
\end{align*}
e dunque per Raabe la serie risulta convergente!
"Noisemaker":
infatti se $x$ è un intero negativo
il testo ci dice che x appartiene ai reali positivi (escluso lo zero)
Per il resto..non credevo fosse così semplice! quindi bastava applicare raabe e si risolveva. Dunque è giusto come pensavo io che la serie converge qualunque sia il valore di x?
Ma il procedimento che ho usato io è sbagliato? Il confronto asintotico dico..
Magari se gli dai un occhiata puoi dirmi se è corretto pure il mio procedimento?
E se non è chiederti troppo potresti spiegarmi meglio come si determina l'asintotica di un'altra serie?
Faccio un esempio così vedi ciò che ho capito e se è corretto o meno
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n+ln(n)}{n^2+1} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{ln(n)}{n^2} \)
approssimando con Taylor al primo grado ottengo
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{ln(n)}{n^2} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{\frac{1}{n}}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \)
Quindi la serie di partenza è asintotica alla serie armonica, ed in particolare questa serie converge quindi anche quella inziale converge
Ho fatto bene?
"Oiram92":
[quote="Noisemaker"]infatti se $x$ è un intero negativo
il testo ci dice che x appartiene ai reali positivi (escluso lo zero)[/quote]
meglio ancora! non avevo letto bene
"Oiram92":
E se non è chiederti troppo potresti spiegarmi meglio come si determina l'asintotica di un'altra serie?
Faccio un esempio così vedi ciò che ho capito e se è corretto o meno
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n+ln(n)}{n^2+1} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{ln(n)}{n^2} \)
approssimando con Taylor al primo grado ottengo
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{ln(n)}{n^2} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{\frac{1}{n}}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \)
Quindi la serie di partenza è asintotica alla serie armonica, ed in particolare questa serie converge quindi anche quella inziale converge
Ho fatto bene?
attenzione questo non va bene
"Noisemaker":
attenzione questo non va bene
Ahia
allora mi sa proprio che non l'ho capito il metodo..Posso rubarti qualche altro minuto del tuo tempo?
per favore potresti spiegarmi i passaggi corretti con qualche commento in modo che possa riuscire a camminare da solo con le mie gambe?
allora:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n+\ln n}{n^2+1}
\end{align*}
anzitutto osservi che si tratta di una serie a termini definitivamente positivi, e dunque è possibile applicarci un opportuno criterio di convergenza; consideriamo il termine generale e proviamo ad applicare il criterio del confronto asintotico: quando $n\to+\infty$ a numeratore abbiamo che
\begin{align*}
n+\ln n \sim n
\end{align*}
in quanto
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} n+\ln n= \lim_{n\to+\infty} n \left(1+\frac{\ln n}{n}\right)\sim n
\end{align*}
mentre a denominatore abbiamo semplicemente che
\begin{align*}
n^2+1\sim n^2
\end{align*}
allora il termine generale della tua serie si comporta asintoticamente come il termine generale della serie:
\begin{align*}
\frac{n+\ln n}{n^2+1}\sim \frac{n }{n^2 }= \frac{1}{n}\to\mbox{diverge}
\end{align*}
e dunque diverge anche la serie data.
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n+\ln n}{n^2+1}
\end{align*}
anzitutto osservi che si tratta di una serie a termini definitivamente positivi, e dunque è possibile applicarci un opportuno criterio di convergenza; consideriamo il termine generale e proviamo ad applicare il criterio del confronto asintotico: quando $n\to+\infty$ a numeratore abbiamo che
\begin{align*}
n+\ln n \sim n
\end{align*}
in quanto
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} n+\ln n= \lim_{n\to+\infty} n \left(1+\frac{\ln n}{n}\right)\sim n
\end{align*}
mentre a denominatore abbiamo semplicemente che
\begin{align*}
n^2+1\sim n^2
\end{align*}
allora il termine generale della tua serie si comporta asintoticamente come il termine generale della serie:
\begin{align*}
\frac{n+\ln n}{n^2+1}\sim \frac{n }{n^2 }= \frac{1}{n}\to\mbox{diverge}
\end{align*}
e dunque diverge anche la serie data.
Grazie mille ! Ho capito cosa avevo sbagliato devo andare a rivedermi la gerarchia degli infiniti perchè pensavo fosse il logaritmo a tendere a infinito prima
Ultimo dubbio e giuro che non ti rompo più
se invece avessi avuto :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1+ln(n)}{n^2+1} \)
avrei dovuto far così :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1+ln(n)}{n^2+1} \sim \sum_{n=1}^\infty\frac{ln(n)}{n^2} \)
adesso sarebbe giusto approssimare il numeratore con Taylor, no? quindi :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{ln(n)}{n^2} \sim \sum_{n=1}^\infty\frac{\frac{1}{n}}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \)
devo andare a rivedermi la gerarchia degli infiniti perchè pensavo fosse il logaritmo a tendere a infinito prima Ultimo dubbio e giuro che non ti rompo più
se invece avessi avuto :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1+ln(n)}{n^2+1} \)
avrei dovuto far così :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1+ln(n)}{n^2+1} \sim \sum_{n=1}^\infty\frac{ln(n)}{n^2} \)
adesso sarebbe giusto approssimare il numeratore con Taylor, no? quindi :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{ln(n)}{n^2} \sim \sum_{n=1}^\infty\frac{\frac{1}{n}}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \)
no !
\begin{align*} \frac{1+\ln n}{n^2+1}\sim \frac{ \ln n}{n^2 }= \frac{ 1}{n^2\cdot \ln^{-1} n}\to \mbox {Converge}\end{align*}
dove vale il seguente risultato generale (dimostrabile per esempio con il criterio di condensazione di Cauchy)
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}
=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*} \frac{1+\ln n}{n^2+1}\sim \frac{ \ln n}{n^2 }= \frac{ 1}{n^2\cdot \ln^{-1} n}\to \mbox {Converge}\end{align*}
dove vale il seguente risultato generale (dimostrabile per esempio con il criterio di condensazione di Cauchy)
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}
=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
Benissimo ti ringrazio penso di aver capito
Si approssima la serie con una simile calcolando i vari limiti e quindi considerando la "funzione" che tende prima ad infinito
ottenuta la nuova serie si studia la convergenza di quella serie.
Grazie mille ancora!!
penso di aver capitoSi approssima la serie con una simile calcolando i vari limiti e quindi considerando la "funzione" che tende prima ad infinito
ottenuta la nuova serie si studia la convergenza di quella serie.
Grazie mille ancora!!
"Noisemaker":
no !
\begin{align*} \frac{1+\ln n}{n^2+1}\sim \frac{ \ln n}{n^2 }= \frac{ 1}{n^2\cdot \ln^{-1} n}\to \mbox {Converge}\end{align*}
dove vale il seguente risultato generale (dimostrabile per esempio con il criterio di condensazione di Cauchy)
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}
=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>0, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
Dal momento che la serie $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ \ln n)$ diverge temo che la serie $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ \ln^{\beta} n)$ converga per $\beta>1$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
ops grazie correggo subito!
"Oiram92":
Ciao a tutti
passiamo all'esercizio :
dobbiamo studiare la seguente serie al variare del parametro x appartenente ai reali positivi
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} \)
ho sviluppato i calcoli al denominatore ed ho ottenuto
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+n(2x+2)+x^2+2x} \)
poi se ho capito bene il procedimento, tale somma è asintotica a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)
ed essendo una serie armonica con \(\displaystyle \alpha > 1\) quindi convergente, allora anche la prima serie converge
ed in particolare (dato che dobbiamo studiare il parametro), la serie converge \(\displaystyle \forall x appartente R+ \)
sicuramente è sbagliato..spero siate clementi e mi possiate aiutare a capire meglio come ci si comporta in questi casi ed in particolare a capire il criterio con cui si determina l'asintotica di una serie
ho letto sul forum che bisogna considerare solo gli infiniti di ordine superiore, altri dicono di usare Taylor al primo ordine (provando con entrambi ottengo risultati differenti)
E' possibile dimostrare che e'...
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(x+n)\ (x+n+1)} = \phi(x+1)- \phi(x)$ (1)
... ove...
$\phi(x) = \frac{d}{dx} \ln x!\ ,\ x! =\int_{0}^{\infty} t^{x}\ e^{-t}\ dt$ (2)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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