Esercizio congruenza quadratica.

[cloe009]

Buonasera a tutti,

ho il seguente esercizio:
Quali e quanti sono gli elementi [tex]\alpha \in \mathbb{Z}_{34}, \ | \ \alpha^2 = \alpha[/tex] ?

se ho capito bene c'è da sviluppare una congruenza quadratica di questo tipo?
[tex]\alpha^2 \equiv \alpha \pmod{34}[/tex]

ho provato a tentativi trovando le seguenti soluzioni penso esatte:
[tex]1 + 34h[/tex]
[tex]17 + 34h[/tex]
[tex]18 + 34h[/tex]


potreste per favore suggerirmi quale procedimento bisognerebbe applicare per risolvere l'esercizio senza andare a tentativi?


avevo pensato anche ad un sistema come il seguente, ma credo sbagliando:
[tex]\begin{cases} \alpha^2 \equiv \alpha \pmod{17} \\ \alpha^2 \equiv \alpha \pmod{2} \end{cases}[/tex]


grazie mille.

[cloe009]

non so se è un modo assurdo di procedere ma l'ho considerato come un'equazione di 2° grado:
[tex]\alpha^2 \equiv \alpha \pmod{34}[/tex]
[tex]\alpha^2 - \alpha \equiv 0 \pmod{34}[/tex]

poiche [tex]-1 \equiv 33 \pmod{34}[/tex] ottengo:

[tex]\alpha^2 + 33\alpha \equiv 0 \pmod{34}[/tex]
[tex]\alpha^2 + 33\alpha + 34h = 0[/tex]

[tex]\alpha_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} =[/tex]
[tex]= \frac{-33 \pm \sqrt{1089-4(34)}}{2} =[/tex]
[tex]= \frac{-33 \pm \sqrt{1089-136}}{2} =[/tex]
[tex]=\frac{-33 \pm \sqrt{953}}{2} \equiv[/tex]
[tex]\equiv \frac{1 \pm \sqrt{1}}{2} \equiv \frac{1 \pm 1}{2}[/tex]

ottenendo [tex]\alpha_{1} \equiv 1 \pmod{34}[/tex] e [tex]\alpha_{2} \equiv 0 \pmod{34}[/tex]

non vorrei continuare a scrivere baggianate...
è giusto fatto in questo modo?