Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Sono andato avanti nella risoluzione dei Problemi del buon Herstein.. Volevo proporvi una mia risoluzione per quanto riguarda il seguente problema: Premessa: è la prima volta che uso le formule quindi oltre alla curiosità di sentire il vostro parere in merito alla dimostrazione, è anche un'occasione per allenarmi ad implementarle). provare che se G è un gruppo PRIVO di sottogruppi NON banali allora G è finito e $|G| = p$ con p primo. mia DIM: Dapprima si nota che G risulta ...

DUE domande per tutti i futuri gauss sintonizzati: 1 - E' per caso, in qualche maniera, NOTO che gli esercizi dell'Herstein siano tosti? Sarebbe una piccola consolazione dato che al secondo problema del paragrafo sui SottoGruppi sono già in altomare.. 2 - Il problema: HP: 1. G gruppo (Nessuna ipotesi di finitezza) 2. Interseco tutti i sottogruppi non banali. A:= Questa intersezione. A è non banale TH: Ogni elemento di G è di ordine finito. - - - Devo ...

Dati $x=[(a,b)]$ e $y=[(c,d)]$ , in $ZZ$ la somma è $[(a+c,b+d)]$ e il prodotto $[(ac+bd,ad+bc)]$ . 1) Come si fanno la somma e il prodotto nell'insieme $ZZ$ (interi relativi) senza cercare di "ricordare a memoria" questo procedimento, e quindi usando la logica? 2) Nell'insieme dei numeri relativi $ZZ$, se ho un numero $x=[(a,b)]$ , a cosa devono corrispondere $a$ e $b$ se ad esempio ...

Sia $G$ gruppo abeliano di ordine $pq$e siano ,$p$,$q$ primi con $p!=q$, cioè distinti. Allora risulta $(ab)^(pq)=e$ con $pq$ ordine di $ab$, e pertanto $G=<ab>$ cioè $G$ ciclico. Procedo nel seguente modo per la dimostrazione: intanto per il torema di caushy posso asserire che esiste almeno un elemento $a$ di ordine $p$ ed almeno un elemento ...

Salve a tutti In una dispensa ho trovato il seguente esercizio: sia $G$ un gruppo con $a,b in G$, provare che esiste uno ed un solo $x in G$ tale che $xa=b$ La soluzione proposta nella dispensa è la seguente: $x=ba^-1$ $x'a=xa=b$ $a^-1*x'a=ba^-1=x$ Io, invece, penserei di procedere così: Suppongo che esistano due elementi $x_1,x_2$ diversi fra loro, tali che $x_1*a=b$ $x_2*a=b$ eguaglio: ...

ciao a tutti!!! devo dimostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili in $QQ[x]$: (a) $x^3+2x-1$ (b) $x^3-9$ (c) $x^7+3x^4+12x^3+6$ (d) $x^4-3x^3-x^2+7x+21$ (per riduzione) (e) $x^4+4x^3+6x^2+8x+7$ (per sostituzione) Io ho pensato di procedere in questo modo: (a) il polinomio non ha zeri quindi e' irriducibile in $ZZ[x]$ e qiundi anche in $QQ[x]$ (b) e'irriducibile per Eisenstein: prendo p=9. p non divide 1,p divide 9 e p^2 non divide ...

Ciao a tutti! Ho un problema nel calcolare la funzione generatrice della successione di Catalan. Ho provato a seguire un procedimento analogo a quello per la funzione generatrice della successione di Fibonacci. Partendo da $ C_{n}=sum_(i = 0)^(n-1)C_{i}C_{n-1-i} $ e dalla definizione di funzione generatrice $ f=sum_(n = 0)^(oo)a_{n}x^{n} $ sono arrivato ad ottenere $ f=c_{0}+c_{1}x+sum_(n = 2)^(oo)(sum_(i = 0)^(n-1)C_{i}C_{n-1-i})x^{n} $ e qui mi pianto. Con Fibonacci riuscivo a trasformare la sommatoria da 2 a infinito in modo da ottenere nuovamente $ f $ e poi ...

Premetto che in matematica sono assai ignorante (finora sono intervenuto solo nella sezione di fisica), per cui mi scuso se userò un linguaggio rozzo e improprio, da ingegnere quale io sono. Mi è capitato di immaginare una rappresentazione dei numeri interi sulla quale non so se esista letteratura. Nel caso affermativo vorrei sapere dove trovare testi che ne parlano. E in particolare ho un quesito specifico. Espongo l'idea e il relativo quesito. Assumiamo una base di numeri primi ...

Devo dimostrare per induzione che $ sum_(i = 0)^(n-1)2^i = 2^n-1 $ per $ n >= 1$ Il passo base per $n=1$ non è verificato perchè per $n=1$ $ 2^i=1$ mentre dovrebbe fare 3.. è giusto??

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente esercizio. Determinare tutte le soluzioni $x in ZZ$ del sistema: $ { ( 5x -= 4(mod8) ),( 3x -= 3(mod5) ),( 2x -= 4(mod9) ):} $ Se ho capito bene, per prima cosa dovrei semplificare le congruenze nella forma $ x -= a(modn) $ e poi procedere con il teorema cinese del resto, ma il procedimento non mi è molto chiaro.

Vi metto la traccia e vi spiego i miei dubbi $ { ( 2x -= 1(mod5) ),( x-1 -= 1-x(mod2) ):} $ Praticamente la prima congruenza l'ho semplificata moltiplicando tutto per 3 in modo da ottenere $x-=3(mod5)$ corretto? Ora, considerando che MCD(5,2) = 1, le soluzioni saranno in modulo 10. La seconda congruenza in pratica non è che $2x-=2(mod2)$ quindi mi basta risolvere con la prima semplificata, giusto? Non convinto ho eseguito tutti i calcoli isolando 2x dalla prima congruenza, sostituendo nella seconda e ...

Buonasera a tutti! se p è un numero primo con $bar p = bar3$ in $ZZ$ / $4ZZ$ e se $z=x^2+1$ con $x in ZZ$, posso dire che allora p non divide z?

ciao a tutti! Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio: Scomporre in polinomi irriducibili il polinomio $ f= x^3+x^2+x+1 in ZZ$/$2ZZ[X]$ Avevo pensato di fare cosi': considero $x^2=xmod2$ quindi $f=x^2+x+x+1= x^2+2x+1=(x+1)^2mod2$ e' giusto come procedimento? ora pero' non saprei come continuare..

Non riesco a risolvere il seguente problema:" sette ladri fanno una rapina e rubano n lingotti d'oro. Se li dividono e ne rimangono 6. Poi si picchiano, ne muore uno e ne restano 2. Quindi, non ancora soddisfatti, si picchiano di nuovo, un altro ladro muore e così riescono a dividersi tutti i lingotti d'oro. Quanti lingotti sono stati rubati, cioè quanto vale n" ? Qualcuno mi può dare una mano. Grazie.

Salve a tutti, se ho il seguente esercizio: Si calcoli il resto della divisione [tex]1212312125^{45456}[/tex] per [tex]14[/tex]. Mi è stato detto, forse erroneamente, che il risultato è 9. Ma a me facendolo più volte esce sempre 1. E' giusto il mio procedimento? per praticità pongo: [tex]a = 1212312125;[/tex] [tex]n = 14[/tex] mi trovo MCD tramite algoritmo euclideo e dal momento che il [tex]MCD(a, n) = 1[/tex] posso applicare il Teorema di Eulero. perciò considero ...

Questa e' la parte di testo antecedente l'esercizio richiesto: "Quanto precede prova che ad ogni relazione di equivalenza $R$ sull'insieme $A$ resta associata una partizione di $A$; viceversa, ad ogni assegnata partizione $P$ dell'insieme $A$ (che e', ripetiamolo, una famiglia $P = {A_i | i in I)$ di sottoinsiemi $A_i$ di $A$ - che vengono detti blocchi della partizione - che siano non vuoti, a ...

Buonasera a tutti, ho il seguente esercizio: Quali e quanti sono gli elementi [tex]\alpha \in \mathbb{Z}_{34}, \ | \ \alpha^2 = \alpha[/tex] ? se ho capito bene c'è da sviluppare una congruenza quadratica di questo tipo? [tex]\alpha^2 \equiv \alpha \pmod{34}[/tex] ho provato a tentativi trovando le seguenti soluzioni penso esatte: [tex]1 + 34h[/tex] [tex]17 + 34h[/tex] [tex]18 + 34h[/tex] potreste per favore suggerirmi quale procedimento bisognerebbe applicare per risolvere ...

ho questo numero complesso $(|sqrt3+i| ^3* bar(1-isqrt3)^2)/(1+i)^2<br /> <br /> devo calcolare modulo e argomento.<br /> è un esercizio svolto in classe, ma non riesco a capire perché l'argomento di $|sqrt3+i|$ sia 0.

Salve ragazzi, sono alle prese con questo esercizio: 1) Provare che se $G$ è un $p$-gruppo allora anche $I(G)$ è un $p$-gruppo e $|I(G)|$$<$$|G|$. $I(G)$ automorfismi interni 2) Provare che se $G$ è ciclico allora $Aut(G)$ è abeliano. Per quanto riguarda il primo punto ho proceduto nel seguente modo: Sia $|G|$ $=$ ...

Ciao! Come posso dimostrare che se un polinomio $f in K[x]$ di grado 5 su un campo K e' riducibile e non ha zeri, allora possiede un divisore monico irriducibile di secondo grado? Grazie vi prego aiutatemi!!