Teoremi ed esercizi su Sylow
Ciao a tutti, ho bisogno di voi: sono alle prese con questo esercizio che credo di aver fatto giusto ma volevo capire da voi se il ragionamento è corretto oppure no!
Il testo dell'esercizio recita:
Sia G un gruppo di ordine 189 in cui i sottogruppi di Sylow sono tutti abeliani. Si determinino i possibili tipi di isomorfismi di G.
Io ho ragionato così:
$ |G| = 189 = 7 * 3^3 $
quindi la cardinalità dei 7-sylow deve dividere $ 3^3 $ quindi può essere $ n_7 = {1,3,9,27} $, ma nessuno di questi è $ n_7 -= 1 (mod 7) $ quindi necessariamente c'è un solo 7-sylow.
ragiono nella stessa maniera per la cardinalità dei 3-Sylow: in questo caso $ n_3 = {1,7} $ e questi sono gli unici 2 possibili casi in cui $ n_3 -= 1 (mod 3) $.
Devo verificare quindi quanti 3-Sylow ci sono:
(qui c'è un punto che non mi è chiaro che durante le esercitazioni non ho capito perché si fa questo controllo!)
Controllo che la $ |G| | 7! $, ma in questo caso non succede, quindi mi posso fermare qui e dire che $ EE ! 3-Sylow $
(AIUTO: qui è il primo punto che mi crea problemi.. anche perché se dividesse come potrei andare avanti per verificare quanti sono i 3-Sylow? quali sono i vari procedimenti per verificare ciò?)
ok allora sono andato avanti e ho detto:
$ |H|=7 $ e $ |K|=27 $ con $ (7,27)=1 $ e con $ H $ l'unico 7-Sylow e $ K $ l'unico 3-Sylow.
Quindi posso dire che la $ |G|=7 * 27 $ e quindi che i possibili isomorfismi sono:
1) $ G ~= \mathbb{Z}_7 xx \mathbb{Z}_27 $
2) $ G ~= \mathbb{Z}_7 xx \mathbb{Z}_9 xx \mathbb{Z}_3 $
3) $ G ~= \mathbb{Z}_7 xx \mathbb{Z}_3 xx \mathbb{Z}_3 xx \mathbb{Z}_3 $
sono corretti? ho sbagliato qualcosa? Il fatto dell'essere abeliani implica che sono tutti del tipo $ \mathbb{Z}_n $ oppure devo usarli in qualche altra maniera?
Grazie mille in anticipo per la pazienza
Il testo dell'esercizio recita:
Sia G un gruppo di ordine 189 in cui i sottogruppi di Sylow sono tutti abeliani. Si determinino i possibili tipi di isomorfismi di G.
Io ho ragionato così:
$ |G| = 189 = 7 * 3^3 $
quindi la cardinalità dei 7-sylow deve dividere $ 3^3 $ quindi può essere $ n_7 = {1,3,9,27} $, ma nessuno di questi è $ n_7 -= 1 (mod 7) $ quindi necessariamente c'è un solo 7-sylow.
ragiono nella stessa maniera per la cardinalità dei 3-Sylow: in questo caso $ n_3 = {1,7} $ e questi sono gli unici 2 possibili casi in cui $ n_3 -= 1 (mod 3) $.
Devo verificare quindi quanti 3-Sylow ci sono:
(qui c'è un punto che non mi è chiaro che durante le esercitazioni non ho capito perché si fa questo controllo!)
Controllo che la $ |G| | 7! $, ma in questo caso non succede, quindi mi posso fermare qui e dire che $ EE ! 3-Sylow $
(AIUTO: qui è il primo punto che mi crea problemi.. anche perché se dividesse come potrei andare avanti per verificare quanti sono i 3-Sylow? quali sono i vari procedimenti per verificare ciò?)
ok allora sono andato avanti e ho detto:
$ |H|=7 $ e $ |K|=27 $ con $ (7,27)=1 $ e con $ H $ l'unico 7-Sylow e $ K $ l'unico 3-Sylow.
Quindi posso dire che la $ |G|=7 * 27 $ e quindi che i possibili isomorfismi sono:
1) $ G ~= \mathbb{Z}_7 xx \mathbb{Z}_27 $
2) $ G ~= \mathbb{Z}_7 xx \mathbb{Z}_9 xx \mathbb{Z}_3 $
3) $ G ~= \mathbb{Z}_7 xx \mathbb{Z}_3 xx \mathbb{Z}_3 xx \mathbb{Z}_3 $
sono corretti? ho sbagliato qualcosa? Il fatto dell'essere abeliani implica che sono tutti del tipo $ \mathbb{Z}_n $ oppure devo usarli in qualche altra maniera?
Grazie mille in anticipo per la pazienza
Risposte
Hai svolto correttamente il caso in cui i Sylow sono tutti normali ma in generale $n_3$ può essere uguale a $7$. Probabilmente il vostro esercitatore ha sbagliato. Bisogna discutere tutti i casi in cui un gruppo abeliano $P$ di ordine $27$ ammette un omomorfismo verso $Aut(C_7) cong C_6$. Per fare un esempio, prendi un automorfismo $phi$ di $C_7$ di ordine $3$ (se $C_7$ è generato da $x$ allora puoi prendere $phi$ definito sul generatore da $phi(x)=x^2$), chiama [tex]C_3 = \langle \phi \rangle[/tex], allora puoi formare il prodotto semidiretto [tex]H=C_7 \rtimes C_3[/tex] definito dall'azione di cui sopra, a questo punto $H xx C_9$ per esempio è un gruppo di ordine 189 coi Sylow tutti abeliani ma non tutti i Sylow sono normali.
Hai il testo dell'esercizio?
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