Domini e campi

[ludovica.sarandrea]

"Dimostrare che ogni dominio finito e' un campo"
Io ho ragionato in questo modo.
Per far si che un gruppo finito sia un campo devo vedere che ogni elemento preso e' invertibile. Prendo $a∈R$, con R che e' il mio dominio, devo dimostrare che esiste $b∈R$ tale che $ab=1$
Io so che R e' un dominio finito quindi che ogni elemento ha ordine finito. Suppongo che n sia l'ordine di a e m quello di b quindi prendendo il prodotto $nm$.
$(ab)^nm=(a)^(nm)(b)^(nm)=(a^n)^m(b^m)^n=e$ quindi $a^(nm)$ e $b^(nm)$ sono invertibili. Ne segue che a e b lo sono. Quindi r e' un campo.
Va bene? Se no potreste darmi qualche suggerimento su come svolgerlo??

[killing_buddha]

Fissa un elemento di R, diciamo a, diverso da zero. Moltiplicare per a è un endomorfismo di R, che siccome R è un dominio è iniettivo. Ora, R è un insieme finito, e una funzione iniettiva tra insiemi finiti è anche suriettiva. Ecco che allora 1 deve essere nell'immagine della moltiplicazione per a. Sicché a è invertibile.

[Stickelberger]

@ludovica Il tuo ragionamento non ha senso.

E' vero che gli elementi di un gruppo finito hanno ordine finito.

L'anello $R$ e' gruppo additivo, ma non moltiplicativo.
Quindi, dire che l'ordine di $a\in R$ e' finito, ha solo senso se parli
del gruppo additivo: $na=0$ per qualche intero $n>0$.

Dire che l'ordine e' finito in un senso moltiplicativo,
ha solo senso se $a$ sta nel gruppo degli elementi invertibili.
Ma e' proprio questo che devi dimostrare ...

[ludovica.sarandrea]

Ok grazie