Esercizio sulle permutazioni
Ciao ragazzi...metto un esercizio risolto da me sulle permutazioni per capire se l'ho svolto in maniera corretta e per aiutare, nel caso qualcuno ne abbia bisogno in futuro nella risoluzione di questa tipologia di esercizi....allora, date:
$ f = ( ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ),( 3 2 8 4 9 6 7 1 5 ) ) $
$ g = ( ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ),( 1 6 8 7 5 9 4 3 2 ) ) $
1) scrivere f nel prodotto di cicli disgiunti, determinare l'ordine, la classe precisando se sia o meno $in A_9$
2) determinare $h = f°g$, l'ordine di h nel gruppo $(S_9, °)$ e la sua inversa
3) scrivere tutti gli elementi del sottogruppo H di $(S_9, °)$ generato da h
4) scrivere gli elementi di tutti i sottogruppi di H
1) $f = (1 3 8)°(5 9)$, mcm(3, 2) = 6, quindi è di ordine 6 mentre la classe è dispari poichè f è prodotto di un numero pari di cicli
2) $h = (1 3)°(2 6 5 9)°(4 7)$, mcm(2, 4, 2) = 4, quindi è di ordine 4 mentre la classe è pari poichè f è prodotto di un numero dispari di cicli
2b) $h^(-1) = (1 3)°(2 9 5 6)°(4 7)$
3) Dato che h è di ordine 4, il sottogruppo H generato da h avrà 4 elementi: ${id, h, h^2, h^3}$ corretto?????
4) Mi creo la tabella (che scrivo sotto forma di matrice in queso forum per comodità di lettura)
$ ( ( M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ),( h = 3 6 1 7 9 5 4 8 2 ), (h^2 =1 5 3 4 2 9 7 8 6 ),( h^3 =3 9 1 7 6 2 4 8 5 ) ) $
e poi mi limito a considerare, per i vari elementi la riga M e quella rispettiva della potenza di h che mi interessa, quindi scrivo la permutazione come cicli disgiunti e ottengo gli elementi dei sottogruppi di H. Corretto?
Ora, un mio dubbio....l'elemento identico (id) cosa sarebbe di preciso? non lo trovo sugli appunti, trovo solo che va messo
$ f = ( ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ),( 3 2 8 4 9 6 7 1 5 ) ) $
$ g = ( ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ),( 1 6 8 7 5 9 4 3 2 ) ) $
1) scrivere f nel prodotto di cicli disgiunti, determinare l'ordine, la classe precisando se sia o meno $in A_9$
2) determinare $h = f°g$, l'ordine di h nel gruppo $(S_9, °)$ e la sua inversa
3) scrivere tutti gli elementi del sottogruppo H di $(S_9, °)$ generato da h
4) scrivere gli elementi di tutti i sottogruppi di H
1) $f = (1 3 8)°(5 9)$, mcm(3, 2) = 6, quindi è di ordine 6 mentre la classe è dispari poichè f è prodotto di un numero pari di cicli
2) $h = (1 3)°(2 6 5 9)°(4 7)$, mcm(2, 4, 2) = 4, quindi è di ordine 4 mentre la classe è pari poichè f è prodotto di un numero dispari di cicli
2b) $h^(-1) = (1 3)°(2 9 5 6)°(4 7)$
3) Dato che h è di ordine 4, il sottogruppo H generato da h avrà 4 elementi: ${id, h, h^2, h^3}$ corretto?????
4) Mi creo la tabella (che scrivo sotto forma di matrice in queso forum per comodità di lettura)
$ ( ( M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ),( h = 3 6 1 7 9 5 4 8 2 ), (h^2 =1 5 3 4 2 9 7 8 6 ),( h^3 =3 9 1 7 6 2 4 8 5 ) ) $
e poi mi limito a considerare, per i vari elementi la riga M e quella rispettiva della potenza di h che mi interessa, quindi scrivo la permutazione come cicli disgiunti e ottengo gli elementi dei sottogruppi di H. Corretto?
Ora, un mio dubbio....l'elemento identico (id) cosa sarebbe di preciso? non lo trovo sugli appunti, trovo solo che va messo
Risposte
Non ho controllato attentamente i calcoli, ma mi sembrano fatti bene; per quanto riguarda l'elemento $id$ esso rappresenta la permutazione che fa rimanere fissi tutti gli elementi. Basti pensare che una permutazione può essere vista come una funzione, e la permutazione identica è quella che manda i singoli elementi in se stessi. E' l'elemento neutro del gruppo simmetrico.
chiarissimo...grazie...più che i calcoli mi interessava il ragionamento! ti ringrazio per il chiarimento su $id$
di nulla!
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