Chiarimenti su classi di equivalenza e partizioni
salve,
cortesemente vorrei ricevere dei chiarimenti in merito a classi di equivalenze e partizioni.
per comprendere meglio il problema,
considero un semplice esempio.
Ho un insieme di persone
[tex]A = \left \{a,b,c,d,e\right \}[/tex]
[tex]a,b,c[/tex] sono alte 1,70
[tex]d,e[/tex] sono alte 1,80
[tex]\varrho[/tex] è la relazione di equivalenza "hanno la stessa altezza".
per creare una classe di equivalenza considero un rappresentante alto 1,70 e un altro 1,80
una classe di equivalenza è la seguente:
[tex][a] = \left \{a,b,c\right \}[/tex]
e dovrebbe essere lo stesso che scrivere
[tex] = \left \{a,b,c\right \}[/tex]
[tex][c] = \left \{a,b,c\right \}[/tex]
penso per la seguente proposizione:
l'altra classe di equivalenza è la seguente:
[tex][d] = \left \{d,e\right \}[/tex]
per il motivo procedente dovrebbe avere lo stesso significato scrivere:
[tex][e] = \left \{d,e\right \}[/tex]
data la definizione di insieme quoziente come:
l'insieme di tutte le classi di equivalenza modulo [tex]\varrho[/tex].
[tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a] \,|\, a \in A\right \}[/tex]
L'insieme quoziente dovrebbe essere il seguente:
[tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[d]\right \}[/tex]
oppure [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[e]\right \}[/tex] oppure [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{,[d]\right \}[/tex] ecc... che dovrebbero rappresentare la stessa cosa.
Se tutto ciò che ho scritto finora è giusto i miei problemi sorgono nei seguenti teoremi:
Quindi quell'"una" vuol dire unica?
Dal momento che [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[d]\right \}[/tex] sembrerebbe di sì.
cioè [tex]D = \left \{ \left \{a,b,c \right \}, \left \{d,e \right \} \right \}[/tex]
Inoltre nel seguente:
Ma se considero dall'insieme A questa partizione E:
[tex]E = \left \{K,X\right \}[/tex]
[tex]K = \left \{a,c,e\right \}[/tex]
[tex]X = \left \{b,d\right \}[/tex]
in che modo K e X dovrebbero essere delle classi di equivalenza modulo [tex]\varrho[/tex] quando invece effettivamente si ha che [tex]b[/tex] non è in relazione [tex]\varrho[/tex] con [tex]d[/tex]?
mille grazie.
cortesemente vorrei ricevere dei chiarimenti in merito a classi di equivalenze e partizioni.
per comprendere meglio il problema,
considero un semplice esempio.
Ho un insieme di persone
[tex]A = \left \{a,b,c,d,e\right \}[/tex]
[tex]a,b,c[/tex] sono alte 1,70
[tex]d,e[/tex] sono alte 1,80
[tex]\varrho[/tex] è la relazione di equivalenza "hanno la stessa altezza".
per creare una classe di equivalenza considero un rappresentante alto 1,70 e un altro 1,80
una classe di equivalenza è la seguente:
[tex][a] = \left \{a,b,c\right \}[/tex]
e dovrebbe essere lo stesso che scrivere
[tex] = \left \{a,b,c\right \}[/tex]
[tex][c] = \left \{a,b,c\right \}[/tex]
penso per la seguente proposizione:
Sia [tex]\varrho[/tex] una relazione di equivalenza definita su un insieme A. Allora, [tex][a] = \iff a \varrho b[/tex].
l'altra classe di equivalenza è la seguente:
[tex][d] = \left \{d,e\right \}[/tex]
per il motivo procedente dovrebbe avere lo stesso significato scrivere:
[tex][e] = \left \{d,e\right \}[/tex]
data la definizione di insieme quoziente come:
l'insieme di tutte le classi di equivalenza modulo [tex]\varrho[/tex].
[tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a] \,|\, a \in A\right \}[/tex]
L'insieme quoziente dovrebbe essere il seguente:
[tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[d]\right \}[/tex]
oppure [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[e]\right \}[/tex] oppure [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{,[d]\right \}[/tex] ecc... che dovrebbero rappresentare la stessa cosa.
Se tutto ciò che ho scritto finora è giusto i miei problemi sorgono nei seguenti teoremi:
TEOREMA: Sia [tex]\varrho[/tex] una relazione di equivalenza in A. Le classi di equivalenza di [tex]\frac{A}{\varrho}[/tex] costituiscono una partizione di A.
Quindi quell'"una" vuol dire unica?
Dal momento che [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[d]\right \}[/tex] sembrerebbe di sì.
cioè [tex]D = \left \{ \left \{a,b,c \right \}, \left \{d,e \right \} \right \}[/tex]
Inoltre nel seguente:
TEOREMA: Ogni partizione di un insieme A determina su A una relazione di equivalenza, per la
quale i sottoinsiemi della partizione sono le classi di equivalenza.
Ma se considero dall'insieme A questa partizione E:
[tex]E = \left \{K,X\right \}[/tex]
[tex]K = \left \{a,c,e\right \}[/tex]
[tex]X = \left \{b,d\right \}[/tex]
in che modo K e X dovrebbero essere delle classi di equivalenza modulo [tex]\varrho[/tex] quando invece effettivamente si ha che [tex]b[/tex] non è in relazione [tex]\varrho[/tex] con [tex]d[/tex]?
mille grazie.
Risposte
Nell'ultimo teorema che hai citato si dice che ogni partizione di un insieme A determina su A una relazione di equivalenza.
Non vuol dire che la relazione sia la stessa ogni volta.
La partizione $E={{a,c,e},{b,d}}$ determina una relazione di equivalenza diversa da $rho$.
Magari è una relazione di equivalenza brutta e scomoda da scrivere, ma è sempre una relazione di equivalenza.
Non vuol dire che la relazione sia la stessa ogni volta.
La partizione $E={{a,c,e},{b,d}}$ determina una relazione di equivalenza diversa da $rho$.
Magari è una relazione di equivalenza brutta e scomoda da scrivere, ma è sempre una relazione di equivalenza.
Quindi, nel penultimo teorema,
se ci si riferisce alla relazione [tex]\varrho[/tex] definita all'inizio, se ho capito bene la partizione è una sola?
Mentre nell'ultimo teorema
ci si riferisce a qualsiasi relazione di equivalenza.
Nel caso in cui si facesse riferimento ad una delle tante relazioni di equivalenza, in particolare alla relazione [tex]\varrho[/tex] definita in partenza, il teorema risulterebbe essere il contrario del precedente no?
Cioè data la partizione [tex]D = \left \{ \left \{a,b,c \right \}, \left \{d,e \right \} \right \}[/tex]
i sottoinsiemi di questa partizione sono le classi di equivalenza.
Quindi [tex][\left \{a,b,c \right \}][/tex] è una classe di equivalenza, ma dal momento che [tex]a \varrho b, \, b \varrho c, \, a \varrho c[/tex]
quindi [tex][a] = , \, = [c], \, [a] = [c][/tex] si può indicare il tutto con [tex][a][/tex] è giusto no?
lo stesso ragionamento per [tex][\left \{d,e \right \}][/tex].
Ottenendo così le rispettive classi di equivalenza che sono i sottoinsiemi della partizione e il tutto coincide con [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[d]\right \}[/tex].
Un ragionamento contorto ma penso sia giusto?
se ci si riferisce alla relazione [tex]\varrho[/tex] definita all'inizio, se ho capito bene la partizione è una sola?
Mentre nell'ultimo teorema
TEOREMA: Ogni partizione di un insieme A determina su A una relazione di equivalenza, per la
quale i sottoinsiemi della partizione sono le classi di equivalenza.
ci si riferisce a qualsiasi relazione di equivalenza.
Nel caso in cui si facesse riferimento ad una delle tante relazioni di equivalenza, in particolare alla relazione [tex]\varrho[/tex] definita in partenza, il teorema risulterebbe essere il contrario del precedente no?
Cioè data la partizione [tex]D = \left \{ \left \{a,b,c \right \}, \left \{d,e \right \} \right \}[/tex]
i sottoinsiemi di questa partizione sono le classi di equivalenza.
Quindi [tex][\left \{a,b,c \right \}][/tex] è una classe di equivalenza, ma dal momento che [tex]a \varrho b, \, b \varrho c, \, a \varrho c[/tex]
quindi [tex][a] = , \, = [c], \, [a] = [c][/tex] si può indicare il tutto con [tex][a][/tex] è giusto no?
lo stesso ragionamento per [tex][\left \{d,e \right \}][/tex].
Ottenendo così le rispettive classi di equivalenza che sono i sottoinsiemi della partizione e il tutto coincide con [tex]\frac{A}{\varrho} = \left \{[a],[d]\right \}[/tex].
Un ragionamento contorto ma penso sia giusto?
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