Operazioni tra insiemi

[gundamrx91-votailprof]

Per ogni $n in NN$ si ponga $nZZ := {nx : x in ZZ}
dati due interi positivi $n_1, n_2$ verificare che $n_1ZZ nn n_2ZZ = mZZ$ dove $m=mcm(n_1,n_2)$

Io avrei risolto in questo modo:

$(AAn in NN)(n_1ZZ nn n_2ZZ = mZZ) <=> EEy,z in ZZ : yn_1=x=zn_2 <=> x=m <=> x in mZZ$

E' corretto?

[j18eos]

Più che altro hai provato che [tex]$\exists h\in\mathbb{Z}\mid x=hm\in m\mathbb{Z}$[/tex], ovvero che [tex]$x$[/tex] è un multiplo comune di [tex]$n_1$[/tex] e di [tex]$n_2$[/tex].

[gundamrx91-votailprof]

e come posso dire allora che e' il minimo comune multiplo???

[j18eos]

In pratica hai dimostrato che [tex]$m_1\mathbb{Z}\cap n_2\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$[/tex].
Poiché [tex]$m$[/tex] è il minimo comune multiplo di [tex]$n_1$[/tex] e di [tex]$n_2$[/tex] allora [tex]$\exists h_1;h_2\in\mathbb{Z}\mid h_1n_1=m=h_2n_2$[/tex] da cui [tex]$m_1\mathbb{Z}\cap n_2\mathbb{Z}\supseteq m\mathbb{Z}$[/tex].

[gundamrx91-votailprof]

quindi l'intersezione di $n_1ZZ$ con $n_2ZZ$ e' un sottoinsieme improprio di $mZZ$ cioe' dell''insieme definito dal $mcm$ e non viceversa?

[gundamrx91-votailprof]

In un altro esercizio devo verificare che $aZZ + bZZ = dZZ$ dove $d=MCD(a,b)$

Supposto $a=4$ e $b=6$ il $MCD(4,6)=12$

$aZZ = 4ZZ = {..,4,8,12,16,20,24,28,32,36,...)$
$bZZ = 6ZZ = {..,6,12,18,24,30,36,42,48,54,..}$

mentre $12ZZ={..,12,24,36,48,60,..}$

ma se prendo $x in ZZ = 1$ e sommo quindi il primo elemento di $4ZZ$ con il primo elemento di $6ZZ$ ottengo $4+6=10$, mentre io mi sarei aspettato $12$, ma mi sembra evidente che stia sbagliando ragionamento, ma non capisco dove.....

[gundamrx91-votailprof]

intanto mi confondo sempre tra $MCD$ e $mcm$.... $MCD(4,6)=2$ e non $12$
quindi otterrei il seguente insieme:

$2ZZ={..,2,4,6,8,10,12,..)$

ma la questione permane.... pero' ho visto che esiste l'identita' di Bezout che mi viene in aiuto. Ora vedo se riesco a capirci qualcosa...

[gundamrx91-votailprof]

potrebbe essere corretto supporre che $x in aZZ + bZZ <=> EE y,z in ZZ => x=ya+zb <=> x in dZZ$ ???

[j18eos]

Riprendo da dove ti ho lasciato, leggi bene che l'esercizio l'hai concluso bene.

[gundamrx91-votailprof]

vuoi dire che la mia dimostrazione e' equivalente a quanto hai indicato?

[j18eos]

No, tu hai dimostrato che [tex]$n_1\mathbb{Z}\cap n_2\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$[/tex] ed io ti ho dimostrato che [tex]$n_1\mathbb{Z}\cap n_2\mathbb{Z}\supseteq m\mathbb{Z}$[/tex] sicché l'asserto.

[gundamrx91-votailprof]

ok, adesso ho capito. Grazie

[j18eos]

Prego, di nulla!