Domanda relativa ai reticoli:
Ciao a tutti, vi sottopongo questo quesito:
Un sottoinsieme infinito di un reticolo non ha estremo superiore oppure non ha estremo inferiore.
E' vero o falso? Ho parecchi dubbi...
Innanzitutto so che un insieme parzialmente ordinato è un reticolo se per ogni $a,b in X$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore. Se quindi prendo un suo sottoinsieme, seppur infinito (quindi è infinito anche $X$), sapendo che è un reticolo mi viene da dire che anche il sottoinsieme ha entrambi (sup e inf).
Sono completamente fuori strada?
Un sottoinsieme infinito di un reticolo non ha estremo superiore oppure non ha estremo inferiore.
E' vero o falso? Ho parecchi dubbi...
Innanzitutto so che un insieme parzialmente ordinato è un reticolo se per ogni $a,b in X$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore. Se quindi prendo un suo sottoinsieme, seppur infinito (quindi è infinito anche $X$), sapendo che è un reticolo mi viene da dire che anche il sottoinsieme ha entrambi (sup e inf).
Sono completamente fuori strada?
Risposte
Sì... Basta considerare [tex]\mathbb{Z}[/tex] dotato dell'ordinamento naturale. Si avrà: [tex]a \cap b = \min{a,b}[/tex] e [tex]a \cup b = \max{a,b}[/tex]. considera l'insieme [tex]2\mathbb{Z}[/tex]. Questo insieme è infinito ed è ovviamente un sottoreticolo. Tuttavia non ha né estremo inferiore né estremo superiore.
Per inciso, non è nemmeno sufficiente chiedere che il reticolo abbia zero e uno. Se infatti consideri [tex]\mathbb{Z} \cup \{\pm\infty\}[/tex] estendendo come ovvio le operazioni reticolari (cioè facendo in modo che [tex]-\infty[/tex] sia lo zero e [tex]+\infty[/tex] sia l'uno), lo stesso sottoreticolo di prima continua a rimanere un controesempio valido.
Se però un reticolo ha zero e uno ed inoltre ogni sottoinsieme (anche infinito) ammette estremo inferiore, allora è vero che ogni sottoreticolo ha estremo superiore.
Per inciso, non è nemmeno sufficiente chiedere che il reticolo abbia zero e uno. Se infatti consideri [tex]\mathbb{Z} \cup \{\pm\infty\}[/tex] estendendo come ovvio le operazioni reticolari (cioè facendo in modo che [tex]-\infty[/tex] sia lo zero e [tex]+\infty[/tex] sia l'uno), lo stesso sottoreticolo di prima continua a rimanere un controesempio valido.
Se però un reticolo ha zero e uno ed inoltre ogni sottoinsieme (anche infinito) ammette estremo inferiore, allora è vero che ogni sottoreticolo ha estremo superiore.
uhm, porta pazienza ma non ho capito molto..
Innanzitutto non comprendo benissimo perchè $a \cap b = \min{a,b}$ e $a \cup b = \max{a,b}$.. cioè, finche faccio intersezioni e unioni tra insiemi ci sono, ma tra elementi mi vien difficile da pensare. Ho una mezza idea di come possa funzionare a grandi linee, però forse è completamente sbagliata:
ad esempio $\min{3,5}=3$ in quanto la parte "comune" è 3, se li immaginiamo graficamente entrambi partendo da 0 (quindi 0-3 e 0-5).
Per quanto riguarda $2\mathbb{Z}$, perchè non ha ne inferiore ne superiore? $a,b$ vanno presi appartenenti a $\mathbb{Z}$ o a $2\mathbb{Z}$?
Innanzitutto non comprendo benissimo perchè $a \cap b = \min{a,b}$ e $a \cup b = \max{a,b}$.. cioè, finche faccio intersezioni e unioni tra insiemi ci sono, ma tra elementi mi vien difficile da pensare. Ho una mezza idea di come possa funzionare a grandi linee, però forse è completamente sbagliata:
ad esempio $\min{3,5}=3$ in quanto la parte "comune" è 3, se li immaginiamo graficamente entrambi partendo da 0 (quindi 0-3 e 0-5).
Per quanto riguarda $2\mathbb{Z}$, perchè non ha ne inferiore ne superiore? $a,b$ vanno presi appartenenti a $\mathbb{Z}$ o a $2\mathbb{Z}$?
Allora, la prima domanda mi fa pensare che abbiamo studiato approcci diversi alla teoria dei reticoli. Ti do la mia definizione:
- Definizione 1. Diciamo reticolo algebrico una terna [tex](I,\cap,\cup)[/tex], dove [tex]I[/tex] è detto supporto del reticolo e [tex]\cap:I\times I \to I[/tex] e [tex]\cup: I \times I \to I[/tex] sono due operazioni binarie interne tali che:
- 1) [tex]\forall a,b \in I, a\cap b = b \cap a \mbox{ e } a\cup b = b \cup a[/tex];
2) [tex]\forall a,b,c \in I, (a\cap b)\cap c = a \cap (b \cap c) \mbox{ e } (a\cup b) \cup c = a\cup (b\cup c)[/tex];
3) [tex]\forall a,b \in I, a\cap (a \cup b) = a \mbox{ e } a \cup (a \cap b) = a[/tex]
[/list:u:m9yd6lur]
Definizione 2. Diciamo reticolo (ordinato) una coppia [tex](I,\le)[/tex], dove [tex]I[/tex] è detto supporto del reticolo e [tex]\le[/tex] è una relazione d'ordine parziale tale che per ogni [tex]a,b \in I[/tex] si abbia [tex]\inf\{a,b\} \in I[/tex] e [tex]\sup\{a,b\}[/tex].
[/list:u:m9yd6lur]
Si dimostra poi il seguente
- Teorema. Sia [tex](I,\le)[/tex] un reticolo ordinato. Allora, posto per ogni [tex]a,b\in I[/tex]: [tex]a\cap b :=\inf\{a,b\}[/tex] e [tex]a\cup b:=\sup\{a,b\}[/tex], [tex](I,\cup,\cap)[/tex] è un reticolo algebrico. Viceversa, se [tex](I,\cup,\cap)[/tex] è un reticolo algebrico, definiamo [tex]a \le b \iff a \cap b = a[/tex]; allora [tex](I,\le)[/tex] è un reticolo ordinato.[/list:u:m9yd6lur]
Pertanto, quando parlo di reticoli mi viene naturale alternare la struttura d'ordine a quella algebrica, dal momento che coincidono per il precedente teorema.
Chiariti questi fatti preliminari, quando si chiede di trovare [tex]\inf X[/tex], dove [tex]X[/tex] è un qualunque sottoinsieme del reticolo che stiamo considerando, si chiede implicitamente di cercarlo all'interno del reticolo. Se ad esempio consideri uno dei reticoli più semplici possibili:
[tex]\xymatrix{ & a \\ b \ar@{-}[ur] & & c \ar@{-}[ul] \\ & d \ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul]}[/tex]
è chiaro che [tex]\inf\{b,c\} = d \not \in \{b,c \}[/tex]. Questo mi fa tra l'altro accorgere che prima ho detto una cavolata, in quanto [tex]2\mathbb{Z}[/tex] ammette estremo inferiore ed estremo superiore in [tex]\mathbb{Z}\cup\{\pm \infty\}[/tex].
Ma tu per caso ti limiti esplicitamente ai reticoli di famiglie di insiemi? Perché in quel caso ci sono proprietà aggiuntive. Ad esempio è noto che un reticolo è distributivo se e solo se è un sottoreticolo di un reticolo delle parti di un qualche insieme (non vuoto).
Dal mio post precedente dovrebbe risultare chiaro che ogni insieme totalmente ordinato è un reticolo ordinato (e quindi algebrico). Questo mi permette di dimostrare che l'affermazione fatta in precedenza era corretta (nonostante fosse sbagliato l'esempio dato allora): consideriamo ad esempio [tex][0,1)\cup(1,2][/tex] come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex]. L'ordine totale rende questo insieme un reticolo. Tuttavia, se consideriamo il sottoinsieme [tex](1,2][/tex] otteniamo un insieme infinito che non ha estremo inferiore, pur essendo il reticolo dotato di zero (che stavolta coincide proprio con 0). Allora possiamo considerare sulla falsariga di questo esempio [tex][0,1)\cup(1,2)\cup(2,3][/tex] e concludere che [tex](1,2)[/tex] è un sottoreticolo che non ha né estremo superiore né estremo inferiore, pur essendo il reticolo di partenza dotato di zero e di uno.
Io seguo questa definizione:
Un insieme parzialmente ordinato $X,<= $ si dice un reticolo se, per ogni $a,b in X$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore.
Per via dell'unicità possiamo in tal caso porre $a vv b = $sup${a,b}$ e $a ^^ b = $inf${a,b}$ (non riesco a scrivere inf e sup nel modo corretto all'interno dei $...)
detto questo valgono le regole di idempotenza, commutatività, associatività e assorbimento come hai detto tu.
Quindi da quello che ho capito io dalla mia definizione, cerco il minimo e il massimo tra coppie di elementi.
ma se prendi il sottoinsieme $(1,2]$ non abbiamo solo un elemento? cioè il 2? forse intendo male il significato che dai tu a $($ e $]$, io con $(1$ intendo "escluso l'1" e con $2]$ intendo "incluso il 2"
Un insieme parzialmente ordinato $X,<= $ si dice un reticolo se, per ogni $a,b in X$, l'insieme ${a,b}$ ha estremo superiore ed estremo inferiore.
Per via dell'unicità possiamo in tal caso porre $a vv b = $sup${a,b}$ e $a ^^ b = $inf${a,b}$ (non riesco a scrivere inf e sup nel modo corretto all'interno dei $...)
detto questo valgono le regole di idempotenza, commutatività, associatività e assorbimento come hai detto tu.
Quindi da quello che ho capito io dalla mia definizione, cerco il minimo e il massimo tra coppie di elementi.
Dal mio post precedente dovrebbe risultare chiaro che ogni insieme totalmente ordinato è un reticolo ordinato (e quindi algebrico). Questo mi permette di dimostrare che l'affermazione fatta in precedenza era corretta (nonostante fosse sbagliato l'esempio dato allora): consideriamo ad esempio [0,1)\cup(1,2] come sottoinsieme di \mathbb{R}. L'ordine totale rende questo insieme un reticolo. Tuttavia, se consideriamo il sottoinsieme (1,2] otteniamo un insieme infinito che non ha estremo inferiore, pur essendo il reticolo dotato di zero (che stavolta coincide proprio con 0). Allora possiamo considerare sulla falsariga di questo esempio [0,1)\cup(1,2)\cup(2,3] e concludere che (1,2) è un sottoreticolo che non ha né estremo superiore né estremo inferiore, pur essendo il reticolo di partenza dotato di zero e di uno.
ma se prendi il sottoinsieme $(1,2]$ non abbiamo solo un elemento? cioè il 2? forse intendo male il significato che dai tu a $($ e $]$, io con $(1$ intendo "escluso l'1" e con $2]$ intendo "incluso il 2"
In effetti, consideravo [tex](1,2][/tex] come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex] e quindi
[tex](1,2] = \{x \in \mathbb{R} : 1 < x \le 2\}[/tex]
e quindi è un insieme dotato di infiniti elementi...
Torniamo al resto. Se sei d'accordo con me che in un reticolo convivono una struttura algebrica ed una struttura d'ordine (e queste sostanzialmente coincidono tra di loro), non capisco la tua difficoltà a definire [tex]\cap[/tex] e [tex]\cup[/tex] (o se preferisci [tex]\wedge[/tex] e [tex]\vee[/tex]) arbitrariamente, purché soddisfino gli assiomi. Cioè, non capisco quando dici
Sei convinto della validità dei miei esempi? La definizione che ho dato di [tex]\wedge[/tex] e [tex]\vee[/tex] nel caso di [tex]\mathbb{Z}[/tex] e di [tex]\mathbb{R}[/tex] mi sembra che soddisfi in modo banale agli assiomi...
[tex](1,2] = \{x \in \mathbb{R} : 1 < x \le 2\}[/tex]
e quindi è un insieme dotato di infiniti elementi...
Torniamo al resto. Se sei d'accordo con me che in un reticolo convivono una struttura algebrica ed una struttura d'ordine (e queste sostanzialmente coincidono tra di loro), non capisco la tua difficoltà a definire [tex]\cap[/tex] e [tex]\cup[/tex] (o se preferisci [tex]\wedge[/tex] e [tex]\vee[/tex]) arbitrariamente, purché soddisfino gli assiomi. Cioè, non capisco quando dici
"BeNdErR":
[...] cioè, finché faccio intersezioni e unioni tra insiemi ci sono, ma tra elementi mi vien difficile da pensare.[...]
Sei convinto della validità dei miei esempi? La definizione che ho dato di [tex]\wedge[/tex] e [tex]\vee[/tex] nel caso di [tex]\mathbb{Z}[/tex] e di [tex]\mathbb{R}[/tex] mi sembra che soddisfi in modo banale agli assiomi...
ah ma aspetta, con $\cap$ e $\cup$ intendi due relazioni generiche (purchè soddisfino gli assiomi)? Non unione e intersezione? Perchè sulle slide che sto seguendo la relazione "generica" era rappresentata con l'and e l'or, quindi mi sa che ho fatto confusione e consideravo il tuo unione e intersezione proprio per quello che sono, e non in modo generico.
Penso che una limitazione sia il fatto che io non riesca a ragionare troppo facilmente in termini non concreti. Saresti così gentile da farmi un esempio specifico di relazione e di calcolo di sup e min? Una volta capito il caso particolare dovrebbe essermi più facile capire il generico.
Penso che una limitazione sia il fatto che io non riesca a ragionare troppo facilmente in termini non concreti. Saresti così gentile da farmi un esempio specifico di relazione e di calcolo di sup e min? Una volta capito il caso particolare dovrebbe essermi più facile capire il generico.
In effetti, hai ragione, solitamente si usano [tex]\wedge[/tex] e [tex]\vee[/tex] per indicare le operazioni generiche. Tuttavia, in alcuni testi su cui ho studiato usano la notazione che ho impiegato sopra per indicare il minimo ed il massimo tra numeri. Mi spiace se ti ho creato confusione, spero che adesso ti sia tutto più chiaro.
Torniamo a noi.
Intendi dire un esempio "esotico"? Vediamo se il seguente è abbastanza "strano":
consideriamo [tex]\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}[/tex] e definiamo [tex]a \le b \iff a \mid b[/tex], dove con [tex]a \mid b[/tex] intendo dire che [tex]a[/tex] divide [tex]b[/tex].
Prova a ragionare su questo esempio, così ti impratichisci con gli oggetti con cui stai trattando. Ad esempio, sapresti calcolare:
1) [tex]\inf\{2,3\}[/tex];
2) [tex]\sup\{4,6\}[/tex];
3) [tex]\inf\{9,21\}[/tex];
4) lo zero del reticolo (se esiste);
5) l'uno del reticolo (se esiste);
6) [tex]\inf\{a,b\}[/tex] e [tex]\sup\{a,b\}[/tex] per generici [tex]a,b\in \mathbb{N}[/tex].
Poi consideriamo questo insieme: [tex]X = \{n \in \mathbb{N}: n = 2^k, k\in \mathbb{N}^+\}[/tex] (dove [tex]\mathbb{N}^+ = \{1,2,3,\ldots\}[/tex]). Sapresti calcolare [tex]\inf X[/tex] e [tex]\sup X[/tex]? E [tex]\min X[/tex] e [tex]\max X[/tex] esistono entrambi, ne esiste uno solo o non ne esiste nessuno?
Torniamo a noi.
"BeNdErR":
Saresti così gentile da farmi un esempio specifico di relazione e di calcolo di sup e min?
Intendi dire un esempio "esotico"? Vediamo se il seguente è abbastanza "strano":
consideriamo [tex]\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}[/tex] e definiamo [tex]a \le b \iff a \mid b[/tex], dove con [tex]a \mid b[/tex] intendo dire che [tex]a[/tex] divide [tex]b[/tex].
Prova a ragionare su questo esempio, così ti impratichisci con gli oggetti con cui stai trattando. Ad esempio, sapresti calcolare:
1) [tex]\inf\{2,3\}[/tex];
2) [tex]\sup\{4,6\}[/tex];
3) [tex]\inf\{9,21\}[/tex];
4) lo zero del reticolo (se esiste);
5) l'uno del reticolo (se esiste);
6) [tex]\inf\{a,b\}[/tex] e [tex]\sup\{a,b\}[/tex] per generici [tex]a,b\in \mathbb{N}[/tex].
Poi consideriamo questo insieme: [tex]X = \{n \in \mathbb{N}: n = 2^k, k\in \mathbb{N}^+\}[/tex] (dove [tex]\mathbb{N}^+ = \{1,2,3,\ldots\}[/tex]). Sapresti calcolare [tex]\inf X[/tex] e [tex]\sup X[/tex]? E [tex]\min X[/tex] e [tex]\max X[/tex] esistono entrambi, ne esiste uno solo o non ne esiste nessuno?
Btw, per che esame stai studiando? E segui un corso di Laurea in Matematica, oppure queste cose le fanno altrove? Perdona la mia curiosità, ma ho dovuto studiare questi argomenti da auto-didatta perché mi servivano per alcune loro applicazioni alla topologia, ma non ci ho mai sostenuto un esame. Gli esercizi da cui hai preso la domanda iniziale si trovano in rete?
grazie per l'esempio ;D vediamo un po' se ragiono nel modo giusto:
1) devo trovare l'estremo inferiore tra 2 e 3, e so che è il più grande dei minoranti dell'insieme preso in considerazione, quindi essendo $x$ un minorante di un insieme $A$ se $x<=a$, per ogni $a in A$ mi viene da dire che non c'è estremo inferiore perchè $2|3$ nè $3|2$.
2) l'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti, ed essendo $x$ un maggiorante di un insieme $A$ se $a<=x$ per ogni $a in A$ dire che non c'è l'estremo superiore, come nel caso precedente.
qui mi fermo un attimo perchè ho un dubbio: il valore di $x$ lo scelgo in $\mathbb{N}$ o nel sottoinsieme (ad esempio in {2,3}) che sto guardando?
1) devo trovare l'estremo inferiore tra 2 e 3, e so che è il più grande dei minoranti dell'insieme preso in considerazione, quindi essendo $x$ un minorante di un insieme $A$ se $x<=a$, per ogni $a in A$ mi viene da dire che non c'è estremo inferiore perchè $2|3$ nè $3|2$.
2) l'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti, ed essendo $x$ un maggiorante di un insieme $A$ se $a<=x$ per ogni $a in A$ dire che non c'è l'estremo superiore, come nel caso precedente.
qui mi fermo un attimo perchè ho un dubbio: il valore di $x$ lo scelgo in $\mathbb{N}$ o nel sottoinsieme (ad esempio in {2,3}) che sto guardando?
Ok, ok, fermiamoci un attimo. Abbiamo detto che l'estremo inferiore (e superiore) va cercato all'interno di tutto il reticolo. Ti faccio notare che se per ogni [tex]a,b\in I[/tex] fosse [tex]\inf\{a,b\} \in \{a,b\}[/tex], la relazione d'ordine definita sul reticolo [tex]I[/tex] sarebbe una relazione d'ordine totale (sapresti dimostrare questa mia affermazione?).
Consideriamo [tex]\inf\{2,3\}[/tex]. Per prima cosa determiniamo l'insieme dei minoranti. Tale insieme è formato da tutti i numeri naturali [tex]n[/tex] tali che [tex]n \mid 2[/tex] e [tex]n \mid 3[/tex]. L'unico numero naturale che soddisfa entrambe queste relazioni è [tex]1[/tex], sicché l'insieme dei minoranti è [tex]\{1\}[/tex]. Ne seguirà che [tex]\inf\{2,3\} = 1[/tex].
Adesso prova ad andare avanti...
Consideriamo [tex]\inf\{2,3\}[/tex]. Per prima cosa determiniamo l'insieme dei minoranti. Tale insieme è formato da tutti i numeri naturali [tex]n[/tex] tali che [tex]n \mid 2[/tex] e [tex]n \mid 3[/tex]. L'unico numero naturale che soddisfa entrambe queste relazioni è [tex]1[/tex], sicché l'insieme dei minoranti è [tex]\{1\}[/tex]. Ne seguirà che [tex]\inf\{2,3\} = 1[/tex].
Adesso prova ad andare avanti...
eccolo li dove stava l'errore.. avevo mal interpretato la definizione allora!
totale: vuol dire che per opportuni $x,y in N$ ho $xRy$ o $yRx$, quindi dovrei saper verificare se è totale o no
dunque: l'insieme dei maggioranti è formato da tutti gli $n in \mathbb{N}$ t.c. $4|n$ e $6|n$, e per trovare l'estremo superiore devo scegliere il più piccolo dei maggioranti, quindi ${12}$
3) ${3}$
4) e 5) non so cosa siano lo zero e l'uno del reticolo, li ho già incontrati nel testo ma non li ho capiti
6) inf{a,b}: l'insieme dei minoranti è dato da tutti gli $n$ tc $n|a$ e $n|b$, quindi mi vien da dire che $x = \mathbb{N}$ perchè per ogni valore di x posso trovare 2 suoi multipli diversi. Dovendo però prendere il più piccolo scelgo ${1}$.
fin qui è giusto?
Poi vedo se riesco a far la parte successiva prima di uscire, intanto grazie mille!
totale: vuol dire che per opportuni $x,y in N$ ho $xRy$ o $yRx$, quindi dovrei saper verificare se è totale o no
dunque: l'insieme dei maggioranti è formato da tutti gli $n in \mathbb{N}$ t.c. $4|n$ e $6|n$, e per trovare l'estremo superiore devo scegliere il più piccolo dei maggioranti, quindi ${12}$
3) ${3}$
4) e 5) non so cosa siano lo zero e l'uno del reticolo, li ho già incontrati nel testo ma non li ho capiti
6) inf{a,b}: l'insieme dei minoranti è dato da tutti gli $n$ tc $n|a$ e $n|b$, quindi mi vien da dire che $x = \mathbb{N}$ perchè per ogni valore di x posso trovare 2 suoi multipli diversi. Dovendo però prendere il più piccolo scelgo ${1}$.
fin qui è giusto?
Poi vedo se riesco a far la parte successiva prima di uscire, intanto grazie mille!
"BeNdErR":
eccolo li dove stava l'errore.. avevo mal interpretato la definizione allora!
totale: vuol dire che per opportuni $x,y in N$ ho $xRy$ o $yRx$, quindi dovrei saper verificare se è totale o no
Veramente avevo chiesto esplicitamente la dimostrazione, ma non importa.
"BeNdErR":
dunque: l'insieme dei maggioranti è formato da tutti gli $n in \mathbb{N}$ t.c. $4|n$ e $6|n$, e per trovare l'estremo superiore devo scegliere il più piccolo dei maggioranti, quindi ${12}$
3) ${3}$
Corretto
"BeNdErR":
4) e 5) non so cosa siano lo zero e l'uno del reticolo, li ho già incontrati nel testo ma non li ho capiti
Sono semplicemente l'elemento minimo o massimo dell'intero reticolo. Ovviamente, non è sempre detto che esistano. Lo zero è caratterizzato dalla proprietà di essere minore di ogni altro elemento del reticolo, l'uno da quella di essere maggiore di ogni altro elemento del reticolo.
"BeNdErR":
6) inf{a,b}: l'insieme dei minoranti è dato da tutti gli $n$ tc $n|a$ e $n|b$, quindi mi vien da dire che $x = \mathbb{N}$ perchè per ogni valore di x posso trovare 2 suoi multipli diversi. Dovendo però prendere il più piccolo scelgo ${1}$.
Non capisco cosa vuoi dire. Forse non ti è chiaro: [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sono fissati una volta per tutte all'inizio del discorso. Sono dei numeri, solo che sono numeri generici (stiamo facendo il caso generale).
Rifletti, fissati [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] l'insieme dei minoranti di [tex]\{a,b\}[/tex] non può coincidere con [tex]\mathbb{N}[/tex]. Ad esempio come può un numero maggiore di entrambi [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] a dividerli entrambi?
Ti dò un suggerimento, magari da non guardare subito...
"maurer":
Veramente avevo chiesto esplicitamente la dimostrazione, ma non importa.
scusa direi che non è totale, in quanto non per tutti gli $x,y in N$ vale che $a<=b$ o $b<=a$.. ad esempio: $a=5, b=3$ -> non si verifica ne $aRb (a|b)$ ne $bRa (b|a)$.
per quanto riguarda lo 0 e l'1: quindi in questo caso devo trovare il minimo e il massimo su $N$? il minimo è 0, l'1 non c'è perchè $N$ è infinito, giusto?
6) mi sa che fissavo prima la $x$ e poi mi ricavavo $a$ e $b$
però ho un dubbio: la mia definizione di minorante è la seguente:
sia $R$ una relazione d'ordine sull'insieme $X$ e siano $x in X$ e $A sube X$. $x$ è un minorante di $A$ se $x<=a$, per ogni $a in A$
mi sono fatto trarre io in inganno dal "per ogni $a in A$"?
tornando all'esercizio:
inf{a,b} è il massimo dei minoranti, quindi come mi hai giustamente fatto notare tu $n$ è il valore più grande che divide entrambi, quindi il massimo comun divisore: $n = MCD(a,b)$
sup{a,b} è il minimo dei maggioranti, quindi il più piccolo numero $x$ tc $a|x$ e $b|x$. quindi $x=mcm(a,b)$
spero di non aver scritto cose a caso
fin qui ci sono?
"BeNdErR":
direi che non è totale, in quanto non per tutti gli $x,y in N$ vale che $a<=b$ o $b<=a$.. ad esempio: $a=5, b=3$ -> non si verifica ne $aRb (a|b)$ ne $bRa (b|a)$.
Ok, questo è giusto, ma la mia domanda era diversa: dimostrare che se per ogni [tex]a,b\in I[/tex] si ha [tex]\inf\{a,b\} \in \{a,b\}[/tex], ossia se [tex]\inf\{a,b\} = \min\{a,b\}[/tex], allora la relazione d'ordine presente nel reticolo è totale (stiamo ragionando, come dici tu, in astratto). Ma non importa.
"BeNdErR":
per quanto riguarda lo 0 e l'1: quindi in questo caso devo trovare il minimo e il massimo su $N$? il minimo è 0, l'1 non c'è perchè $N$ è infinito, giusto?
Anche qui stai confondendo. Adesso stiamo parlando di [tex]\mathbb{N}[/tex] "equipaggiato" con una relazione d'ordine diversa da quella solita: la relazione di divisibilità. Che questo reticolo non sia nemmeno parente di quello che si ottiene mettendo la relazione d'ordine standard (di minore tra numeri) si vede ad esempio osservando che l'ordine instaurato in questo caso è solo parziale e non totale.
Quindi chi è lo zero? Sarà un elemento che divide tutti gli altri, quindi...
Analogamente l'uno sarà un elemento che è diviso da tutti gli altri, quindi...
"BeNdErR":
6) mi sa che fissavo prima la $x$ e poi mi ricavavo $a$ e $b$
però ho un dubbio: la mia definizione di minorante è la seguente:
sia $R$ una relazione d'ordine sull'insieme $X$ e siano $x in X$ e $A sube X$. $x$ è un minorante di $A$ se $x<=a$, per ogni $a in A$
mi sono fatto trarre io in inganno dal "per ogni $a in A$"?
No, è giusto. Non capisco le tue perplessità a che cosa sono riferite, però...
"BeNdErR":
tornando all'esercizio:
inf{a,b} è il massimo dei minoranti, quindi come mi hai giustamente fatto notare tu $n$ è il valore più grande che divide entrambi, quindi il massimo comun divisore: $n = MCD(a,b)$
sup{a,b} è il minimo dei maggioranti, quindi il più piccolo numero $x$ tc $a|x$ e $b|x$. quindi $x=mcm(a,b)$
Ok, questo è giusto.
Sapresti risolvere anche le domande circa l'insieme [tex]X[/tex] che ti ho posto?
per quanto riguarda lo zero e l'uno son stato troppo frettoloso e non ci ho pensato, saltando a piè pari la relazione sull'insieme. quindi lo zero è 1 perchè divide tutti, l'uno è 0 perchè è diviso da tutti.
per quanto riguarda la definizione di minorante il dubbio era su questo passaggio:
secondo la mia (quella che ho scritto nel post precedente) definizione, minorante è un $x in X$ tale che $xRa$ per ogni $a in AsubeX$, quindi io qui sarei portato a "bloccare" il valore di $x$, e vedere se è in relazione con tutti gli $a in A$, mentre tu mi hai fatto notare che invece vanno fissati (nel caso dell'esercizio che mi hai proposto) $a$ e $b$, per poi cercare $x$.
ma ora penso di aver capito
ora vedo che riesco a fare sull'altro insieme
per quanto riguarda la definizione di minorante il dubbio era su questo passaggio:
secondo la mia (quella che ho scritto nel post precedente) definizione, minorante è un $x in X$ tale che $xRa$ per ogni $a in AsubeX$, quindi io qui sarei portato a "bloccare" il valore di $x$, e vedere se è in relazione con tutti gli $a in A$, mentre tu mi hai fatto notare che invece vanno fissati (nel caso dell'esercizio che mi hai proposto) $a$ e $b$, per poi cercare $x$.
ma ora penso di aver capito
ora vedo che riesco a fare sull'altro insieme
mmmm... son già impantanato perchè non vedo che relazione usare..
$X={2^{1},2^{2},2^{3},...}$
posso assumere che la relazione sia $<=$?
@admin/@mod: spesso il testo incluso tra \$ e \$ mi scompare quando carico la pagina.. lo stesso vale per i quote.. come mai? problemi con ffox?
$X={2^{1},2^{2},2^{3},...}$
posso assumere che la relazione sia $<=$?
@admin/@mod: spesso il testo incluso tra \$ e \$ mi scompare quando carico la pagina.. lo stesso vale per i quote.. come mai? problemi con ffox?
No, devi utilizzare sempre la relazione di divisibilità! Altrimenti il gioco dov'è?
Potresti osservare innanzi tutto che l'insieme forma una catena, ossia è totalmente ordinato dalla relazione di divisibilità... a questo punto trovare l'estremo inferiore dovrebbe essere facile. Se poi l'estremo superiore fosse per assurdo un numero diverso da 0...
Riesci a completare?
Potresti osservare innanzi tutto che l'insieme forma una catena, ossia è totalmente ordinato dalla relazione di divisibilità... a questo punto trovare l'estremo inferiore dovrebbe essere facile. Se poi l'estremo superiore fosse per assurdo un numero diverso da 0...
Riesci a completare?
dunque, se non ho capito male risulta così: $2^{k}<=2^{z}$ se $2^{k}|2^{z}$, ad esempio $2^3 <= 2^5$ in quanto $8|32$ e così ho l'insieme ordinato totalmente in quanto (e qui provo a far quello che non ho fatto ieri per l'altro esercizio:)
se $k < z$, con $k,z in \mathbb{N^{+}}$, ricadiamo in $2^{k} | 2^{z}$, se $k>z$ non si verifica $2^{k}|2^{z}$, ma l'opposto $2^{z}|2^{k}$ si verifica e quindi siamo ancora all'interno della "definizione di totalità". Se $k = z$ abbiamo che $2^k|2^k$, quindi ho verificato che sia totale.
inf${a,b}$: massimo dei minoranti, quindi quell'$n in X$ t.c. fissati $a$ e $b$ si ha $xRa$ e $xRb$, quindi il più grande numero che divide $a$ e $b$, allora $n = MCD(a,b)$.
sup${a,b}$: minimo dei maggioranti, quindi quell'$n in X$ t.c. fissati $a$ e $b$ si ha $aRx$ e $bRx$, quindi il più piccolo numero che è diviso da entrambi, allora $n=mcm(a,b)$.
se fin qui ho fatto giusto, mi vien da chiederti: ma quando chiedono estremo inferiore e superiore, ci sono sempre di mezzo MCD e mcm?
ora minimo e massimo: il minimo è $x$ tc sia il valore che divide da tutti gli $a in X$, quindi ${1}$. Il massimo è $x$ t.c. sia il valore che viene diviso da tutti gli altri, e non essendoci lo $0$ dobbiamo cercare nell'infinito, quindi niente massimo.
ho sbagliato tutto nè?
se $k < z$, con $k,z in \mathbb{N^{+}}$, ricadiamo in $2^{k} | 2^{z}$, se $k>z$ non si verifica $2^{k}|2^{z}$, ma l'opposto $2^{z}|2^{k}$ si verifica e quindi siamo ancora all'interno della "definizione di totalità". Se $k = z$ abbiamo che $2^k|2^k$, quindi ho verificato che sia totale.
inf${a,b}$: massimo dei minoranti, quindi quell'$n in X$ t.c. fissati $a$ e $b$ si ha $xRa$ e $xRb$, quindi il più grande numero che divide $a$ e $b$, allora $n = MCD(a,b)$.
sup${a,b}$: minimo dei maggioranti, quindi quell'$n in X$ t.c. fissati $a$ e $b$ si ha $aRx$ e $bRx$, quindi il più piccolo numero che è diviso da entrambi, allora $n=mcm(a,b)$.
se fin qui ho fatto giusto, mi vien da chiederti: ma quando chiedono estremo inferiore e superiore, ci sono sempre di mezzo MCD e mcm?
ora minimo e massimo: il minimo è $x$ tc sia il valore che divide da tutti gli $a in X$, quindi ${1}$. Il massimo è $x$ t.c. sia il valore che viene diviso da tutti gli altri, e non essendoci lo $0$ dobbiamo cercare nell'infinito, quindi niente massimo.
ho sbagliato tutto nè?
Credo che le idee siano corrette. Non ho capito perché hai di nuovo rifatto il discorso su [tex]\inf\{a,b\}[/tex] e [tex]\sup\{a,b\}[/tex]. Ti avevo chiesto [tex]\inf X[/tex] e [tex]\sup X[/tex]. Il minimo ed il massimo sono corretti, quindi rifletti: se il minimo esiste, l'estremo inferiore...
Invece la non esistenza del massimo non ci dice nulla sull'esistenza o meno dell'estremo superiore, e infatti in questo caso...
Invece la non esistenza del massimo non ci dice nulla sull'esistenza o meno dell'estremo superiore, e infatti in questo caso...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo