Mostrare che un gruppo sia finito e di ordine primo
Sono andato avanti nella risoluzione dei Problemi del buon Herstein.. Volevo proporvi una mia risoluzione per quanto riguarda il seguente problema:
Premessa: è la prima volta che uso le formule quindi oltre alla curiosità di sentire il vostro parere in merito alla dimostrazione, è anche un'occasione per allenarmi ad implementarle).
provare che se G è un gruppo PRIVO di sottogruppi NON banali allora G è finito e $|G| = p$ con p primo.
mia DIM:
Dapprima si nota che G risulta essere un gruppo ciclico, infatti:
Se H è sottogruppo, deve succedere H non banale dunque o H è l'insieme ridotto al solo elemento neutro oppure H è G.
Considerato $ g in G $ con $ g!=e $ posso considerare il sottogruppo generato da g, ovvero $ $ .
Per forza di cose quindi $G=$
A QUESTO PUNTO se G fosse infinito, posso parlare di un k naturale tale che $ nn != {e} $ ;
Ciò contraddice l'ipotesi della banalità di ogni sottogruppo dato che questo s.g. intersezione è tutt'altro che banale ed è per costruzione un sottogruppo in quanto intersezione di sottogruppi.
Dunque G è finito.
PER ASSURDO l'ordine di G sia un n naturale non primo.
Quantomeno $n=p_1p_2$ Due numeri primi (E' il più semplice caso immaginabile).
Se considero $ $ ho che in questo insieme compariranno potenze di g con esponenti multipli di $p_1$ che quindi in numero saranno al più $p_2$
Questo equivale ad aver trovato un sottogruppo di di G di ordine nè 1 nè $|G|$.
Dunque assurdo.
non lederei la generalità supponendo $|G|=p_1p_2p_3...p_r$
Attendo feedback.
Premessa: è la prima volta che uso le formule quindi oltre alla curiosità di sentire il vostro parere in merito alla dimostrazione, è anche un'occasione per allenarmi ad implementarle).
provare che se G è un gruppo PRIVO di sottogruppi NON banali allora G è finito e $|G| = p$ con p primo.
mia DIM:
Dapprima si nota che G risulta essere un gruppo ciclico, infatti:
Se H è sottogruppo, deve succedere H non banale dunque o H è l'insieme ridotto al solo elemento neutro oppure H è G.
Considerato $ g in G $ con $ g!=e $ posso considerare il sottogruppo generato da g, ovvero $
Per forza di cose quindi $G=
A QUESTO PUNTO se G fosse infinito, posso parlare di un k naturale tale che $
Ciò contraddice l'ipotesi della banalità di ogni sottogruppo dato che questo s.g. intersezione è tutt'altro che banale ed è per costruzione un sottogruppo in quanto intersezione di sottogruppi.
Dunque G è finito.
PER ASSURDO l'ordine di G sia un n naturale non primo.
Quantomeno $n=p_1p_2$ Due numeri primi (E' il più semplice caso immaginabile).
Se considero $
Questo equivale ad aver trovato un sottogruppo di di G di ordine nè 1 nè $|G|$.
Dunque assurdo.
non lederei la generalità supponendo $|G|=p_1p_2p_3...p_r$
Attendo feedback.
Risposte
[mod="Martino"]Ti invito a modificare il titolo e metterne uno che specifichi l'argomento. Basta che clicchi su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/mod]Si' e' giusto, ma a mio parere puoi fare direttamente il caso generale: prendi un primo p che divide l'ordine di g e consideri [tex]\langle g^p \rangle[/tex].
PS. Il titolo del libro e' "Algebra" o "Topics in Algebra"?
PS. Il titolo del libro e' "Algebra" o "Topics in Algebra"?
sono gli stessi libri!
Topics in algebra (ENG) è diventato ALGEBRA in ITALIANO.
C'è scritto nella prefazione
Topics in algebra (ENG) è diventato ALGEBRA in ITALIANO.
C'è scritto nella prefazione
Ah ok, grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo