Gruppo delle matrici

[milos144]

Devo verificare se $G =2×2( ( a , b ),( -b , a ) )$ Dove $a $ e $b$ sono numeri reali entrambi non nulli con l'operazione di prodotto é un gruppo.
Qui non ho problemi a farlo.
Il problema é quando devo scrivere $( ( a , b ),( -b , a ) )$ come $al + bj $, dove $j=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) )$
Poi mi chiede anche se mi ricorda qualcosa di familiare.
Mi potete fare un esempio di una matrice scritta in quel modo? Poi proseguo io.

[luca691]

Numeri complessi?...

[milos144]

Qui si parla di numeri reali.

[luca691]

Intendevo che j al quadrato dà -1, il che a me ricorda i numeri complessi

[killing_buddha]

"milos144":Qui si parla di numeri reali.

Il saggio indica la luna...

[milos144]

Secondo me intende le matrici di questo tipo:
premesso che $a $ e $b$ non sono entrambi nulli, cioé $a^2 +b^2 !=0$
noi dobbiamo scrivere le matrici $( ( a , b ),( -b , a ) )$ come $aI + bJ$ Dove $J=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) )$
Se considero $a=0$ devo considerare $b!=0$ e quindi se considero $b=3$ per esempio ottengo

$0*I = 0*( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )+ 3( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) )= ( ( 0 , 3),( -3, 0 ) )$

Se considero invece $b=0$ allora $a!=0$. Per esempio considerando $a=3$ ottengo

$3*( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )+ 0( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) )= ( ( 3 , 0),( 0, 3 ) )$
Cosa ne pensate....

Con queste matrici il gruppo é abeliano

[killing_buddha]

Sia $C$ l'insieme delle matrici che scrivi nell'opening.

L'omomorfismo di $\mathbb R$-algebre $\mathbb R[X] \to M_2(\mathbb R)$ che manda $X$ in $J$ ha per nucleo $(X^2+1)$; questo cosa ti fa dedurre, dato che è suriettivo su $C$?

[milos144]

Grazie sempre per l'aiuto....mi puoi fare un esempio piú pratico. Sono solo all'inizio con lo studio dei gruppi....ho il concetto di omomorfismo e nucleo....ma sono ancora indietro...sto utilizzando l'herstein.
Grazie ancora.