Dimostrazione per induzione

[winged_warrior]

Devo dimostrare per induzione che $ sum_(i = 0)^(n-1)2^i = 2^n-1 $ per $ n >= 1$

Il passo base per $n=1$ non è verificato perchè per $n=1$ $ 2^i=1$ mentre dovrebbe fare 3.. è giusto??

[dissonance]

E che c'entra con questa sezione?

[winged_warrior]

non sapevo dove postare

[Gi81]

Per dimostrare il passo base devi mostrare che quell'uguaglianza vale per $n=1$
Cioè devi mostrare che $ sum_(i = 0)^(0)2^i = 2^1-1 $
Quanto fa $sum_(i = 0)^(0)2^i$ ? Quanto fa $2^1-1$?

[winged_warrior]

il passo induttivo lo faccio così:

$sum_(i=0)^(n) 2^i = 2^(n+1) - 1$ che posso scrivere come $sum_(i=0)^(n-1) 2^1 + 2^n = 2^n + 1 + 2^n = 2^(n+1) - 1$ così è dimostrato??

[Seneca1]

Non mi è molto chiaro cosa hai fatto. Ti scrivo i passaggi che farei io.


Formula a cui devi arrivare $p(n+1)$ : $ sum_(i=0)^(n) 2^i = 2^(n+1) - 1$

Supponi vero che $p(n)$ : $ sum_(i=0)^(n-1) 2^i = 2^(n) - 1$

$ sum_(i=0)^(n) 2^i - 2^n = 2^(n) - 1$

Porti a secondo membro $2^n$:

$ sum_(i=0)^(n) 2^i = 2 * 2^(n) - 1$

$ sum_(i=0)^(n) 2^i = 2^(n+1) - 1$ che è proprio $p(n+1)$

[Gi81]

"winged_warrior":il passo induttivo lo faccio così:

$sum_(i=0)^(n) 2^i = 2^(n+1) - 1$ che posso scrivere come $sum_(i=0)^(n-1) 2^1 + 2^n = 2^n + 1 + 2^n = 2^(n+1) - 1$ così è dimostrato??

Secondo me volevi scrivere $sum_(i=0)^(n-1) 2^i + 2^n = 2^n - 1 + 2^n = 2^(n+1) - 1$

[winged_warrior]

"Gi8":[quote="winged_warrior"]il passo induttivo lo faccio così:

$sum_(i=0)^(n) 2^i = 2^(n+1) - 1$ che posso scrivere come $sum_(i=0)^(n-1) 2^1 + 2^n = 2^n + 1 + 2^n = 2^(n+1) - 1$ così è dimostrato??

Secondo me volevi scrivere $sum_(i=0)^(n-1) 2^i + 2^n = 2^n - 1 + 2^n = 2^(n+1) - 1$[/quote]

esattamente.. è giusto??