Significato corrispondenza one-to-one
Ciao a tutti, sto preparando un esame di Complementi di Algebra, ma sto avendo delle difficoltà nella comprensione di alcuni argomenti. Inizio con il primo dubbio:
Una proposizione afferma che , dato $F(\alpha)$ un'estensione semplice di un campo $F$ e $\Omega$ un secondo campo contenente $F$:
-se $\alpha$ è trascendente allora $\forall$ $F$-omomorfismo $\varphi: F(\alpha) \to \Omega $, $\varphi(\alpha)$ è trascendente su $F$ ed esiste una corrispondenza univoca (one-to-one) della mappa $\varphi \mapsto \varphi(\alpha)$.
Cosa significa questa corrispondenza univoca? Si prova l'esistenza di una'applicazione che associa un elemento trascendente di $F(\alpha)$ un altro in $\Omega$ ?
Un'altra cosa: nella dimostrazione c'è scritto che , essendo $\alpha$ un elemento trascendente, $F[\alpha]$ è isomorfo all'anello dei polinomi nel simbolo $\alpha$ con coeff in $F$, ma non è proprio la definizione di $F[\alpha]$?
Per quanto riguarda la teoria di Galois, ho iniziato da poco a studiarla ma, perchè vengono coinvolti gli automorfismi? Non riesco a capire il collegamento tra essi e l'esistenza o meno di radici in un polinomio di grado superiore al quarto..
Mi rendo conto che sono domande banali , ma prima di procedere con altri argomenti vorrei che le parti precedenti fossero tutte chiare!
EDIT: avevo denominato in due diversi modi lo stesso omomorfimo $\varphi$
Una proposizione afferma che , dato $F(\alpha)$ un'estensione semplice di un campo $F$ e $\Omega$ un secondo campo contenente $F$:
-se $\alpha$ è trascendente allora $\forall$ $F$-omomorfismo $\varphi: F(\alpha) \to \Omega $, $\varphi(\alpha)$ è trascendente su $F$ ed esiste una corrispondenza univoca (one-to-one) della mappa $\varphi \mapsto \varphi(\alpha)$.
Cosa significa questa corrispondenza univoca? Si prova l'esistenza di una'applicazione che associa un elemento trascendente di $F(\alpha)$ un altro in $\Omega$ ?
Un'altra cosa: nella dimostrazione c'è scritto che , essendo $\alpha$ un elemento trascendente, $F[\alpha]$ è isomorfo all'anello dei polinomi nel simbolo $\alpha$ con coeff in $F$, ma non è proprio la definizione di $F[\alpha]$?
Per quanto riguarda la teoria di Galois, ho iniziato da poco a studiarla ma, perchè vengono coinvolti gli automorfismi? Non riesco a capire il collegamento tra essi e l'esistenza o meno di radici in un polinomio di grado superiore al quarto..
Mi rendo conto che sono domande banali , ma prima di procedere con altri argomenti vorrei che le parti precedenti fossero tutte chiare!
EDIT: avevo denominato in due diversi modi lo stesso omomorfimo $\varphi$
Risposte
"martif.94":
Ciao a tutti, sto preparando un esame di Complementi di Algebra, ma sto avendo delle difficoltà nella comprensione di alcuni argomenti. Inizio con il primo dubbio:
Una proposizione afferma che , dato $F(\alpha)$ un'estensione semplice di un campo $F$ e $\Omega$ un secondo campo contenente $F$:
-se $\alpha$ è trascendente allora $\forall$ $F$-omomorfismo $\phi: F(\alpha) \to \Omega $, $\varphi(\alpha)$ è trascendente su $F$ ed esiste una corrispondenza univoca (one-to-one) della mappa $\phi \mapsto \varphi(\alpha)$.
Cosa significa questa corrispondenza univoca? Si prova l'esistenza di una'applicazione che associa un elemento trascendente di $F(\alpha)$ un altro in $\Omega$ ?
Stai dicendo che se \(\varphi\) è un morfismo di anelli che fissa $F$, esso è determinato da dove mandi $\alpha$; in più, questo elemento è trascendente se $\alpha$ era trascendente (ma la definizione di trascendenza non ha senso se non relativa a un campo, devi stare attent*). Dimostra questo fatto per assurdo.
Un'altra cosa: nella dimostrazione c'è scritto che , essendo $\alpha$ un elemento trascendente, $F[\alpha]$ è isomorfo all'anello dei polinomi nel simbolo $\alpha$ con coeff in $F$, ma non è proprio la definizione di $F[\alpha]$?
No, assolutamente: se $E|F$ è un'estensione di campi, $F[\alpha]$ è definita come l'immagine del morfismo di valutazione
\[
\text{ev}_\alpha : F[X] \to E : p(X) \mapsto p(\alpha)
\] $\alpha$ è trascendente se e solo se questa mappa $F$-lineare è iniettiva; se non lo è, il suo nucleo ha un generatore monico (perché $F[X]$ è un PID) che si chiama $\min(E,\alpha)$, il polinomio minimo di $\alpha$. Ora, ogni monomorfismo di anelli integri si estende ad un omomorfismo non banale tra i rispettivi campi delle frazioni, dunque nel caso in cui $\alpha$ sia $F$-trascendente \(\text{im}(\text{ev}_\alpha)\cong F(X)\). Sostanzialmente, questo morfismo è iniettivo, per definizione di trascendenza, ed è suriettivo sulla sua immagine per il primo teorema di isomorfismo (dentro $E$ c'è una copia isomorfa di $F[X]$, esattamente $F[\alpha]$).
Per quanto riguarda la teoria di Galois, ho iniziato da poco a studiarla ma, perchè vengono coinvolti gli automorfismi? Non riesco a capire il collegamento tra essi e l'esistenza o meno di radici in un polinomio di grado superiore al quarto..
Lo capirai alla fine del corso, mettendo insieme i pezzi: sostanzialmente, ad un polinomio associ un gruppo $G(p)$ finito (questo gruppo è il gruppo di Galois della estensione $E|F$ ottenuta aggingendo a $F$ tutte le radici di $p\in F[X]$), che quindi puoi rappresentare fedelmente come sottogruppo di $Sym(n)$ per qualche $n\ge 2$, che ha una proprietà (detta risolubilità) se e solo se potevi trovare una risolvente algebrica per il polinomio; l'esistenza di risolventi per polinomi di grado alto è un corollario del fatto che i gruppi simmetrici su $n\le 4$ lettere sono troppo piccoli per essere risolubili.
"killing_buddha":
Stai dicendo che se \(\varphi\) è un morfismo di anelli che fissa $F$, esso è determinato da dove mandi $\alpha$;
Perdona la mia stupidità, ma non riesco a capire..
"killing_buddha":
(ma la definizione di trascendenza non ha senso se non relativa a un campo, devi stare attent*).
Sì giusto. $\alpha$ è trascendente su F.
Un'altra cosa: nella dimostrazione c'è scritto che , essendo $\alpha$ un elemento trascendente, $F[\alpha]$ è isomorfo all'anello dei polinomi nel simbolo $\alpha$ con coeff in $F$, ma non è proprio la definizione di $F[\alpha]$?
"killing_buddha":
No, assolutamente: se $E|F$ è un'estensione di campi, $F[\alpha]$ è definita come l'immagine del morfismo di valutazione
\[
\text{ev}_\alpha : F[X] \to E : p(X) \mapsto p(\alpha)
\]
Andando a rivedere sul libro , mi sono accorta che $F[\alpha]$ lo definisce come "Stem field" , cioè la coppia $(E,\alpha)$ dove $E$ è l'estensione di un campo $F$ e $\alpha \in E$ è la radice di un polinomio monico irriducibile in $F[X]$. Come si potrebbe tradurre Stem field in italiano?
Per quanto riguarda la teoria di Galois [...] perchè vengono coinvolti gli automorfismi?
"killing_buddha":
Lo capirai alla fine del corso, mettendo insieme i pezzi: sostanzialmente, ad un polinomio associ un gruppo $G(p)$ finito (questo gruppo è il gruppo di Galois della estensione $E|F$ ottenuta aggingendo a $F$ tutte le radici di $p\in F[X]$), che quindi puoi rappresentare fedelmente come sottogruppo di $Sym(n)$ per qualche $n\ge 2$, che ha una proprietà (detta risolubilità) se e solo se potevi trovare una risolvente algebrica per il polinomio; l'esistenza di risolventi per polinomi di grado alto è un corollario del fatto che i gruppi simmetrici su $n\le 4$ lettere sono troppo piccoli per essere risolubili.
Però non riesco a capire dove hai utilizzato gli automorfismi...
"martif.94":
Perdona la mia stupidità, ma non riesco a capire..
$F(\alpha)$ è un $F$-spazio vettoriale che ha \(\{\alpha^k\mid k\ge 0\}\) come base; dunque ogni elemento di $F(\alpha)$ si scrive come \(\sum x_k\alpha^k\) per un'unica successione di combinatori $x_k$. Un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$, che è anche un omomorfismo di $F$-algebre, ora è determinato da dove manda $\alpha$ per un motivo molto ovvio. Trovalo.
Andando a rivedere sul libro , mi sono accorta che $F[\alpha]$ lo definisce come "Stem field" , cioè la coppia $(E,\alpha)$ dove $E$ è l'estensione di un campo $F$ e $\alpha \in E$ è la radice di un polinomio monico irriducibile in $F[X]$. Come si potrebbe tradurre Stem field in italiano?
Non lo so; in molti modi, credo.
Però non riesco a capire dove hai utilizzato gli automorfismi...
Come è definito il gruppo di Galois di una estensione di campi?
"killing_buddha":
$F(\alpha)$ è un $F$-spazio vettoriale che ha \(\{\alpha^k\mid k\ge 0\}\) come base; dunque ogni elemento di $F(\alpha)$ si scrive come \(\sum x_k\alpha^k\) per un'unica successione di combinatori $x_k$. Un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$, che è anche un omomorfismo di $F$-algebre, ora è determinato da dove manda $\alpha$ per un motivo molto ovvio. Trovalo.
Allora cerco di ragionare perchè non sto capendo più nulla.
Sulla definizione di $F$-spazio vettoriale ci sono. Invece il concetto di "$F$-algebra" non l'avevo mai trovato, che io ricordi. Cercando un po' su internet ho trovato che un omomorfismo di algebre è lo stesso, definito però su due algebre. Queste ultime sono degli spazi vettoriali definiti su di un campo con un'operazione binaria. Dovrebbe essere un'estensione con (in più) un'operazione (????).
Ora,un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$ è definito da $F(\alpha) \to \Omega$ ed è tale che $\varphi(a)=a \quad \forall a \in F$. L'omomorfismo $\varphi$ dipende dal grado di $\alpha$ nell'estensione?
"killing_buddha":
Come è definito il gruppo di Galois di una estensione di campi?
Il gruppo di Galois $Gal(E|F)$ di un'estensione di campi è il gruppo degli automorfismi relativi ad un'estensione di Galois.
Ma perchè proprio gli automorfismi?
"martif.94":
Allora cerco di ragionare perchè non sto capendo più nulla.
Sulla definizione di $F$-spazio vettoriale ci sono. Invece il concetto di "$F$-algebra" non l'avevo mai trovato, che io ricordi. Cercando un po' su internet ho trovato che un omomorfismo di algebre è lo stesso, definito però su due algebre. Queste ultime sono degli spazi vettoriali definiti su di un campo con un'operazione binaria. Dovrebbe essere un'estensione con (in più) un'operazione (????).
Ora,un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$ è definito da $F(\alpha) \to \Omega$ ed è tale che $\varphi(a)=a \quad \forall a \in F$. L'omomorfismo $\varphi$ dipende dal grado di $\alpha$ nell'estensione?
Cosa deduci dal fatto che $\varphi$ rispetta l'operazione di moltiplicazione, quando applichi $\varphi$ ad un elemento di $F(\alpha)$?
"killing_buddha":
Come è definito il gruppo di Galois di una estensione di campi?
Il gruppo di Galois $Gal(E|F)$ di un'estensione di campi è il gruppo degli automorfismi relativi ad un'estensione di Galois.
Ma perchè proprio gli automorfismi?
No, ed e' importante che tu capisca perche' no. Rileggi la definizione, o leggi queste note che ho scritto: la definizione del gruppo di Galois di una estensione e' la 4.1; la dimostrazione del fatto di cui chiedi conto nel post di apertura, tra l'altro, e' la Proposizione 2.1.
Il punto e' che sia il gruppo di Galois di un'estensione, sia il reticolo dei campi intermedi, esistono sempre; in una estensione di Galois questi reticoli sono anti-isomorfi, e il punto della teoria di Galois e' studiare un reticolo mediante l'altro.
Del resto e' pieno di situazioni interessanti in cui questo setting estremamente elementare va perduto; quando $E|F$ e' un'estensione di grado infinito, non c'e' speranza di poter rappresentare \(\text{Gal}(E|F)\) come sottogruppo di un gruppo simmetrico; tuttavia (ed e' un teorema piuttosto profondo) ogni tale gruppo e' un gruppo profinito, ossia e' isomorfo al limite inverso dei vari \(\text{Gal}(E|F_\lambda)\) al variare delle estensioni $F_\lambda|F$ che hanno grado finito su $F$.
Questo teorema ti permette di dotare \(\text{Gal}(E|F)\) di una topologia, la topologia profinita, che ha per base l'insieme delle classi laterali di sottogruppi di indice finito. Rispetto a questa topologia, \(\text{Gal}(E|F)\) e' un gruppo topologico, cioe' le operazioni di gruppo sono continue e la componente connessa dell'identita' ha un sacco di proprieta' fighe. La corrispondenza di Galois diventa allora una biiezione, per estensioni "fatte bene", tra estensioni intermedie e sottogruppi chiusi di \(\text{Gal}(E|F)\).
La cosa che secondo me e' davvero figa e' pero' che questo stesso setting porta a copiare la teoria di Galois quando l'oggetto del tuo interesse non soo piu' le equazioni polinomiali ma quelle differenziali. In quel contesto, puoi definire il gruppo degli automorfismi di $F(z)|F$, dove $F$ e' un campo differenziale e $z$ la soluzione di una equazione differenziale a valori in $F$. Qui \(\text{Gal}(F(z)|F)\) e' il gruppo degli automorfismi di $F(z)$ che fissano $F$, come per l'algebra, ma invece che rappresentazioni in termini di gruppi simmetrici devi studiarne rappresentazioni in gruppi di matrici.
Del resto e' pieno di situazioni interessanti in cui questo setting estremamente elementare va perduto; quando $E|F$ e' un'estensione di grado infinito, non c'e' speranza di poter rappresentare \(\text{Gal}(E|F)\) come sottogruppo di un gruppo simmetrico; tuttavia (ed e' un teorema piuttosto profondo) ogni tale gruppo e' un gruppo profinito, ossia e' isomorfo al limite inverso dei vari \(\text{Gal}(E|F_\lambda)\) al variare delle estensioni $F_\lambda|F$ che hanno grado finito su $F$.
Questo teorema ti permette di dotare \(\text{Gal}(E|F)\) di una topologia, la topologia profinita, che ha per base l'insieme delle classi laterali di sottogruppi di indice finito. Rispetto a questa topologia, \(\text{Gal}(E|F)\) e' un gruppo topologico, cioe' le operazioni di gruppo sono continue e la componente connessa dell'identita' ha un sacco di proprieta' fighe. La corrispondenza di Galois diventa allora una biiezione, per estensioni "fatte bene", tra estensioni intermedie e sottogruppi chiusi di \(\text{Gal}(E|F)\).
La cosa che secondo me e' davvero figa e' pero' che questo stesso setting porta a copiare la teoria di Galois quando l'oggetto del tuo interesse non soo piu' le equazioni polinomiali ma quelle differenziali. In quel contesto, puoi definire il gruppo degli automorfismi di $F(z)|F$, dove $F$ e' un campo differenziale e $z$ la soluzione di una equazione differenziale a valori in $F$. Qui \(\text{Gal}(F(z)|F)\) e' il gruppo degli automorfismi di $F(z)$ che fissano $F$, come per l'algebra, ma invece che rappresentazioni in termini di gruppi simmetrici devi studiarne rappresentazioni in gruppi di matrici.
"killing_buddha":
Cosa deduci dal fatto che $\varphi$ rispetta l'operazione di moltiplicazione, quando applichi $\varphi$ ad un elemento di $F(\alpha)$?
Spero sia solo la grossa confusione che ho in questo momento a non farmi ragionare. Questa sera riprendo in problema e ci ripenso. Intanto grazie per la pazienza!
Leggerò anche la tua risposta sulla teoria di Galois!
Per sbaglio ho risposto dall'account di un'altra ragazza , perchè l'aveva lasciato aperto sul mio pc.
Ecco cosa avevo scritto:
Provo a rispondere alla domanda che mi avevi fatto su $\alpha$. Sia $\varphi$ un omomorfismo tale che $\alpha \mapsto \varphi(\alpha)$ ed essendo $\alpha$ nel dominio, $\varphi$ dipenderà da dove manda $\alpha$.
Ora ho una domanda "basilare". L'esistenza di omomorfismi o isomorfismi, concettualmente, cosa comporta? Un omomorfismo in un certo senso conserva le operazioni di una struttura, ma in questo caso a cosa può servire?
Ecco cosa avevo scritto:
"killing_buddha":
Stai dicendo che se \(\varphi\) è un morfismo di anelli che fissa $F$, esso è determinato da dove mandi $\alpha$;
Provo a rispondere alla domanda che mi avevi fatto su $\alpha$. Sia $\varphi$ un omomorfismo tale che $\alpha \mapsto \varphi(\alpha)$ ed essendo $\alpha$ nel dominio, $\varphi$ dipenderà da dove manda $\alpha$.
Ora ho una domanda "basilare". L'esistenza di omomorfismi o isomorfismi, concettualmente, cosa comporta? Un omomorfismo in un certo senso conserva le operazioni di una struttura, ma in questo caso a cosa può servire?
"martif.94":
Provo a rispondere alla domanda che mi avevi fatto su $\alpha$. Sia $\varphi$ un omomorfismo tale che $\alpha \mapsto \varphi(\alpha)$ ed essendo $\alpha$ nel dominio, $\varphi$ dipenderà da dove manda $\alpha$.
In matematica determinato è un sinonimo di univocamente determinato; nella fattispecie, la locuzione "il morfismo $f$ è univocamente determinato dall'immagine di $\alpha$" significa che se $f(\alpha)=g(\alpha)$ per un altro morfismo $g$, allora $f$ coincide con $g$ su ogni elemento. Questo è ciò che devi dimostrare.
Ora ho una domanda "basilare". L'esistenza di omomorfismi o isomorfismi, concettualmente, cosa comporta? Un omomorfismo in un certo senso conserva le operazioni di una struttura, ma in questo caso a cosa può servire?
Stai facendo una domanda che è troppo presto per fare.
"killing_buddha":
In matematica determinato è un sinonimo di univocamente determinato; nella fattispecie, la locuzione "il morfismo $f$ è univocamente determinato dall'immagine di $\alpha$" significa che se $f(\alpha)=g(\alpha)$ per un altro morfismo $g$, allora $f$ coincide con $g$ su ogni elemento. Questo è ciò che devi dimostrare.
Ma perchè utilizzi il concetto di morfismo e non di omomorfismo?
"killing_buddha":
Stai facendo una domanda che è troppo presto per fare.
Quindi dovrei limitarmi a studiare meccanicamente? O arriverò a dare una risposta più in là?
perchè utilizzi il concetto di morfismo e non di omomorfismo
Quindi dovrei limitarmi a studiare meccanicamente?
Guarda con attenzione la risposta, e in particolar modo la punteggiatura della mia ultima frase; risponde a entrambe le domande.
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