Dimostrazione su gruppo
Salve a tutti
In una dispensa ho trovato il seguente esercizio:
sia $G$ un gruppo con $a,b in G$, provare che esiste uno ed un solo $x in G$ tale che $xa=b$
La soluzione proposta nella dispensa è la seguente:
$x=ba^-1$
$x'a=xa=b$
$a^-1*x'a=ba^-1=x$
Io, invece, penserei di procedere così:
Suppongo che esistano due elementi $x_1,x_2$ diversi fra loro, tali che $x_1*a=b$ $x_2*a=b$
eguaglio: $x_1*a=x_2*a$ quindi $x_1=x_2$, concludo che $x_1, x_2$ sono uguali e quindi esiste un solo numero che soddisfa la richiesta dell'esercizio.
Gradirei un vostro parere in quanto sto muovendo i primi passi nello studio dei gruppi.
Grazie e saluti
Giovanni C.
In una dispensa ho trovato il seguente esercizio:
sia $G$ un gruppo con $a,b in G$, provare che esiste uno ed un solo $x in G$ tale che $xa=b$
La soluzione proposta nella dispensa è la seguente:
$x=ba^-1$
$x'a=xa=b$
$a^-1*x'a=ba^-1=x$
Io, invece, penserei di procedere così:
Suppongo che esistano due elementi $x_1,x_2$ diversi fra loro, tali che $x_1*a=b$ $x_2*a=b$
eguaglio: $x_1*a=x_2*a$ quindi $x_1=x_2$, concludo che $x_1, x_2$ sono uguali e quindi esiste un solo numero che soddisfa la richiesta dell'esercizio.
Gradirei un vostro parere in quanto sto muovendo i primi passi nello studio dei gruppi.
Grazie e saluti
Giovanni C.
Risposte
Non vorrei dire una stupidaggine quindi cerca di seguirmi; tu ora hai dimostrato che se questo $x$ esiste, esso è unico (se ne esistono $2$, questi sono forzati a essere lo stesso elemento, in soldoni).
Ma non mi sembra tu abbia provato l'esistenza. Ora devi provare che ne esiste almeno uno (che, per le considerazioni che hai fatto prima, sarà unico).
Ma non mi sembra tu abbia provato l'esistenza. Ora devi provare che ne esiste almeno uno (che, per le considerazioni che hai fatto prima, sarà unico).
"gcappellotto":
concludo che $x_1, x_2$ sono uguali e quindi esiste un solo numero che soddisfa la richiesta dell'esercizio.
Vedi, qui secondo me c'è l'errore. Potresti solo dire "e quindi, se esiste un $x$ che mi fa questo lavoro, esso è unico".
Ti torna?
"gcappellotto":
eguaglio: $x_1*a=x_2*a$ quindi $x_1=x_2$
Un ultimo appunto. Stai facendo algebra astratta; ti è chiaro perché da $x_1*a=x_2*a$ puoi concludere $x_1 = x_2$ ?
"gcappellotto":
Salve a tutti
In una dispensa ho trovato il seguente esercizio:
sia $G$ un gruppo con $a,b in G$, provare che esiste uno ed un solo $x in G$ tale che $xa=b$
La soluzione proposta nella dispensa è la seguente:
$x=ba^-1$
$x'a=xa=b$
$a^-1*x'a=ba^-1=x$
Io, invece, penserei di procedere così:
Suppongo che esistano due elementi $x_1,x_2$ diversi fra loro, tali che $x_1*a=b$ $x_2*a=b$
eguaglio: $x_1*a=x_2*a$ quindi $x_1=x_2$, concludo che $x_1, x_2$ sono uguali e quindi esiste un solo numero che soddisfa la richiesta dell'esercizio.
Gradirei un vostro parere in quanto sto muovendo i primi passi nello studio dei gruppi.
Grazie e saluti
Giovanni C.
A me sembra che quella della dispensa e la tua siano eccessivi. Dopo questo ovvio passaggio $x = ba^{-1}$ hai l'espressione di $x$ come prodotto di un elemento di $G$ per l'inverso di un elemento di $G$. L'inverso è unico e anche il prodotto di due elementi di $G$ è un unico elemento (perché l'operazione è un funzione). Quindi direi che in pratica una volta nella forma $ba^{-1}$ tu hai tutto.
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