Relazione e coppia ordinata
Sia $A={1,2,3}$ e $B={-1,0,1,2,3}$ e sia $p(x,y)$ la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$. Se scelgo $x=1$ e $y=2$, la proposizione è verificata e dunque per definizione posso dire che $1$ è in relazione con $2$. Quello che non ho capito è perchè si scrive anche che la coppia ordinata $(1,2)$ soddisfa la relazione. Cosa c'entra la coppia ordinata? Grazie mille.
Risposte
Qual è la definizione di relazione?
Risposto a questa domanda, hai terminato.
Risposto a questa domanda, hai terminato.
lisdap, ricorda quello che ti ho detto qui. Per conto mio sarebbe stato utile da parte tua inserire lì questo esempio anziché aprire un nuovo argomento.
"gugo82":
Qual è la definizione di relazione?
Risposto a questa domanda, hai terminato.
Allora, dal momento che se prendo $x=1$ e $y=2$ la proposizione "uno è minore di due" è vera, allora, per definizione di relazione, posso dire che "uno" è in relazione con "due" giusto?
Ora fin qui va tutto bene. L'unica cosa che non ho capito è perchè la frase "uno è in relazione con due" si può riassumere semplicemente con $(1,2)$.
Ragionando, provo a rispondere:
Abbiamo detto che "uno" è in relazione con "due". Quindi potrei dire che l'insieme costituito dagli elementi "uno" e "due", cioè $C={1,2}$ soddisfa la proposizione. Tuttavia, siccome il concetto di ordine è estraneo agli elementi di un insieme, dire che l'insieme $C={1,2}$ soddisfa la proposizione data è errato, perchè $1$ potrebbe essere indifferentemente $x$ o $y$, così come $2$. Però, se introduco il concetto di coppia ordinata, la scrittura $(1,2)$ mi assicura che $1$ è la prima variabile della proposizione, cioè $x$, e $2$ è la seconda variabile, cioè $y$.
E' corretto? Grazie mille.
Purtroppo no.
"lisdap":Non puoi rispondere ragionando se non conosci la definizione di relazione. Ti ri-invito a leggere qui. Una relazione su [tex]A[/tex] è un sottoinsieme [tex]R[/tex] del prodotto cartesiano [tex]A \times A[/tex]. Di solito anziché dire "[tex](x,y) \in R[/tex]" si dice "[tex]x[/tex] è in relazione [tex]R[/tex] con [tex]y[/tex]". Tutto qui.
Ragionando, provo a rispondere
"Martino":Non puoi rispondere ragionando se non conosci la definizione di relazione. Ti ri-invito a leggere qui. Una relazione su [tex]A[/tex] è un sottoinsieme [tex]R[/tex] del prodotto cartesiano [tex]A \times A[/tex]. Di solito anziché dire "[tex](x,y) \in R[/tex]" si dice "[tex]x[/tex] è in relazione [tex]R[/tex] con [tex]y[/tex]". Tutto qui.[/quote]
Purtroppo no.[quote="lisdap"]Ragionando, provo a rispondere
Allora, i miei dubbi sono proprio sulla definizione.
Esempio:
Sono dati gli insiemi $A={3,8,9,15,16}$ e $B={2,6,7,8,14}$ e la proposizione aperta $p(x,y)$:"x è il successivo di y", con x che appartiene ad A e y a B.
Ora osservo che se sostituisco rispettivamente ad x e a y 3 e 2, ottengo che la proposizione "tre è maggiore di due" è vera, dunque posso dire che tre è in relazione con due. Quello che non mi è chiaro è perchè dire questo equivale a dire che la coppia ordinata $(3,2)$ rende vera la proposizione.
Posto la definizione di relazione che leggo dal mio libro:
"Dati due insiemi $A$ e $B$ e una proposizione aperta $p(x,y)$, con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ a $B$, diremo che l'elemento $x$ è in relazione con l'elemento $y$ se $p(x,y)$ risulta vera, CIOE' SE $(x,y)$ APPARTIENE ALL'INSIEME DI VERITA' DI $p(x,y)$.
Insomma, dalla definizione si deduce che "dire che gli elementi $x$ ed $y$ rendono vera la proposizione $p(x,y)$ oppure dire che la coppia ordinata $(x,y)$ rende vera la proposizione $p(x,y)$ è la stessa cosa". Perchè?
La relazione binaria [tex]\rho[/tex] si confonde spesso con (è) il seguente insieme:
[tex]R := \{(x,y) \in A \times B\ |\ x \rho y\}[/tex].
Questo [tex]R[/tex] è quello che il tuo libro chiama "insieme di verità di [tex]\rho[/tex]". Come vedi dire "[tex]x,y[/tex] sono in relazione [tex]\rho[/tex] se e solo se la coppia [tex](x,y)[/tex] appartiene all'insieme di verità di [tex]\rho[/tex]" è una tautologia. Cioè è una cosa completamente ovvia, non richiede dimostrazione. E con "ovvia" non intendo "facile", intendo "ovvia".
Pensaci, sono solo modi diversi di dire la stessa cosa. E non c'è nessuna dimostrazione in questo, solo definizioni. Solo definizioni. Solo notazioni.
Ciao.
[tex]R := \{(x,y) \in A \times B\ |\ x \rho y\}[/tex].
Questo [tex]R[/tex] è quello che il tuo libro chiama "insieme di verità di [tex]\rho[/tex]". Come vedi dire "[tex]x,y[/tex] sono in relazione [tex]\rho[/tex] se e solo se la coppia [tex](x,y)[/tex] appartiene all'insieme di verità di [tex]\rho[/tex]" è una tautologia. Cioè è una cosa completamente ovvia, non richiede dimostrazione. E con "ovvia" non intendo "facile", intendo "ovvia".
Pensaci, sono solo modi diversi di dire la stessa cosa. E non c'è nessuna dimostrazione in questo, solo definizioni. Solo definizioni. Solo notazioni.
Ciao.
"Martino":
"ovvia".
Pensaci, sono solo modi diversi di dire la stessa cosa. E non c'è nessuna dimostrazione in questo, solo definizioni. Solo definizioni. Solo notazioni.
Ciao.
Ciao. Certo, e io nel post $4$ ho cercato di dare una spiegazione a questo fatto, o sbaglio?
Ti ringrazio.
lisdap, non so se l'hai già letto, ma ti consiglio di dare un'occhiata a http://it.wikipedia.org/wiki/Coppia_(matematica), dove spiega il concetto di coppia ordinata. In fondo è tutto molto più semplice di quello che sembra 
Salve lisdap,
io direi che la coppia ordinata $(1,2)$ soddisfa la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", e quindi appartiene alla relazione.
Cordiali saluti
P.S.=Sai dirmi o definire "la relazione" e "la coppia ordinata"? Se si, potresti scriverle
"lisdap":
Sia $A={1,2,3}$ e $B={-1,0,1,2,3}$ e sia $p(x,y)$ la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$. Se scelgo $x=1$ e $y=2$, la proposizione è verificata e dunque per definizione posso dire che $1$ è in relazione con $2$. Quello che non ho capito è perchè si scrive anche che la coppia ordinata $(1,2)$ soddisfa la relazione. Cosa c'entra la coppia ordinata? Grazie mille.
io direi che la coppia ordinata $(1,2)$ soddisfa la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", e quindi appartiene alla relazione.
Cordiali saluti
P.S.=Sai dirmi o definire "la relazione" e "la coppia ordinata"? Se si, potresti scriverle
"gugo82":
Qual è la definizione di relazione?
Risposto a questa domanda, hai terminato.
Ok, ora dovrei aver capito.
In pratica, prendo un insieme $A$, un insieme $B$ ed una proposizione aperta $p(x,y)$, con $x$ appartenente ad $A$ ed $y$ a $B$. Faccio il prodotto cartesiano $AxB$, che per definizione mi restituirà un insieme di coppie ordinate tali che il primo elemento della coppia appartiene all'insieme $A$ ed il secondo all'insieme $B$ (questo per definizione di prodotto cartesiano $AxB$). Quindi vado a verificare quali coppie rendono vera la proposizione, considero tali coppie, e dico, per ogni coppia ordinata, che il primo elemento è in relazione con il secondo. E' corretto? Grazie mille.
Mi sembra tutto corretto.
Salve, allora, mi è rivenuto un dubbio.
Abbiamo gli insiemi $A={3,8,9}$ e $B={2,6,7}$ e la proposizione aperta $p(x,y)$:"x è il successivo di y, con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$.
Considero ora il prodotto cartesiano $AxB$ e prelevo da tale insieme la coppia ordinata $(3,2)$; tale coppia ordinata soddisfa la proposizione e quindi per definizione dico che $3$ è in relazione con $2$. Ora mi chiedevo: perchè nella definizione di relazione si considerano soltanto gli elementi di $AxB$ e non anche di $BxA$. Infatti, se consideriamo un elemento del prodotto cartesiano $BxA$, ad esempio la coppia ordinata $(2,3)$, dove il primo elemento appartiene a $B$ ed il secondo ad $A$, notiamo che comunque la proposizione è soddisfatta ugualmente. Dunque, perchè si prendono solo elementi del prodotto $AxB$ e non anche di $BxA$?
Abbiamo gli insiemi $A={3,8,9}$ e $B={2,6,7}$ e la proposizione aperta $p(x,y)$:"x è il successivo di y, con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$.
Considero ora il prodotto cartesiano $AxB$ e prelevo da tale insieme la coppia ordinata $(3,2)$; tale coppia ordinata soddisfa la proposizione e quindi per definizione dico che $3$ è in relazione con $2$. Ora mi chiedevo: perchè nella definizione di relazione si considerano soltanto gli elementi di $AxB$ e non anche di $BxA$. Infatti, se consideriamo un elemento del prodotto cartesiano $BxA$, ad esempio la coppia ordinata $(2,3)$, dove il primo elemento appartiene a $B$ ed il secondo ad $A$, notiamo che comunque la proposizione è soddisfatta ugualmente. Dunque, perchè si prendono solo elementi del prodotto $AxB$ e non anche di $BxA$?
Nel link che ti ho indicato qualche post fa c'è la risposta al tuo dubbio
"GundamRX91":
Nel link che ti ho indicato qualche post fa c'è la risposta al tuo dubbio
Se ho capito bene, si fa questa distinzione in quanto una relazione tra due elementi può esistere "in due sensi"?
Quindi, relativamente alle relazioni in un senso considero $AxB$ e viceversa?
Mi è sorto un altro dubbio. Consideriamo l'insieme $A={2,5,7,10}$ e la proposizione $p(x,y)$:"$x$ è divisibile per $y$", con $x$,$y$ che appartengono ad $A$. Faccio il prodotto cartesiano di $A$ con se stesso, ottenendo certe coppie ordinate. Considero a questo punto una di queste coppie, per esempio $(2,5)$. Siccome sia le variabili della proposizione che i componenti della coppia ordinata stanno in $A$, mi sorge spontaneo chiedermi come si verifica tale proposizione. Infatti, potrei sia dire che "2 è divisibile per 5", sia che "5 è divisibile per 2". Come si risolve questa ambiguità?
Mi spiego meglio. Se avevo due insiemi separati $A$ e $B$, la coppia ordinata era tale che il primo componente apparteneva ad $A$ ed il secondo a $B$ (se consideravo $AxB$), dunque la modalità con la quale potevo verificare la proposizione era una e una sola. Quando invece sto lavorando in un solo insieme, ci sono due modi per verificare la proposizione o sbaglio?
Mi spiego meglio. Se avevo due insiemi separati $A$ e $B$, la coppia ordinata era tale che il primo componente apparteneva ad $A$ ed il secondo a $B$ (se consideravo $AxB$), dunque la modalità con la quale potevo verificare la proposizione era una e una sola. Quando invece sto lavorando in un solo insieme, ci sono due modi per verificare la proposizione o sbaglio?
Il prodotto cartesiano di $A$ in se, cioè $A\timesA$ è un insieme di coppie ordinate definite da tutte le combinazioni, di classe $2$, che puoi fare con $4$ elementi, ok? Quindi avrai la coppia $(2,5)$, come la coppia $(5,2)$, oppure la coppia $(2,10)$ come la coppia $(10,2)$.
La tua proposizione dice che "$x$ è divisibile per $y$", con $x,y in A$, ok? Ora quali sono le coppie ordinate del prodotto cartesiano $A \times A$ che soddisfano la proposizione? Direi che è semplice, tutte quelle coppie in cui $y|x$, cioè $x$ è un multiplo di $y$ (è il concetto di divisibilità o relazione di divisibilità). Se la proposizione la chiamo $R$ avrò un sottoinsieme del prodotto cartesiano: $R sube A\timesA={(10,2),(10,5)}$, cioè la tua proposizione "genera" un sottoinsieme definito da due sole coppie ordinate, perchè sono le uniche che soddisfano la relazione; questo ti è chiaro? Quindi direi che non ci sono ambiguità nella cosa, o sbaglio?
Una coppia ordinata $(a,b)$ è tale nel momento che tu decidi che il primo elemento $a$ appartiene ad un insieme e il secondo elemento $b$ appartiene ad un altro insieme, ok, ma se l'insieme è lo stesso il concetto non cambia perchè tu stai premettendo che $a$ è sempre il primo elemento della coppia e $b$ il secondo; non so se sono stato chiaro....
Per quanto riguarda il dubbio precedente devi sempre considerare la proposizione che ti viene posta, perchè se inverti il prodotto cartesiano allora devi "invertire" la proposizione e in quel caso non è detto che ottieni lo stesso risultato, anzi è facile che ottiene l'opposto.
La tua proposizione dice che "$x$ è divisibile per $y$", con $x,y in A$, ok? Ora quali sono le coppie ordinate del prodotto cartesiano $A \times A$ che soddisfano la proposizione? Direi che è semplice, tutte quelle coppie in cui $y|x$, cioè $x$ è un multiplo di $y$ (è il concetto di divisibilità o relazione di divisibilità). Se la proposizione la chiamo $R$ avrò un sottoinsieme del prodotto cartesiano: $R sube A\timesA={(10,2),(10,5)}$, cioè la tua proposizione "genera" un sottoinsieme definito da due sole coppie ordinate, perchè sono le uniche che soddisfano la relazione; questo ti è chiaro? Quindi direi che non ci sono ambiguità nella cosa, o sbaglio?
Una coppia ordinata $(a,b)$ è tale nel momento che tu decidi che il primo elemento $a$ appartiene ad un insieme e il secondo elemento $b$ appartiene ad un altro insieme, ok, ma se l'insieme è lo stesso il concetto non cambia perchè tu stai premettendo che $a$ è sempre il primo elemento della coppia e $b$ il secondo; non so se sono stato chiaro....
Per quanto riguarda il dubbio precedente devi sempre considerare la proposizione che ti viene posta, perchè se inverti il prodotto cartesiano allora devi "invertire" la proposizione e in quel caso non è detto che ottieni lo stesso risultato, anzi è facile che ottiene l'opposto.
"GundamRX91":Appunto. Lisdap, il concetto di "coppia ordinata" viene introdotto appunto per poter distinguere il "primo" elemento dal "secondo".
Una coppia ordinata $(a,b)$ è tale nel momento che tu decidi che il primo elemento $a$ appartiene ad un insieme e il secondo elemento $b$ appartiene ad un altro insieme, ok, ma se l'insieme è lo stesso il concetto non cambia perchè tu stai premettendo che $a$ è sempre il primo elemento della coppia e $b$ il secondo
"GundamRX91":
Il prodotto cartesiano di $A$ in se, cioè $A\timesA$ è un insieme di coppie ordinate definite da tutte le combinazioni, di classe $2$, che puoi fare con $4$ elementi, ok? Quindi avrai la coppia $(2,5)$, come la coppia $(5,2)$, oppure la coppia $(2,10)$ come la coppia $(10,2)$.
La tua proposizione dice che "$x$ è divisibile per $y$", con $x,y in A$, ok? Ora quali sono le coppie ordinate del prodotto cartesiano $A \times A$ che soddisfano la proposizione? Direi che è semplice, tutte quelle coppie in cui $y|x$, cioè $x$ è un multiplo di $y$ (è il concetto di divisibilità o relazione di divisibilità). Se la proposizione la chiamo $R$ avrò un sottoinsieme del prodotto cartesiano: $R sube A\timesA={(10,2),(10,5)}$, cioè la tua proposizione "genera" un sottoinsieme definito da due sole coppie ordinate, perchè sono le uniche che soddisfano la relazione; questo ti è chiaro? Quindi direi che non ci sono ambiguità nella cosa, o sbaglio?
Una coppia ordinata $(a,b)$ è tale nel momento che tu decidi che il primo elemento $a$ appartiene ad un insieme e il secondo elemento $b$ appartiene ad un altro insieme, ok, ma se l'insieme è lo stesso il concetto non cambia perchè tu stai premettendo che $a$ è sempre il primo elemento della coppia e $b$ il secondo; non so se sono stato chiaro....
Per quanto riguarda il dubbio precedente devi sempre considerare la proposizione che ti viene posta, perchè se inverti il prodotto cartesiano allora devi "invertire" la proposizione e in quel caso non è detto che ottieni lo stesso risultato, anzi è facile che ottiene l'opposto.
Umm, innanzitutto ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando. Provo a ricapitolare.
Abbiamo due insiemi, un insieme $A$ e un insieme $B$ ed una proposizione $p(x,y)$, con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ a $B$. A questo punto faccio il prodotto cartesiano $AxB$, ottenendo un insieme di coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene ad $A$ ed il secondo a $B$; di conseguenza, per verificare che una coppia rende vera la proposizione, sostituisco alla $x$ il primo elemento della coppia ed alla $y$ il secondo elemento. Inoltre osservo che, se considerassi il prodotto cartesiano $BxA$, cioè l'insieme di coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene a $B$ ed il secondo ad $A$, otterrei sempre la stessa cosa perchè, anche se stavolta il primo elemento della coppia appartiene a $B$, esso andrà sempre sostituito ad $y$. Quindi, nel caso in cui abbiamo una relazione definita su due insiemi separati, è ovvio che se la coppia $(a,b)$ soddisfa la proposizione, anche $(b,a)$ la soddisferà, per quanto detto prima. Dunque considerare anche il prodotto cartesiano $BxA$ non mi aggiunge nulla di nuovo giusto?
Questo dovrebbe aver risolto il mio primo dubbio, ora passiamo al secondo.
Abbiamo un insieme $A$ e una proposizione $p(x,y)$ con $x$, $y$ appartenenti ad $A$. Il prodotto cartesiano $A^2$ mi restituisce un insieme costituito da coppie ordinate con primo e secondo componente appartenenti ad $A$. Il problema che mi sono posto era che, se per esempio prendevo un elemento a caso di $A^2$, tipo $(2,3)$, $2$ lo potevo sostituire indifferentemente a $x$ o a $y$ e la stessa cosa con $3$, essendo tutti questi elementi contenuti nello stesso insieme. Però, da quello che tu mi hai detto, devo sempre procedere secondo la definizione, e dunque il primo elemento della coppia lo sostituirò alla $x$ ed il secondo alla $y$, così come avrei fatto se avessi avuto due insiemi $A$ e $B$ e una $p(x,y)$, con $x$ in $A$ ed $y$ in $B$. E' corretto?
Detto questo, mi chiedo: se avessi avuto due insiemi $A$ e $B$ e una $p(x,y)$, con $x$ in $A$ ed $y$ in $B$, parlare di relazione simmetrica sarebbe stato del tutto inutile, dal momento che è evidente che se la coppia $(a,b)$ rende vera la proposizione, anche quella simmetrica $(b,a)$ lo farà, giusto?
Ti ringrazio
"Martino":Appunto. Lisdap, il concetto di "coppia ordinata" viene introdotto appunto per poter distinguere il "primo" elemento dal "secondo".[/quote]
[quote="GundamRX91"]Una coppia ordinata $(a,b)$ è tale nel momento che tu decidi che il primo elemento $a$ appartiene ad un insieme e il secondo elemento $b$ appartiene ad un altro insieme, ok, ma se l'insieme è lo stesso il concetto non cambia perchè tu stai premettendo che $a$ è sempre il primo elemento della coppia e $b$ il secondo
Una coppia ordinata è un insieme vero?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo