Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Buongiorno, ho il seguente esercizio. Sia $G$ un gruppo con la proprieta' che $G$/$Z(G)$ e' ciclico, dimostrare che $G$ e' abeliano. Io ho fatto in questo modo: $G$/$Z(G)$ e' ciclico quindi per ogni $x$ in $G$ $x^i∈Z(G)$. di conseguenza $G={X^(i) z: z∈Z(G)}$ Ora non so piu' come procedere, potreste darmi un suggerimento??

Salve a Tutti. Non riesco a capire perché $K(X,Y)$ dove $K$ è un campo e $X,Y$ sono due indeterminate, non è un ampliamento semplice. Domandai questo alla mia prof ma lei mi disse di aspettare perché avrei saputo risolverlo più avanti nel corso dopo aver visto alcuni strumenti, ma ahimè, mi ritrovo ancora qua. Sulle note tra l'altro giustifica questo con il fatto che sono due elementi trascendenti su $K$, ma sinceramente non trovo il nesso. ...

Salve! Cercavo una dimostrazione del criterio della derivata. Purtroppo non sono riuscito a trovarla da nessuna parte. L'enunciato è piu o meno questo: "Sia $f(x) in RR[x] (o QQ[x])$ con $f(x)=\prod_{i=1}^k (f_i)^(a_i)$ una decomposizione in irriducibili distinti. Si ha che $(f,f')=\prod_{i=1}^k (f)^(a_i-1)$ e $f/(f,f')=\prod_{i=1}^k f_i$

ciao sto facendo questo esercizio ma l'ultimo punto non so proprio come farlo: sia $\sigma\ \in S_12$ la permutazione $\sigma=$ $((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12),(3, 9, 5, 12, 1, 11, 10, 7, 2, 8, 6, 4))$ 1.si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti. 2.si determini l'ordine di $\sigma$. 3.la parità di $\sigma$. 4.si calcoli la cardinalità della classe di coniugio si $\sigma$. SOLUZIONE: 1. $\sigma = $ $(1,3,5)(2,9)(4,12)(6,11)(7,10,8)$ 2. $o (\sigma) = mcm(3,2,2,2,3)=6 $ 3. $sign(\sigma) = -1$ $ \sigma$ è ...

Buongiorno, sono nuovo e non so se ho postato la domanda nella sezione giusta. Scusatemi se non è cosi. Allora il mio problema è relativo al noise-rate della somma di $M$ equazioni modulo 2. Supponiamo di avere $M$ equazioni del tipo: $a_{1,1}s_1 + a_{1,2}s_2 +...+ a_{1,N}s_N ~~_\epsilon b_1 (mod 2)$ $a_{2,1}s_1 + a_{2,2}s_2 +...+ a_{2,N}s_N ~~_\epsilon b_2 (mod 2)$ ... $a_{M,1}s_1 + a_{M,2}s_2 +...+ a_{M,N}s_N ~~_\epsilon b_M (mod 2)$ dove $s \in ZZ_2^N$, $b_i \in ZZ_2 AA i=1,...,N$ e i vettori $(a_{i,1}, a_{i,2}, ..., a_{i,N}) AA i=1,...,N$ sono scelti indipendentemente ed uniformemente in $ZZ_2^N $;ogni equazione è corretta ...

Ciao, ho un insieme S_ord che contiene quadruple (i, s, d, g) che sono state ordinate tramite l'indice i. Avrei la necessità adesso di estrarre la prima quadrupla per lavorare con le informazioni in essa contenute, ma non so formalmente come scrivere questa cosa. Come si fa? Grazie

Buonasera a tutti, ho un problema con il calcolo della cardinalita' degli elementi, invertibili e non, di alcuni tipi di anelli quoziente. L'esercizio mi richiede questo: dato $Zp[x,y]$/$I$ con $I=(x,y)^2$ calcolare la cardinalita' dell'anello. (e il numero di elementi invertibili lo aggiungo io, se possibile) Io ho fatto $(X,Y)(X,Y)=(X^2,Y^2,2XY)$ a questo punto?? Potreste spiegarmi passo per passo motivando le vostre risposte?

Ciao a tutti, ho un dubbio su una dimostrazione. Dati due numeri interi, come è possibile dimostrare che il comun divisore più grande è sempre divisibile per qualunque altro dei divisori comuni? Grazie.

Scusate in anticipo la banalità del problema. Voglio dimostrare che la seguente funzione è una corrispondenza biunivoca. $f: \mathbb{N^2} \mapsto \mathbb{N}, f(m,n)=2^m(2n+1)-1$ So che $f$ è iniettiva quando per ogni $x \in \mathbb{N}$ esiste al massimo una sola coppia $(m,n) \in \mathbb{N^2}$ tale che $2^m(2n+1)-1=x$, ossia è iniettiva quando se $f(m,n)=f(m',n') \Rightarrow (m,n)=(m',n')$. Pertanto imposto la seguente uguaglianza. $2^m(2n+1)-1=2^{m'}(2n'+1)-1$ $2^m(2n+1)=2^{m'}(2n'+1)$ Come procedo per dedurne che $m=m'$ e $n=n'$ ? Inoltre, per ...

Qualcuno può aiutarmi con questo esercizio? SI considerino i polinomi $P(x)=x^4+x^3-x-1 $ e $ Q(x)=x^4-x^3+x-1$ 1 Descrivere una decomposizione in fattori irriducibili in $QQ[x], RR[x], CC[x], ZZ_3[x]$ 2 Calcolare il $MCD(P(x), Q(x))=d(x) $ in $ QQ[x]$ e esprimerlo mediante l'identità di Bezout. Soluzione Riporto solo la scomposizione in $QQ[x]$ necessaria per il secondo punto: $P(x)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)$ $Q(x)=(x+1)(x-1)(x^2-x+1)$ Da cui si capisce che $d(x)=(x+1)(x-1)$, ma come lo esprimo mediante l'identità ...

Ho difficoltà con questo esercizio sui campi Quanti e Quali sono gli elementi di $ alpha $ dove $ alpha in Z[2804] $ tali che $ alpha^3 = alpha $ ? (* è Z[2804] come ad ad esempio Z7, Z11, Z13 (vedasi immagine allegata)) Click sull'immagine per visualizzare l'originale sicuramente gli elementi 0 e 1 appartengono al gruppo degli elementi. Poi bisogna trovare quegli elementi che elevati alla terza e sottraendo k*2804 da di nuovo il numero ...

Buongiorno a tutti, è la mia prima richiesta di aiuto su questo forum e spero vivamente che mi aiuti, poichè sono abbbatsanza bloccato su un esercizio dove sono in difficoltà. Esercizio Si consideri la permutazione σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 10 13 6 11 12 9 1 2 4 8 7 5 ∈ S13. Detto H := , determinare |H|. Esiste un sottogruppo di H di ordine 3? Esibirlo se esiste, o motivare la risposta in caso contrario. Dunque ho scomposto la permutazione in cicli disgiunti (1 3 13 5 ...

Ciao a tutti sto cercando di calcolare il seguente valore $ \aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} $ Una stima dall'alto la trovo maggiorando così (uso l'ipotesi generalizzata del continuo) $$ \aleph_{\omega}^{\aleph_{0}} = \prod_ {i\in \omega} \aleph_{i} $$ da cui ...

Buongiorno, ho la dimostrazione che un anello degli interi di gauss e' un dominio euclideo, ma ho un dubbio su questa e sugli esercizi che poi si risolvono allo stesso modo. L'anello degli interi di Gauss e' un dominio euclideo rispetto alla funzione $N(a+ib)=a^2+b^2$ dimostrazione Per ogni a,b so che la norma e' moltiplicativa, quindi $N(a/b)=N(a)/(N(b))$ Posso dire che l'anello $Z<em>$ e' euclideo se per ogni due elementi $a,b$ in $Z<em>$ esiste q in ...

Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con l'ultima parte di questo esercizio (e nel frattempo controllare che non ho fatto errori)? Nell'insieme $NN$x$NN$ si consideri la relazione $(x_1,y_1)rho(x_2,y_2)$ se $5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0$ Provare che $rho$ è di equivalenza e trovare le classi di (0,0) e (4,4) Soluzione Riflessiva $(x_1,y_1)rho(x_1,y_1) Rightarrow 5(x_1-x_1)+4(y_1-y_1)=0 Rightarrow 5*0+4*0=0$ Simmetrica $(x_1,y_1)rho(x_2,y_2) Rightarrow 5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0 Rightarrow 5x_1-5x_2+4y_1-4y_2=0 Rightarrow -5(x_2-x_1)-4(y_2-y_1)=0 Rightarrow 5(x_2-x_1)+4(y_2-y_1)=0 Rightarrow (x_2,y_2)rho(x_1,y_1)$ Antisimmetrica ...

Sia $G$ un sottogruppo discreto di $(\mathbb{R^n},+)$(dotato della topologia euclidea), dimostrare che: 1)$G$ è finitamente generato 2)i generatori sono linearmente indipendenti su $\mathbb{R^n}$ 3)$G$ è un gruppo libero di rango $k$(cioè è isomorfo a $\mathbb{R^n}$). Ho provato senza successo a dimostrare il punto $1)$: per definizione $G$ discreto vuol dire che $\forall r \in \mathbb{R^+}$ vale che ...

Ho due ideali generici $I=(x-a)$ e $J=(x-b)$, di $Z<em>$ devo dimostrare che sono coprimi. Io ho iniziato cosi, so che sono coprimi se $I+J=Z<em>$ quindi per la proprietà degli ideali se 1 è contenuto in $I+J$ A questo punto cosa devo fare?? Non ho idea di come andare avanti e non so neanche se questa sia la strada piú semplice o sia meglio utilizzarla solo in alcuni casi. Potreste aiutarmi?

Salve a tutti! Della serie "dubbi fantastici e dove trovarli"... sto trovando non pochi problemi nella costruzione dei campi di spezzamento. Mi spiego: dovendo determinare il campo di riducibilità di un dato polinomio, non riesco a costruirlo "materialmente". In pratica se ho un polinomio \(\displaystyle p(x) \) di grado \(\displaystyle n \), innanzitutto verifico che sia effettivamente irriducibile (controllo che non abbia radici nel campo corrispondente e che non ammetta fattorizzazioni in ...

Buongiorno, ho il seguente esercizio Dimostrare che $R$/${-1,+1}$ -> $R$ è un isomorfismo. Io ho pensato di risolvere trovando la legge dell'applicazione tramite il teorema che afferma che $xH=yH$ $<=>$ $x^-1y$ appartiene ad H Quindi ho fatto che $x^-1y=h$ e perciò $y/x=-1$ o +1 Perciò $y=-x$ o $y=x$ A questo punto mi blocco e non so come sfruttare questo risultato per trovare la legge. ...

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente quesito di algebra: Gal( $x^4$-16/ $QQ$ ) è un gruppo ciclico? Ho trovato le radici del polinomio che sono $\alpha_1$= $ +- 2 $ e $\alpha_2$= $+-2i $, poi mi sono bloccata. Grazie