Scomposizione in polinomi irriducibili
ciao a tutti! Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Scomporre in polinomi irriducibili il polinomio $ f= x^3+x^2+x+1 in ZZ$/$2ZZ[X]$
Avevo pensato di fare cosi': considero $x^2=xmod2$ quindi $f=x^2+x+x+1= x^2+2x+1=(x+1)^2mod2$
e' giusto come procedimento? ora pero' non saprei come continuare..
Scomporre in polinomi irriducibili il polinomio $ f= x^3+x^2+x+1 in ZZ$/$2ZZ[X]$
Avevo pensato di fare cosi': considero $x^2=xmod2$ quindi $f=x^2+x+x+1= x^2+2x+1=(x+1)^2mod2$
e' giusto come procedimento? ora pero' non saprei come continuare..
Risposte
Sei in $ZZ_2[x]$ se ci fai caso $f(1)=4(mod2)=0$ quindi 1 è radice del polinomio, puoi usare la divisione tra i polinomi e ottieni l'espressione del tuo polinomio espresso come prodotto di polinomi irriducibili
ok grazie..quindi proseguo così:
$(f=x3+x2+x+1)//(x+1) = (x^2+1)$
quindi $f=(x+1)*(x^2+1)$ , dove $(x+1)$ è irriducibile in $ZZ$/$2ZZ$ in quanto polinomio di primo grado e $(x^2+1)$ è irruducibile in $ZZ$/$2ZZ$ poichè non ammette zeri in $ZZ$/$2ZZ$
è giusto?
$(f=x3+x2+x+1)//(x+1) = (x^2+1)$
quindi $f=(x+1)*(x^2+1)$ , dove $(x+1)$ è irriducibile in $ZZ$/$2ZZ$ in quanto polinomio di primo grado e $(x^2+1)$ è irruducibile in $ZZ$/$2ZZ$ poichè non ammette zeri in $ZZ$/$2ZZ$
è giusto?
no fai attenzione perchè anche quest'ultimo è componibile in $ZZ_2[x]$
Si scusa..ho sbagliato . Alllora dovrebbe essere così: $(x^2+1) = (x^2-1) = (x-1)mod2$ , ora faccio la divisione e ottengo $(x^2-1)//(x-1) = ( x+1)$ quindi
$f=(x+1)*(x^2+1) = (x+1)(x-1)(x+1)$ , che sono tre polinomi irriducibili in $ZZ$/$2ZZ$ essendo di primo grado.
??
. Alllora dovrebbe essere così: $(x^2+1) = (x^2-1) = (x-1)mod2$ , ora faccio la divisione e ottengo $(x^2-1)//(x-1) = ( x+1)$ quindi$f=(x+1)*(x^2+1) = (x+1)(x-1)(x+1)$ , che sono tre polinomi irriducibili in $ZZ$/$2ZZ$ essendo di primo grado.
??
Tanto per farla più facile, notato che [tex]$1\equiv 3 \mod 2$[/tex], si ha:
[tex]$x^3+x^2+x+1 \equiv x^3+3x^2+3x+1 \mod 2$[/tex],
ergo:
[tex]$x^3+x^2+x+1=(x+1)^3$[/tex] in [tex]$\mathbb{Z}_2[x]$[/tex].
[tex]$x^3+x^2+x+1 \equiv x^3+3x^2+3x+1 \mod 2$[/tex],
ergo:
[tex]$x^3+x^2+x+1=(x+1)^3$[/tex] in [tex]$\mathbb{Z}_2[x]$[/tex].
Grazie! Più facile e più veloce direi!
Ma il mio modo di procedere (guidato dall'aiuto di Lorin
) con cui arrivo ad affermare che $f=(x+1)⋅(x^2+1)=(x+1)(x-1)(x+1) $, che sono tre polinomi irriducibili in $ZZ$/$2ZZ$ essendo di primo grado, è corretto?? perchè se moltiplico i tre polinomi non ottengo esattamente il polinomio $f$ di partenza!
Ma il mio modo di procedere (guidato dall'aiuto di Lorin
) con cui arrivo ad affermare che $f=(x+1)⋅(x^2+1)=(x+1)(x-1)(x+1) $, che sono tre polinomi irriducibili in $ZZ$/$2ZZ$ essendo di primo grado, è corretto?? perchè se moltiplico i tre polinomi non ottengo esattamente il polinomio $f$ di partenza!
Se fai bene i conti modulo [tex]$2$[/tex] il polinomio di partenza deve sbucare fuori pure dal tuo prodotto: infatti [tex]$x-1\equiv x+1 \mod 2$[/tex] (perchè [tex]$-1\equiv 1 \mod 2$[/tex]), quindi svolgere il tuo prodotto o il cubo di binomio come ho proposto io deve condurre necessariamente allo stesso risultato.
Esatto.
Grazie mille a tutti e due!! 
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