Categorie teoria ed esercizi
Ho alcune domande teoriche e alcuni esercizi di cui non ho riscontro per la validità, mi scuso per la lunghezza del post ma, per gran parte è solo una conferma immediata.
1) Quali dei seguenti isomorfismi di categorie sono veri:
(a) Rel e Rel^(op) SI basta considerare la funzione (a,b) → (b,a)
(b) Sets e Sets^op SI per ogni f:A→B esiste una g:B→A mi basta invertire le freccie per avere tutti i casi
(c) dato X il poset P(X) e P(X)^(op) NO in generale le frecce inverse sono "vuote"
2)
(a) Gli isomorfismi di Sets sono le bijezioni ? SI non ho nessuna struttura, l'unico vincolo sono gli elementi degli insiemi.
(b) Gli isomorfismi in Monoids sono gli omomorfismi bijettivi? Si preservano la struttura e hanno gli "stessi" elementi.
(c) In Posets gl i isomorfismi non coincidono con gli omomorfismi bijettivi? SI gli unici isomorfismi sono le identità a<=a che non conservano la struttura del poset in generale.
3) Quante categorie libere sui grafi hanno esattamente 6 frecce? 4
4) Provare la proprietà universale di mappatura per le categorie libere sui grafi (qui sono andato a caso):
indico con U(C) il grafo soggiacente la categoria C, con C(G) la categoria libera sul grafo G.
sia i:G→U(C(G)) un omomorfismo di grafi, per ogni categoria N ed ogni omomorfismo di grafi j:G→U(N)
esiste un unico funtore h:C(G)→N t.c. U(h)°i = j
prova: considero h(U(C(G))) = j(G) che è un omomorfismo in quanto manda vertici in vertici e "freccie" in "cammini" , con la freccia identica vuota, ed è chiaro (spero) che U(h)°i = j.
se ci fosse un altro omomorfismo m t.c. m(U(C(G)) = j(G) dovrei avere gli stessi vertici nei vertici di h e le stesse frecce nei cammini di h ma allora h = m. (in teoria penso di aver capito come funziona la cosa ma sento che questa non può essere una dimostrazione).
Non ho capito inoltre quali categorie sono piccole e quali grandi, il perchè non mi è chiaro, ad esempio la categoria degli insiemi finiti è piccola, quella degli insiemi, dei gruppi o dei poset è grande, ma perchè? la definizione la conosco ma perchè una categoria rientra o meno in quella definizione non mi è chiaro, ad esempio una collezione di elementi in quali casi non è un insieme?
1) Quali dei seguenti isomorfismi di categorie sono veri:
(a) Rel e Rel^(op) SI basta considerare la funzione (a,b) → (b,a)
(b) Sets e Sets^op SI per ogni f:A→B esiste una g:B→A mi basta invertire le freccie per avere tutti i casi
(c) dato X il poset P(X) e P(X)^(op) NO in generale le frecce inverse sono "vuote"
2)
(a) Gli isomorfismi di Sets sono le bijezioni ? SI non ho nessuna struttura, l'unico vincolo sono gli elementi degli insiemi.
(b) Gli isomorfismi in Monoids sono gli omomorfismi bijettivi? Si preservano la struttura e hanno gli "stessi" elementi.
(c) In Posets gl i isomorfismi non coincidono con gli omomorfismi bijettivi? SI gli unici isomorfismi sono le identità a<=a che non conservano la struttura del poset in generale.
3) Quante categorie libere sui grafi hanno esattamente 6 frecce? 4
4) Provare la proprietà universale di mappatura per le categorie libere sui grafi (qui sono andato a caso):
indico con U(C) il grafo soggiacente la categoria C, con C(G) la categoria libera sul grafo G.
sia i:G→U(C(G)) un omomorfismo di grafi, per ogni categoria N ed ogni omomorfismo di grafi j:G→U(N)
esiste un unico funtore h:C(G)→N t.c. U(h)°i = j
prova: considero h(U(C(G))) = j(G) che è un omomorfismo in quanto manda vertici in vertici e "freccie" in "cammini" , con la freccia identica vuota, ed è chiaro (spero) che U(h)°i = j.
se ci fosse un altro omomorfismo m t.c. m(U(C(G)) = j(G) dovrei avere gli stessi vertici nei vertici di h e le stesse frecce nei cammini di h ma allora h = m. (in teoria penso di aver capito come funziona la cosa ma sento che questa non può essere una dimostrazione).
Non ho capito inoltre quali categorie sono piccole e quali grandi, il perchè non mi è chiaro, ad esempio la categoria degli insiemi finiti è piccola, quella degli insiemi, dei gruppi o dei poset è grande, ma perchè? la definizione la conosco ma perchè una categoria rientra o meno in quella definizione non mi è chiaro, ad esempio una collezione di elementi in quali casi non è un insieme?
Risposte
Per 1) ti consiglio di scrivere esplicitamente l'isomorfismo; il punto dell'esercizio è farti familiarizzare con le nozioni di base.
1.b) è sbagliato: \(\bf Set\) non è equivalente alla sua opposta, trova il motivo. Per 1.c), quando guardi un poset come categoria un isomorfismo coincide con una mappa biiettiva e monotòna. Ne esiste una da $(PX, \subseteq)$ a $(PX, \supseteq)$?
Per 2) allo stesso modo il mio consiglio è di non andare "a intuito"; così come in logica, in teoria delle categorie si affermano spesso delle tautologie, ma è il modo in cui questo viene fatto a essere formativo. Anche perché la matematica (al contrario di quanto ti dirà qualche analista troppo attaccato ai risultati "concreti", come se poi esistesse una nozione di concretezza
) coincide con la forma dei suoi asserti.
2.c) è sbagliato: fai attenzione a non confondere gli isomorfismi in una categoria guardata come poset, e gli isomorfismi nella categoria dei poset.
Decidere "cosa" è piccolo dipende dalla fondazione della matematica che usi, cioè dalla metateoria dove decidi di interpretare gli oggetti del tuo discorso.
La categoria degli insiemi finiti non è piccola (quanti insiemi con un solo elemento esistono?), ma lo è essenzialmente, ovvero è equivalente a una categoria piccola, quella fatta dagli stessi elementi dell'ordinale $\omega$, e dalle funzioni tra i suoi elementi (che sono insiemi, esattamente tutti e soli quelli della forma \(\{1<2<\dots
1.b) è sbagliato: \(\bf Set\) non è equivalente alla sua opposta, trova il motivo. Per 1.c), quando guardi un poset come categoria un isomorfismo coincide con una mappa biiettiva e monotòna. Ne esiste una da $(PX, \subseteq)$ a $(PX, \supseteq)$?
Per 2) allo stesso modo il mio consiglio è di non andare "a intuito"; così come in logica, in teoria delle categorie si affermano spesso delle tautologie, ma è il modo in cui questo viene fatto a essere formativo. Anche perché la matematica (al contrario di quanto ti dirà qualche analista troppo attaccato ai risultati "concreti", come se poi esistesse una nozione di concretezza
) coincide con la forma dei suoi asserti. 2.c) è sbagliato: fai attenzione a non confondere gli isomorfismi in una categoria guardata come poset, e gli isomorfismi nella categoria dei poset.
Non ho capito inoltre quali categorie sono piccole e quali grandi, il perchè non mi è chiaro, ad esempio la categoria degli insiemi finiti è piccola, quella degli insiemi, dei gruppi o dei poset è grande, ma perchè? la definizione la conosco ma perchè una categoria rientra o meno in quella definizione non mi è chiaro, ad esempio una collezione di elementi in quali casi non è un insieme?
Decidere "cosa" è piccolo dipende dalla fondazione della matematica che usi, cioè dalla metateoria dove decidi di interpretare gli oggetti del tuo discorso.
La categoria degli insiemi finiti non è piccola (quanti insiemi con un solo elemento esistono?), ma lo è essenzialmente, ovvero è equivalente a una categoria piccola, quella fatta dagli stessi elementi dell'ordinale $\omega$, e dalle funzioni tra i suoi elementi (che sono insiemi, esattamente tutti e soli quelli della forma \(\{1<2<\dots
Infine, ci sono due modi di risolvere 4 in maniera ragionevolmente agile; sai cosa sono l'unità e la counità di una coppia di funtori aggiunti?
Provo a sistemare, sperando di non aver sbagliato di nuovo tutto
1)
(a)
se ho \(\displaystyle (a,b) \) allora \(\displaystyle F(a,b) = (F(a) , F(b)) = (b , a) \) manda frecce in \(\displaystyle AXB \) in frecce in \(\displaystyle BXA \) manda l'unità \(\displaystyle u_A \) ={(a , a) in AXA | a in A} nell'unità \(\displaystyle u_A \),
la composizione \(\displaystyle (a,c) = (a,b)°(b,c) \) in \(\displaystyle F((a,b)°(b,c)) = F(b,c)°F(a,b) = (F(b),F(c))°(F(a),F(b)) = (c,b)°(b,a) = (c,a) \). è quindi un funtore tra Rel e Rel^(op).
Si ha che per ogni \(\displaystyle F(a,b) \) in \(\displaystyle AXB \) esiste \(\displaystyle G(b,a) \) in \(\displaystyle BXA \) t.c. \(\displaystyle F°G = (a,a) \) in \(\displaystyle AXA \) e \(\displaystyle G°F = (b,b) \) in \(\displaystyle BXB \) con \(\displaystyle G(b,a) = (a,b) \), quindi \(\displaystyle F \) è un isomorfismo.
(c)
L'isomorfismo è la funzione identità da \(\displaystyle (P(X) , <= ) \) a \(\displaystyle (P(X) >=) \) che ad \(\displaystyle A \) associa \(\displaystyle A \) per ogni \(\displaystyle A \) in \(\displaystyle P(X) \)
(b) Perchè come nei Poset la freccia inversa èin generale vuota, l'inversa si può avere solo tra frecce che sono funzioni bijettive
2)
(a)
un isomorfismo deve avere inversa destra e sinistra e deve coincidere, ma una funzione tra insiemi ha inversa destra sse è surgettiva ed inversa sinistra sse iniettiva ma allora deve essere bijettiva.
(b)
Intanto devono essere isomorfi gli insiemi soggiacenti dunque deve essere da (a) una funzione bigettiva, ma per preservare la struttura di monoide devo inoltre richiedere che sia un omomorfismo, altrimenti sarebbe un funtore dimentico tra due diverse categorie Monoids e Sets.
(c)
Gli isomorfismi sono le identità che sono funzioni bigettive e monotone, quindi omomorfismi
Per quanto riguarda piccolezza o grandezza di una categoria per il momento non mi addentro allora, comunque mi hai fatto capire dove si trova la spiegazione.
No
1)
(a)
se ho \(\displaystyle (a,b) \) allora \(\displaystyle F(a,b) = (F(a) , F(b)) = (b , a) \) manda frecce in \(\displaystyle AXB \) in frecce in \(\displaystyle BXA \) manda l'unità \(\displaystyle u_A \) ={(a , a) in AXA | a in A} nell'unità \(\displaystyle u_A \),
la composizione \(\displaystyle (a,c) = (a,b)°(b,c) \) in \(\displaystyle F((a,b)°(b,c)) = F(b,c)°F(a,b) = (F(b),F(c))°(F(a),F(b)) = (c,b)°(b,a) = (c,a) \). è quindi un funtore tra Rel e Rel^(op).
Si ha che per ogni \(\displaystyle F(a,b) \) in \(\displaystyle AXB \) esiste \(\displaystyle G(b,a) \) in \(\displaystyle BXA \) t.c. \(\displaystyle F°G = (a,a) \) in \(\displaystyle AXA \) e \(\displaystyle G°F = (b,b) \) in \(\displaystyle BXB \) con \(\displaystyle G(b,a) = (a,b) \), quindi \(\displaystyle F \) è un isomorfismo.
(c)
L'isomorfismo è la funzione identità da \(\displaystyle (P(X) , <= ) \) a \(\displaystyle (P(X) >=) \) che ad \(\displaystyle A \) associa \(\displaystyle A \) per ogni \(\displaystyle A \) in \(\displaystyle P(X) \)
(b) Perchè come nei Poset la freccia inversa èin generale vuota, l'inversa si può avere solo tra frecce che sono funzioni bijettive
2)
(a)
un isomorfismo deve avere inversa destra e sinistra e deve coincidere, ma una funzione tra insiemi ha inversa destra sse è surgettiva ed inversa sinistra sse iniettiva ma allora deve essere bijettiva.
(b)
Intanto devono essere isomorfi gli insiemi soggiacenti dunque deve essere da (a) una funzione bigettiva, ma per preservare la struttura di monoide devo inoltre richiedere che sia un omomorfismo, altrimenti sarebbe un funtore dimentico tra due diverse categorie Monoids e Sets.
(c)
Gli isomorfismi sono le identità che sono funzioni bigettive e monotone, quindi omomorfismi
Per quanto riguarda piccolezza o grandezza di una categoria per il momento non mi addentro allora, comunque mi hai fatto capire dove si trova la spiegazione.
"killing_buddha":
sai cosa sono l'unità e la counità di una coppia di funtori aggiunti?
No
E' ancora tutto sbagliato, stai facendo un sacco di confusione.
Concentriamoci sul primo esercizio:
(a) devi dimostrare che esiste un funtore \(D : {\bf Rel} \to {\bf Rel}^\text{op}\), che sia un isomorfismo. Spezziamo questa definizione: devi trovare
Concentriamoci sul primo esercizio:
(a) devi dimostrare che esiste un funtore \(D : {\bf Rel} \to {\bf Rel}^\text{op}\), che sia un isomorfismo. Spezziamo questa definizione: devi trovare
[*:1stt0lk2] una funzione biiettiva tra le classi degli oggetti di \(\bf Rel\) e di \({\bf Rel}^\text{op}\); prova a prendere l'identità.[/*:m:1stt0lk2]
[*:1stt0lk2] per ogni coppia di insiemi, una biiezione tra le relazioni da $A$ a $B$ e le relazioni da $B$ ad $A$. Anche qui è quasi una tautologia, formalizzare l'idea intuitiva che una relazione $R\subseteq A\times B$ "è la stessa cosa" di una relazione $R\subseteq B\times A$ "perché $A\times B\cong B\times A$" è parte dell'esercizio.[/*:m:1stt0lk2][/list:u:1stt0lk2]
(b)
l'inversa si può avere solo tra frecce che sono funzioni bijettive
Falsissimo: soprattutto perché un morfismo di \({\bf Set}^\text{op}\) non è una funzione. Ciò che devi dimostrare è che \({\bf Set}\not\cong{\bf Set}^\text{op}\). Prova a farlo per assurdo: assumi che esista una biiezione (controvariante) $D$ tra tutti gli hom-sets di \(\bf Set\), conta i morfismi $x\to X$ ($x$ un qualsiasi insieme con un solo elemento); mostra che \(D(x)=\varnothing\), e che del resto \(\hom(A,\varnothing)=...\)).
(c) questo pure è falso
semmai, la biiezione è \(A\mapsto \complement A\), che manda $A\subseteq X$ nel suo complementare.
1)
\({\bf Rel}\cong{\bf Rel}^\text{op} \)
♦ considero $ i $ : \({\bf Obj}\) $ → $ \({\bf Obj} \) t.c. \(\displaystyle i(A) = A \)
• $ i $ è iniettiva, infatti se \(\displaystyle A = B \) e \(\displaystyle i(A) \) \(\neq \) \(\displaystyle i(B) \) allora \(\displaystyle A \) \(\neq\) \(\displaystyle B \) assurdo.
• $ i $ è suriettiva, infatti se \(\displaystyle i(A)^{-1} \) \(\displaystyle = \) \(\varnothing \) allora \(\displaystyle i(A) = \) \(\varnothing \).
\(\displaystyle A \times B \) \(\cong \) \(\displaystyle B \times A \)
♦ considero \(\displaystyle u : A \times B → B \times A \) t.c. \(\displaystyle u((a,b)) = (b,a) \)
• $ u $ è iniettiva, infatti se \(\displaystyle (a,b) \neq (c,d) \) e \(\displaystyle u((a,b)) = u((c,d)) \) allora \(\displaystyle (b,a) = (d,c) \) dunque \(\displaystyle b = d \) e \(\displaystyle a = c \) ovvero \(\displaystyle (a,b) = (c,d) \) assurdo.
• $ u $ è suriettiva, infatti per ogni \(\displaystyle (b,a) \in B \times A \) esiste \(\displaystyle (a,b) \in A \times B \) t.c. \(\displaystyle u((a,b)) = (b,a) \). Infatti per ogni \(\displaystyle (b,a) \in A \times B \) si ha \(\displaystyle b \in B \) e \(\displaystyle a \in A \) ovvero \(\displaystyle a \in A \) e \(\displaystyle b \in B \) dunque \(\displaystyle (a,b) \in A \times B \).
♦ considero \(\displaystyle j: P(A \times B) → P(B \times A) \) t.c. \(\displaystyle R \mapsto u(R) \)
• $ j $ è un isomorfismo perchè $ u $ lo è.
\({\bf F}\) \(\displaystyle (i,j) \) è dunque un isomorfismo.
2)
In \({\bf Set}\) per \( \varnothing → A \) si ha che \(\displaystyle dom \) ha la proprietà per cui nessuna freccia entrante è un isomorfismo. (non ci sono frecce entranti)
in \({\bf Set}^\text{op}\) per $ A $ $ → $ \(\varnothing\) si ha che \(\displaystyle cod \) ha la proprietà per cui tutte le freccie uscenti sono isomorfismi. (ogni freccia uscente è \(\varnothing \) ).
Ho letto che la categoria opposta deve avere proprietà "inverse" cioè le proprietà di \(\displaystyle dom \) devono essere le stesse di \(\displaystyle cod \) nell' opposta per esserci un isomorfismo, in questo caso non si può avere.
dunque \( {\bf Set}\not\cong{\bf Set}^\text{op} \)
(non sono riuscito a seguire la tua indicazione)
\({\bf Rel}\cong{\bf Rel}^\text{op} \)
♦ considero $ i $ : \({\bf Obj}\) $ → $ \({\bf Obj} \) t.c. \(\displaystyle i(A) = A \)
• $ i $ è iniettiva, infatti se \(\displaystyle A = B \) e \(\displaystyle i(A) \) \(\neq \) \(\displaystyle i(B) \) allora \(\displaystyle A \) \(\neq\) \(\displaystyle B \) assurdo.
• $ i $ è suriettiva, infatti se \(\displaystyle i(A)^{-1} \) \(\displaystyle = \) \(\varnothing \) allora \(\displaystyle i(A) = \) \(\varnothing \).
\(\displaystyle A \times B \) \(\cong \) \(\displaystyle B \times A \)
♦ considero \(\displaystyle u : A \times B → B \times A \) t.c. \(\displaystyle u((a,b)) = (b,a) \)
• $ u $ è iniettiva, infatti se \(\displaystyle (a,b) \neq (c,d) \) e \(\displaystyle u((a,b)) = u((c,d)) \) allora \(\displaystyle (b,a) = (d,c) \) dunque \(\displaystyle b = d \) e \(\displaystyle a = c \) ovvero \(\displaystyle (a,b) = (c,d) \) assurdo.
• $ u $ è suriettiva, infatti per ogni \(\displaystyle (b,a) \in B \times A \) esiste \(\displaystyle (a,b) \in A \times B \) t.c. \(\displaystyle u((a,b)) = (b,a) \). Infatti per ogni \(\displaystyle (b,a) \in A \times B \) si ha \(\displaystyle b \in B \) e \(\displaystyle a \in A \) ovvero \(\displaystyle a \in A \) e \(\displaystyle b \in B \) dunque \(\displaystyle (a,b) \in A \times B \).
♦ considero \(\displaystyle j: P(A \times B) → P(B \times A) \) t.c. \(\displaystyle R \mapsto u(R) \)
• $ j $ è un isomorfismo perchè $ u $ lo è.
\({\bf F}\) \(\displaystyle (i,j) \) è dunque un isomorfismo.
2)
In \({\bf Set}\) per \( \varnothing → A \) si ha che \(\displaystyle dom \) ha la proprietà per cui nessuna freccia entrante è un isomorfismo. (non ci sono frecce entranti)
in \({\bf Set}^\text{op}\) per $ A $ $ → $ \(\varnothing\) si ha che \(\displaystyle cod \) ha la proprietà per cui tutte le freccie uscenti sono isomorfismi. (ogni freccia uscente è \(\varnothing \) ).
Ho letto che la categoria opposta deve avere proprietà "inverse" cioè le proprietà di \(\displaystyle dom \) devono essere le stesse di \(\displaystyle cod \) nell' opposta per esserci un isomorfismo, in questo caso non si può avere.
dunque \( {\bf Set}\not\cong{\bf Set}^\text{op} \)
(non sono riuscito a seguire la tua indicazione)
Provo con il secondo esercizio.
Un isomorfismo è una funzione che possiede inversa destra e sinistra.
♦ Gli isomorfismi in \({\bf Set} \) sono le bigezioni. (SI)
Negli insiemi le frecce sono le funzioni.
•Una funzione ha inversa destra (per l'assioma della scelta) se è suriettiva.
•Una funzione ha inversa sinistra se è iniettiva.
♦Gli isomorfismi in \({\bf Mon} \) sono gli omomorfismi bigettivi. (SI)
Nei monoidi le frecce sono gli omomorfismi di monoidi.
Un omomorfismo di monoidi \(\displaystyle f: M→N \) è una funzione \(\displaystyle f(a +_M b) = f(a) +_N f(b) \) e \(\displaystyle f(0_M) = 0_N \) .
•Un omomorfismo iniettivo è bigettivo, oppure la non iniettività è distribuita in modo "omogeneo", se considero \(\displaystyle Ker(f) \) allora \(\displaystyle M/Ker(f) \cong N \) ma la proiezione è un omomorfismo iniettivo.
♦In \({\bf Poset} \) gli isomorfismi non sono la stessa cosa degli omomorfismi bijettivi. (SI)
Un omomorfismo di poset è una funzione monotona \(\displaystyle a \leq_M b → f(a) \leq_N f(b) \).
•Considero due poset \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) contenenti gli stessi elementi. \(\displaystyle A \) ha un elemento non "ordinato", \(\displaystyle B \) è totalmente ordinato.
•Un isomorfismo da \(\displaystyle A \) a \(\displaystyle B \) non è monotono con la sua inversa, dunque gli isomorfismi non sono omomorfismi bijettivi.
Un isomorfismo è una funzione che possiede inversa destra e sinistra.
♦ Gli isomorfismi in \({\bf Set} \) sono le bigezioni. (SI)
Negli insiemi le frecce sono le funzioni.
•Una funzione ha inversa destra (per l'assioma della scelta) se è suriettiva.
•Una funzione ha inversa sinistra se è iniettiva.
♦Gli isomorfismi in \({\bf Mon} \) sono gli omomorfismi bigettivi. (SI)
Nei monoidi le frecce sono gli omomorfismi di monoidi.
Un omomorfismo di monoidi \(\displaystyle f: M→N \) è una funzione \(\displaystyle f(a +_M b) = f(a) +_N f(b) \) e \(\displaystyle f(0_M) = 0_N \) .
•Un omomorfismo iniettivo è bigettivo, oppure la non iniettività è distribuita in modo "omogeneo", se considero \(\displaystyle Ker(f) \) allora \(\displaystyle M/Ker(f) \cong N \) ma la proiezione è un omomorfismo iniettivo.
♦In \({\bf Poset} \) gli isomorfismi non sono la stessa cosa degli omomorfismi bijettivi. (SI)
Un omomorfismo di poset è una funzione monotona \(\displaystyle a \leq_M b → f(a) \leq_N f(b) \).
•Considero due poset \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) contenenti gli stessi elementi. \(\displaystyle A \) ha un elemento non "ordinato", \(\displaystyle B \) è totalmente ordinato.
•Un isomorfismo da \(\displaystyle A \) a \(\displaystyle B \) non è monotono con la sua inversa, dunque gli isomorfismi non sono omomorfismi bijettivi.
Terzo esercizio; Quante categorie libere sui grafi hanno esattamente 6 frecce. (2)
[tex]\xymatrix{
A \ar[d]\\
B \ar[r] &C}[/tex]
[tex]\xymatrix{
A\\
B \ar &C \ar[l]}[/tex]
Questi sono tutti i generatori di categorie libere con esattamente 6 frecce. Entrambe generano 1 categoria.
(Ho modificato 3 volte, ho capito che avevo sbagliato alcuni generatori, non riuscivo a generare la composta, spero che vada bene così).
[tex]\xymatrix{
A \ar[d]\\
B \ar[r] &C}[/tex]
[tex]\xymatrix{
A\\
B \ar &C \ar[l]}[/tex]
Questi sono tutti i generatori di categorie libere con esattamente 6 frecce. Entrambe generano 1 categoria.
(Ho modificato 3 volte, ho capito che avevo sbagliato alcuni generatori, non riuscivo a generare la composta, spero che vada bene così).
Buongiorno, ritorno qui a scrivere, volevo in questo messaggio inquadrare gli esercizi che ho cercato di risolvere ieri, per far risalire i punti a me poco chiari.
Considero solo gli ultimi tre messaggi inviati.
•Nel primo messaggio, nel problema 1 credo di aver svolto correttamente l'esercizio, tranne per un piccolo neo, ho dato per scontato che se $A$ \(\cong \) $B$ → $P(A)$ \(\cong \) $P(B)$.
Non mi viene però in mente un' idea di come dimostrarlo, mi sono convinto che un isomorfismo su \(\displaystyle A→B \) potesse estendersi a \(\displaystyle P(A)→P(B) \) senza però riuscire a dimostrarlo.
•Per l'esercizio sul non isomorfismo di \({\bf Set} \) ed il suo opposto, ho capito ora, in parte (non so cosa significhi controvariante ad esempio) il suggerimento di killing_Buddha , ieri sera ho letto qualche pagina di teoria in più è mi è risultato chiaro. \({\bf Set} \) ha infiniti oggetti finali ed uno iniziale, l'opposto vale per la categoria opposta, quindi non possono essere isomorfi. Ia dimostrazione che ho inserito invece è frutto di qualche lettura sul web non ben capita. (Da quello che ho capito una categoria è come un "grafo" dunque per le dimostrazioni di non isomorfismo dovrei concentrarmi sui punti patologici e gli "estremi" credo).
•Nel secondo messaggio, la cosa che non riuscivo a capire è che una funzione tra strutture che abbia la proprietà di essere un omomorfismo possa essere invertibile ma perdere quella proprietà (di continuare ad essere un omomorfismo) nell'inversione. Il primo punto credo di averlo azzeccato, il secondo no, non saprei come dimostrare che gli isomorfismi tra monoidi sono omomorfismo bijettivi.
Ho riesumato un vecchio libro di algebra, l'herstein dove mi ricordavo chiaramente (ed in effetti è così) che c'è scritto, un omomorfismo iniettivo è un isomorfismo, credo che sia un errore del libro, ma non sapendo come andare avanti mi sono aggrappato a quella definizione ed ho "sparato" qualcosa che vedendola adesso non trovo avere molto senso.
La dimostrazione sui poset credo di averla invece fatta giusta, o per lo meno mi sento sicuro, a meno di smentite.
•L'ultimo messaggio l'ho modificato più volte (l'esercizio sulle categorie con solo 6 frecce), sono sicuro di averlo sbagliato, Ma ora a mente fredda credo di aver trovato la soluzione (6 generatori ed 8 categorie libere) spero di non aver sbagliato, anche perchè la soluzione giusta mi chiarirebbe definitivamente come interpretare le categorie sui grafi.
(Per Quanto riguarda invece la dimostrazione del fatto che una categoria libera sui grafi ha la proprietà universale di mappatura, non ho idea di come mostrarlo.)
Trovo difficili questi argomenti perchè ci sono sottigliezze che a me non entrano, o non vedo, me ne accorgo però negli esercizi.
Considero solo gli ultimi tre messaggi inviati.
•Nel primo messaggio, nel problema 1 credo di aver svolto correttamente l'esercizio, tranne per un piccolo neo, ho dato per scontato che se $A$ \(\cong \) $B$ → $P(A)$ \(\cong \) $P(B)$.
Non mi viene però in mente un' idea di come dimostrarlo, mi sono convinto che un isomorfismo su \(\displaystyle A→B \) potesse estendersi a \(\displaystyle P(A)→P(B) \) senza però riuscire a dimostrarlo.
•Per l'esercizio sul non isomorfismo di \({\bf Set} \) ed il suo opposto, ho capito ora, in parte (non so cosa significhi controvariante ad esempio) il suggerimento di killing_Buddha , ieri sera ho letto qualche pagina di teoria in più è mi è risultato chiaro. \({\bf Set} \) ha infiniti oggetti finali ed uno iniziale, l'opposto vale per la categoria opposta, quindi non possono essere isomorfi. Ia dimostrazione che ho inserito invece è frutto di qualche lettura sul web non ben capita. (Da quello che ho capito una categoria è come un "grafo" dunque per le dimostrazioni di non isomorfismo dovrei concentrarmi sui punti patologici e gli "estremi" credo).
•Nel secondo messaggio, la cosa che non riuscivo a capire è che una funzione tra strutture che abbia la proprietà di essere un omomorfismo possa essere invertibile ma perdere quella proprietà (di continuare ad essere un omomorfismo) nell'inversione. Il primo punto credo di averlo azzeccato, il secondo no, non saprei come dimostrare che gli isomorfismi tra monoidi sono omomorfismo bijettivi.
Ho riesumato un vecchio libro di algebra, l'herstein dove mi ricordavo chiaramente (ed in effetti è così) che c'è scritto, un omomorfismo iniettivo è un isomorfismo, credo che sia un errore del libro, ma non sapendo come andare avanti mi sono aggrappato a quella definizione ed ho "sparato" qualcosa che vedendola adesso non trovo avere molto senso.
La dimostrazione sui poset credo di averla invece fatta giusta, o per lo meno mi sento sicuro, a meno di smentite.
•L'ultimo messaggio l'ho modificato più volte (l'esercizio sulle categorie con solo 6 frecce), sono sicuro di averlo sbagliato, Ma ora a mente fredda credo di aver trovato la soluzione (6 generatori ed 8 categorie libere) spero di non aver sbagliato, anche perchè la soluzione giusta mi chiarirebbe definitivamente come interpretare le categorie sui grafi.
(Per Quanto riguarda invece la dimostrazione del fatto che una categoria libera sui grafi ha la proprietà universale di mappatura, non ho idea di come mostrarlo.)
Trovo difficili questi argomenti perchè ci sono sottigliezze che a me non entrano, o non vedo, me ne accorgo però negli esercizi.
In tutta sincerità, l'esercizio su quante categorie libere su un grafo hanno 6 morfismi è perfettamente inutile; lascia perdere, non ti servirà mai niente che questo esercizio possa insegnarti, e semmai imparerai sul momento lo stretto necessario.
Meglio concentrarsi sul fare bene gli altri esercizi, e sull'assimilare approfonditamente più teoria. Per esempio, familiarizza con la nozione di equivalenza di categorie [1]: gli isomorfismi di categorie non servono a niente, sono una nozione troppo rigida.
Ora, veniamo alle tue domande.
1) Come si dimostra che una biiezione tra insiemi induce una biiezione tra gli insiemi delle parti? Dimostrando che la regola che manda un insieme $A$ in $P(A)$ è un funtore. A quel punto (similmente a come gli omomorfismi di gruppi rispettano gli inversi), il funtore deve mandare un isomorfismo $A\cong B$ in un isomorfismo $PA\cong PB$. Ci sono ovviamente vie dirette per dimostrarlo, ma diventa tecnicamente sottile distinguere il funtore $P$ covariante da quello controvariante [è molto male ignorare la definizione di "tipo di covarianza" di un funtore: impàrala!]. Il funtore
\[
{\bf Set}\to {\bf Set} : A\mapsto PA
\] che manda una funzione $A\to B$ nella funzione $PB\to PA$, che a sua volta è definita mandando $U\subseteq B$ in \(f^{\leftarrow}U\subseteq A\) fa al caso tuo. Dimostra che se $f$ è biiettiva, allora lo è \(f^*\).
2) \(\bf Set\) ha infiniti oggetti finali ed uno iniziale, l'opposto vale per la categoria opposta, quindi non possono essere isomorfi. Sì, il punto è questo. Lo dico meglio (visto che non ho mai scritto questa dimostrazione prima, potrebbe servire in futuro). Un isomorfismo [ma basta meno, vedi sopra[1]] \( D : {\bf Set}^\text{op}\to \bf Set\) deve indurre una biiezione
\[
\hom(X,*) \cong \hom D*, DX)
\] dove \(*\) è un oggetto terminale di \(\bf Set\); ora, l'insieme a sinistra di \(\cong\) ha un solo elemento per ogni $X$ (per definizione di cosa significa oggetto terminale), e quello a destra pure deve averlo; del resto allora \(D*\) è un oggetto iniziale in \(\bf Set\). Tuttavia c'è un unico oggetto iniziale in \(\bf Set\) (l'insieme vuoto), e invece c'è una classe propria di oggetti terminali.
Meglio concentrarsi sul fare bene gli altri esercizi, e sull'assimilare approfonditamente più teoria. Per esempio, familiarizza con la nozione di equivalenza di categorie [1]: gli isomorfismi di categorie non servono a niente, sono una nozione troppo rigida.
Ora, veniamo alle tue domande.
1) Come si dimostra che una biiezione tra insiemi induce una biiezione tra gli insiemi delle parti? Dimostrando che la regola che manda un insieme $A$ in $P(A)$ è un funtore. A quel punto (similmente a come gli omomorfismi di gruppi rispettano gli inversi), il funtore deve mandare un isomorfismo $A\cong B$ in un isomorfismo $PA\cong PB$. Ci sono ovviamente vie dirette per dimostrarlo, ma diventa tecnicamente sottile distinguere il funtore $P$ covariante da quello controvariante [è molto male ignorare la definizione di "tipo di covarianza" di un funtore: impàrala!]. Il funtore
\[
{\bf Set}\to {\bf Set} : A\mapsto PA
\] che manda una funzione $A\to B$ nella funzione $PB\to PA$, che a sua volta è definita mandando $U\subseteq B$ in \(f^{\leftarrow}U\subseteq A\) fa al caso tuo. Dimostra che se $f$ è biiettiva, allora lo è \(f^*\).
2) \(\bf Set\) ha infiniti oggetti finali ed uno iniziale, l'opposto vale per la categoria opposta, quindi non possono essere isomorfi. Sì, il punto è questo. Lo dico meglio (visto che non ho mai scritto questa dimostrazione prima, potrebbe servire in futuro). Un isomorfismo [ma basta meno, vedi sopra[1]] \( D : {\bf Set}^\text{op}\to \bf Set\) deve indurre una biiezione
\[
\hom(X,*) \cong \hom D*, DX)
\] dove \(*\) è un oggetto terminale di \(\bf Set\); ora, l'insieme a sinistra di \(\cong\) ha un solo elemento per ogni $X$ (per definizione di cosa significa oggetto terminale), e quello a destra pure deve averlo; del resto allora \(D*\) è un oggetto iniziale in \(\bf Set\). Tuttavia c'è un unico oggetto iniziale in \(\bf Set\) (l'insieme vuoto), e invece c'è una classe propria di oggetti terminali.
la cosa che non riuscivo a capire è che una funzione tra strutture che abbia la proprietà di essere un omomorfismo possa essere invertibile ma perdere quella proprietà (di continuare ad essere un omomorfismo) nell'inversione.
Questo è un punto interessante e piuttosto profondo; ci sono molti esempi anche in strutture algebriche, e la presenza o meno di inverse set-teoretiche che gratuitamente sono anche inverse di struttura è un ottimo segnale della complessità della teoria [se ci sono queste mappe la cui inversa non è un morfismo, la teoria è prevedibilmente assai complicata].
Alcuni esempi che mi vengono in mente: ci sono omomorfismi di gruppi abeliani che sono suriettivi, ma per cui non esiste nessuna inversa destra che sia ancora un omomorfismo di gruppi. Se $P$ è un insieme con due relazioni d'ordine diverse, una contenuta nell'altra, allora la funzione identica è un omomorfismo solo in un verso. Idem dicasi se $P$ è un insieme e su $P$ metti due topologie una più fine dell'altra.
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