Omomorfismi tra gruppi
Determinare tutti gli omomorfismi da $Z$/$12Z$ $->$ $Z$ / $7Z$.
Devo considerare i sottogruppi di Z/12Z e successivamente uguagliarli al nucleo dell’applicazione ? Ho un solo esercizio svolto di questa tipologia e non lo capisco
Devo considerare i sottogruppi di Z/12Z e successivamente uguagliarli al nucleo dell’applicazione ? Ho un solo esercizio svolto di questa tipologia e non lo capisco
Risposte
Il gruppo di partenza è ciclico quindi un omomorfismo $f:\mathbb{Z//12Z} \to \mathbb{Z//7Z}$ è completamente determinato una volta scelta l'immagine di un generatore , inoltre bisogna tener conto che, dato $x \in \mathbb{Z//12Z}$, l'ordine dell'immagine $f(x)$ deve dividere l'ordine di $x$.
Allora i generatori di Z12 sono [1], [5], [7],[11] .. come faccio a determinare l’immagine ?
Forse mi sono espresso male: l'omomorfismo è automaticamente determinato una volta scelta l'immagine di UN generatore, quindi basta decidere dove mandarne uno(ad esempio $[1]_12$) per determinare un omomorfismo.
Se vuoi contare quanti omomorfismi ci sono allora basta sapere quante scelte hai per l'immagine di un generatore(il generatore è fissato, lo ripeto).
Comunque se $f:G\toG'$ è un omomorfismo di gruppi e $x \in G$ ha ordine finito $n$ allora $o(f(x))| o(x)=n$, cioè l'ordine dell'immagine $f(x)$ divide l'ordine di $x$. Quindi come minimo l'ordine dell'immagine di un generatore di $\mathbb{Z//12Z}$ deve dividere $12$(ordine del generatore), allora la domanda da porsi è: ci sono elementi in $\mathbb{Z//7Z}$ il cui ordine divide $12$?
Se vuoi contare quanti omomorfismi ci sono allora basta sapere quante scelte hai per l'immagine di un generatore(il generatore è fissato, lo ripeto).
Comunque se $f:G\toG'$ è un omomorfismo di gruppi e $x \in G$ ha ordine finito $n$ allora $o(f(x))| o(x)=n$, cioè l'ordine dell'immagine $f(x)$ divide l'ordine di $x$. Quindi come minimo l'ordine dell'immagine di un generatore di $\mathbb{Z//12Z}$ deve dividere $12$(ordine del generatore), allora la domanda da porsi è: ci sono elementi in $\mathbb{Z//7Z}$ il cui ordine divide $12$?
Si tutti gli elementi di Z/7Z escluso lo 0. Esatto? Quindi come posso procedere ?
No, è sbagliato. Cioè secondo te $12$ è congruo a zero modulo 7?
Forza, rifletti! Sono sicuro che dopo aver ripetuto la definizione di ordine di un elemento e aver riletto quanto scritto in questo topic saprai rispondere correttamente.
Forza, rifletti! Sono sicuro che dopo aver ripetuto la definizione di ordine di un elemento e aver riletto quanto scritto in questo topic saprai rispondere correttamente.
5 é congruo a 12 modulo 7.. l’elemento [5] in Z/7Z coincide con tutto il gruppo in quanto suo generatore. Mi sono persa .. non so a che punto devo arrivare -.-
"SaraC1234":
5 é congruo a 12 modulo 7.. l’elemento [5] in Z/7Z coincide con tutto il gruppo in quanto suo generatore. Mi sono persa .. non so a che punto devo arrivare -.-
E quindi come può avere ordine che divide 12?!
La definizione di ordine è la seguente: dato un gruppo $(G, +)$, si definisce ordine di un elemento $g \in G$ il minimo intero *positivo* per cui $g+...+g = n\cdotg = 0$, dove $0$ è l'elemento neutro del gruppo.
Ricapitoliamo: un omomorfismo $f : \mathbb{Z//12Z} \to \mathbb{Z//7Z}$ è completamente determinato da dove si manda $[1]_12$(pensa al perché questo è vero), poiché $[1]_12$ ha ordine $12$ allora deve valere che $f([0]_12) = f(12\cdot[1]_12) = 12\cdot f([1]_12) = [0]_7$, il che vuol dire che $o(f([1]_12)|o([1]_12) = 12$. Quindi tutti gli elementi in $\mathbb{Z//7Z}$ il cui ordine divide $12$ vanno bene per l'immagine di $[1]_12$. Da cui la domanda: esistono questi elementi? Se sì, quanti sono?
Quindi sono [2] e [4] in quanto hanno ciascuno ordine 3.
Ah quindi $3\cdot[2]_7 = [0]_7$?
Gli elementi il cui ordine divide $12$ devi cercarli in $\mathbb{Z//7Z}$!
EDIT: mi viene il dubbio che tu stia considerando $\mathbb{Z//12Z}$ e $mathbb{Z//7Z}$ come gruppi rispetto alla moltiplicazione fra classi di resto. Ma chiaramente non possono esserlo perché la classe $[0]$ non ha inverso. Se non specificato si considera usualmente $mathbb{Z//nZ}$ come gruppo rispetto all'addizione fra classi di resto.
Gli elementi il cui ordine divide $12$ devi cercarli in $\mathbb{Z//7Z}$!
EDIT: mi viene il dubbio che tu stia considerando $\mathbb{Z//12Z}$ e $mathbb{Z//7Z}$ come gruppi rispetto alla moltiplicazione fra classi di resto. Ma chiaramente non possono esserlo perché la classe $[0]$ non ha inverso. Se non specificato si considera usualmente $mathbb{Z//nZ}$ come gruppo rispetto all'addizione fra classi di resto.
Quindi solo la classe [0] di 7 possiamo considerare. 1*[7]= [0]
Ok, ci siamo! Quindi c'è solo un omomorfismo: quello nullo.
In generale gli omomorfismo fra due gruppi ciclici di ordine $n$ e $m$ sono uguali a $MCD(n, m)$(Prova a dimostrarlo!)
Se hai dubbi scrivi pure, ciao
In generale gli omomorfismo fra due gruppi ciclici di ordine $n$ e $m$ sono uguali a $MCD(n, m)$(Prova a dimostrarlo!)
Se hai dubbi scrivi pure, ciao
Grazie mille davvero se ho altri dubbi riscriverò
se ho altri dubbi riscriverò
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