Relazioni ben poste in $ZZ$

[gygabyte017]

Ho il seguente esercizio che non ho idea di come si può risolvere:

Si provi che le operazioni di addizione e moltiplicazione definite su $ZZ$ sono ben poste.

Ora sapendo che le operazioni suddette sono definite come:
$(bar (n , m)) +(bar (n' , m')) = (bar (n+n' , m+m'))$
$(bar (n , m)) * (bar (n' , m')) = (bar (n n'+mm' , n'm+nm'))$

come lo dimostro??

Grazie 1000

[Studente Anonimo]

Per esempio, per mostrare che la somma è ben posta, prendi altri rappresentanti degli addendi e mostri che la somma è la stessa. Cioè:

indicando con c(a,b) la classe di (a,b), vuoi mostrare che "c(a,b)+c(a',b')=c(a+a',b+b')" è una buona posizione, cioè che cambiando i rappresentanti, la classe della somma è la stessa. Ora scegliendo (x,y) e (z,w) con c(x,y)=c(a,b) e c(z,w)=c(a',b') (cioè cambiando i rappresentanti), ovvero

x+b=y+a,
z+b'=w+a',

hai che a+a'+y+w=b+b'+x+z (somma le relazioni qui sopra), cioè c(a+a',b+b')=c(x+z,y+w) (ovvero, la classe della somma è la stessa).

[gygabyte017]

Perfetto mi funziona anche per il prodotto!

Grazie $oo$ !!

[Studente Anonimo]

Prego $\infty^{\infty}$

[gygabyte017]

Ripensandoci però, non è banale il fatto che cambiando le lettere non cambia il risultato? Mi potresti fare un esempio di relazione che non sia ben posta??

Rigrazie!

[Studente Anonimo]

Per esempio la posizione (uso le stesse notazioni di prima)

c(a,b)*c(x,y) = c(ax,by)

non è ben posta perché per esempio

c(2,1)=c(5,4),
c(3,1)=c(5,3),

ma

c(2*3,1*1)=c(6,1),
c(5*5,4*3)=c(25,12)

sono diversi in quanto 6+12 è diverso da 1+25.

NB: tutto è molto più chiaro se lo vedi in questo modo: chiama "a-b" la classe di (a,b). Ora è chiaro perché il prodotto di c(a,b) e c(x,y) debba essere c(ax+by,bx+ay) e non c(ax,by): il motivo è che

(a-b)(x-y)=ax+by-(bx+ay)

Cioè, la posizione "c(a,b)c(x,y)=c(ax,by)" non è ben definita perché (a-b)(x-y) non è ax-by. (tutto ciò è empiricamente a posteriori : si suppone di saper fare le operazioni col "meno" prima di sapere cosa siano).

Allora uno potrebbe chiedersi: perché non definire gli interi come le differenze a-b, dove a e b sono naturali? La risposta è semplice: la differenza tra naturali non sappiamo cosa sia

[Studente Anonimo]

In particolare: "meno per meno fa più" perché c(0,1)c(0,1)=c(0*0+1*1,1*0+0*1)=c(1,0)

[Clock98]

Scusate se riapro il topic. Non mi è particolarmente chiara la dimostrazione del perché anche il prodotto sia ben definito.

Ho fatto un tentativo cercando di far risultare che
se [(a,b)]•[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]
Considerandolo [(x,y)]=[(a,b)] e [(z,w)]=[(c,d)]
allora [(x,y)]•[(z,w)]=[(xz+yw, xw+yz)]=[(ac+bd,ad+bc)]

Avete qualche hint da darmi?

Edit: ho risolto facendo una dimostrazione in più punti. Sapreste dirmi se è corretta?

Dim:
Sia [(x,y)]=[(a,b)]
Quindi x+b=y+a
Considero il prodotto [(x,y)]•[(c,d)]=[(xc+yd, xd+yc)]
Che è uguale a [(ac+bd, ad+bc)] se e solo se:
xc+yd+ad+bc=xd+yc+ac+bd

Il membro a sinistra è uguale a d(a+y)+c(b+x)=(b+x)(c+d)
Il membro a destra è uguale a c(a+y)+d(b+x)=(b+x)(c+d)

Pertanto [(x,y)]•[(c,d)]=[(a,b)]•[(c,d)]

Ora, sia [(z,w)]=[(c,d)]
Analogamente a quanto dimostrato sopra abbiamo che:
[(x,y)]•[(z,w)]=[(x,y)]•[(c,d)]

Quindi [(a,b)]•[(c,d)]=[(x,y)]•[(c,d)]