$Im(f)= O/ -> f$ è iniettiva?
Salve a tutti,
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
"garnak.olegovitc":
Salve a tutti,
mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo...
Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto?
Prima di chiedermi se sia o meno iniettiva, mi chiedo se sia o meno una funzione...
Anche io penso che non sia una funzione...
Garnak, ma non è ridondante dire che $X$ è il dominio e $Y$ il codominio nel momento che usi la notazione $f: X -> Y$ ?
Garnak, ma non è ridondante dire che $X$ è il dominio e $Y$ il codominio nel momento che usi la notazione $f: X -> Y$ ?
E' una funzione sse [tex]X = \emptyset[/tex]. In tal caso è iniettiva. Comunque ci sono ragioni più profonde per questa iniettività che non coincidono con la definizione di iniettività.
Salve retrocomputer,
e bhè si , però da quello che si legger qui non esistono le funzione del tipo $f:X->O/$ se $X!=O/$, ma nel mio caso ciò che è vuoto è l'immagine e non il codominio... mhò, vediamo se riusciamo a trovare qualcos'altro...
Cordiali saluti
"retrocomputer":
Prima di chiedermi se sia o meno iniettiva, mi chiedo se sia o meno una funzione...
e bhè si
, però da quello che si legger qui non esistono le funzione del tipo $f:X->O/$ se $X!=O/$, ma nel mio caso ciò che è vuoto è l'immagine e non il codominio... mhò, vediamo se riusciamo a trovare qualcos'altro...Cordiali saluti
Non cambia niente, Garnak.
Ti consiglio di andare a studiare il teorema di decomposizione canonica delle funzioni... Ogni funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] si decompone unicamente come [tex]f = i \circ \widetilde{f} \circ p[/tex] dove [tex]i[/tex] è iniettiva, [tex]\widetilde{f}[/tex] è biunivoca e [tex]p[/tex] è suriettiva.
Se ci rifletti, questo teorema annienta la tua controargomentazione: se la tua cosa fosse una funzione, indurrebbe una funzione [tex]X \to \emptyset[/tex], assurdo se [tex]X \ne \emptyset[/tex].
Ecco questo è uno dei teoremi più importanti della teoria degli insiemi di base, a mio avviso. Insieme al Cantor-Bernstein.
Ti consiglio di andare a studiare il teorema di decomposizione canonica delle funzioni... Ogni funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] si decompone unicamente come [tex]f = i \circ \widetilde{f} \circ p[/tex] dove [tex]i[/tex] è iniettiva, [tex]\widetilde{f}[/tex] è biunivoca e [tex]p[/tex] è suriettiva.
Se ci rifletti, questo teorema annienta la tua controargomentazione: se la tua cosa fosse una funzione, indurrebbe una funzione [tex]X \to \emptyset[/tex], assurdo se [tex]X \ne \emptyset[/tex].
Ecco questo è uno dei teoremi più importanti della teoria degli insiemi di base, a mio avviso. Insieme al Cantor-Bernstein.
Salve GundamRX91,
non capisco perchè deve essere ridondante, in questo caso il dominio è $X$ ed il codominio è $Y$, mentre l'immagine di $f$ è un sottoinsieme di $Y$ tale....
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Anche io penso che non sia una funzione...
Garnak, ma non è ridondante dire che $X$ è il dominio e $Y$ il codominio nel momento che usi la notazione $f: X -> Y$ ?
non capisco perchè deve essere ridondante, in questo caso il dominio è $X$ ed il codominio è $Y$, mentre l'immagine di $f$ è un sottoinsieme di $Y$ tale....
Cordiali saluti
Mi associo a GundamRX91. E' ridondante, perché quando scrivi [tex]f \colon X \to Y[/tex] non stai intendendo che l'immagine di [tex]f[/tex] è [tex]Y[/tex], ma piuttosto che il suo codominio è [tex]Y[/tex]. Quindi è ridondante specificarlo di nuovo.
Salve maurer,
mai sentito parlare di questo teorema... ma è per caso questo?
Cordiali saluti
"maurer":
Non cambia niente, Garnak.
Ti consiglio di andare a studiare il teorema di decomposizione canonica delle funzioni... Ogni funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] si decompone unicamente come [tex]f = i \circ \widetilde{f} \circ p[/tex] dove [tex]i[/tex] è iniettiva, [tex]\widetilde{f}[/tex] è biunivoca e [tex]p[/tex] è suriettiva.
Se ci rifletti, questo teorema annienta la tua controargomentazione: se la tua cosa fosse una funzione, indurrebbe una funzione [tex]X \to \emptyset[/tex], assurdo se [tex]X \ne \emptyset[/tex].
Ecco questo è uno dei teoremi più importanti della teoria degli insiemi di base, a mio avviso. Insieme al Cantor-Bernstein.
mai sentito parlare di questo teorema... ma è per caso questo?
Cordiali saluti
Sì è quello. Ma lo si può dire in una maniera un po' più sensata, usando il linguaggio categoriale... E' semplicemente una proprietà universale! 
Ah! Eccolo, il teorema di decomposizione delle applicazioni io lo conosco anche come primo teorema di isomorfismo.
Salve maurer e GundamRX91,
tale ridondanza però è usata in molti testi. Il Pagani - Salsa, per esempio, mi ricordo che data una funzione $f:X->Y$ chiamava $X$ e $Y$, rispettivamente, dominio e codominio di $f$. Sò che vi sono molto controversie in merito, lo stesso testo, dice infatti che molti intendono per codominio l'immagine di $f$, ma lui preferisce distinguerli, ed è quello che faccio io.
Cordiali saluti
"maurer":
Mi associo a GundamRX91. E' ridondante, perché quando scrivi [tex]f \colon X \to Y[/tex] non stai intendendo che l'immagine di [tex]f[/tex] è [tex]Y[/tex], ma piuttosto che il suo codominio è [tex]Y[/tex]. Quindi è ridondante specificarlo di nuovo.
tale ridondanza però è usata in molti testi. Il Pagani - Salsa, per esempio, mi ricordo che data una funzione $f:X->Y$ chiamava $X$ e $Y$, rispettivamente, dominio e codominio di $f$. Sò che vi sono molto controversie in merito, lo stesso testo, dice infatti che molti intendono per codominio l'immagine di $f$, ma lui preferisce distinguerli, ed è quello che faccio io.
Cordiali saluti
Salve maurer,
penso che mi asterrò dal linguaggio categoriale, grazie lo stesso....
Cordiali saluti
"maurer":
Sì è quello. Ma lo si può dire in una maniera un po' più sensata, usando il linguaggio categoriale... E' semplicemente una proprietà universale!
penso che mi asterrò dal linguaggio categoriale, grazie lo stesso....
Cordiali saluti
No, allora, non ha senso chiamare codominio l'immagine di una funzione, è troppo controtendenza e, personalmente, non ho mai incontrato nessun testo che adotti questa bizzarra nomenclatura.
Quello che dicevamo è: pressoché tutta la comunità matematica usa dominio e codominio per indicare l'insieme di partenza e quello di arrivo. Quindi in una stessa frase è un po' superfluo dire "[tex]f \colon X \to Y[/tex], con [tex]X[/tex] dominio di [tex]f[/tex] e [tex]Y[/tex] codominio di [tex]f[/tex]".
E' come se ti dicessi: "considera [tex]f(x) = x^2[/tex] dove [tex]x^2[/tex] sta per [tex]x \cdot x[/tex]". Capisci che è di troppo?
penso che mi asterrò dal linguaggio categoriale, grazie lo stesso....
Cordiali saluti[/quote]
Peccato, non sai cosa ti perdi!
Quello che dicevamo è: pressoché tutta la comunità matematica usa dominio e codominio per indicare l'insieme di partenza e quello di arrivo. Quindi in una stessa frase è un po' superfluo dire "[tex]f \colon X \to Y[/tex], con [tex]X[/tex] dominio di [tex]f[/tex] e [tex]Y[/tex] codominio di [tex]f[/tex]".
E' come se ti dicessi: "considera [tex]f(x) = x^2[/tex] dove [tex]x^2[/tex] sta per [tex]x \cdot x[/tex]". Capisci che è di troppo?
"garnak.olegovitc":
Salve maurer,
[quote="maurer"]Sì è quello. Ma lo si può dire in una maniera un po' più sensata, usando il linguaggio categoriale... E' semplicemente una proprietà universale!
penso che mi asterrò dal linguaggio categoriale, grazie lo stesso....
Cordiali saluti[/quote]
Peccato, non sai cosa ti perdi!
"garnak.olegovitc":
Salve maurer e GundamRX91,
[quote="maurer"]Mi associo a GundamRX91. E' ridondante, perché quando scrivi [tex]f \colon X \to Y[/tex] non stai intendendo che l'immagine di [tex]f[/tex] è [tex]Y[/tex], ma piuttosto che il suo codominio è [tex]Y[/tex]. Quindi è ridondante specificarlo di nuovo.
tale ridondanza però è usata in molti testi. Il Pagani - Salsa, per esempio, mi ricordo che data una funzione $f:X->Y$ chiamava $X$ e $Y$, rispettivamente, dominio e codominio di $f$. Sò che vi sono molto controversie in merito, lo stesso testo, dice infatti che molti intendono per codominio l'immagine di $f$, ma lui preferisce distinguerli, ed è quello che faccio io.
Cordiali saluti[/quote]
Si, ma probabilmente viene specificato giusto per far capire la notazione, anche perchè nel momento che scrivi $f:X -> Y$ è implicito nella scrittura stessa che $X$ sia il dominio della funzione e $Y$ il codominio (che può essere diverso dall'insieme delle immagini).
Edit: scusa maurer ho postato senza aver visto prima la tua risposta
Salve maurer,
ahaaa, ma io l'avevo scritto solamente per fare capire che non intendevo codomio come l'insieme immagine di $f$... su questo non ci piove, infatti il messaggio lo avevo modificato perchè avevo il rischio di essere frainteso e quindi vi ho aggiunto tale, ammetto, "ridondanza".. quoto pienamente.
Cordiali saluti
P.S.= idem per GundamRX91
"maurer":
No, allora, non ha senso chiamare codominio l'immagine di una funzione, è troppo controtendenza e, personalmente, non ho mai incontrato nessun testo che adotti questa bizzarra nomenclatura.
Quello che dicevamo è: pressoché tutta la comunità matematica usa dominio e codominio per indicare l'insieme di partenza e quello di arrivo. Quindi in una stessa frase è un po' superfluo dire "[tex]f \colon X \to Y[/tex], con [tex]X[/tex] dominio di [tex]f[/tex] e [tex]Y[/tex] codominio di [tex]f[/tex]".
E' come se ti dicessi: "considera [tex]f(x) = x^2[/tex] dove [tex]x^2[/tex] sta per [tex]x \cdot x[/tex]". Capisci che è di troppo?
ahaaa, ma io l'avevo scritto solamente per fare capire che non intendevo codomio come l'insieme immagine di $f$... su questo non ci piove, infatti il messaggio lo avevo modificato perchè avevo il rischio di essere frainteso e quindi vi ho aggiunto tale, ammetto, "ridondanza".. quoto pienamente.
Cordiali saluti
P.S.= idem per GundamRX91
Salve maurer,
per il momento, tanto per non deludere le aspettative ...
Cordiali saluti
"maurer":
Peccato, non sai cosa ti perdi!
per il momento, tanto per non deludere le aspettative
...Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve maurer,
[quote="maurer"]
Peccato, non sai cosa ti perdi!
per il momento, tanto per non deludere le aspettative
...Cordiali saluti[/quote]
Garnak io non ho tempo e sto ancora studiando Algebra 1, altrimenti una sbirciata gliela darei
Salve,
mi avete incuriosito, vorrei proprio vedere come è scritto nel linguaggio categoriale..
Cordiali saluti
mi avete incuriosito, vorrei proprio vedere come è scritto nel linguaggio categoriale..
Cordiali saluti
Allora, qui ho scritto tutto in dettaglio. In particolare ho chiarito cosa si intende per freccia universale, ho dimostrato che una freccia universale è sempre unica a meno di isomorfismo ecc. C'è anche, di fatto, l'esempio che interessa a te (è l'esempio 1).
In generale, se [tex]\sim[/tex] è una relazione di equivalenza su un insieme [tex]X[/tex] tu puoi considerare l'insieme quoziente [tex]X / \sim[/tex]. La coppia [tex](X/\sim,p)[/tex], dove [tex]p \colon X \to X/\sim[/tex] è la proiezione canonica nel quoziente soddisfa ad una proprietà universale: se [tex]Z[/tex] è un insieme qualsiasi e [tex]g \colon X \to Z[/tex] ha la proprietà [tex]a \sim b \Rightarrow g(a) = g(b)[/tex] allora esisterà un'unica mappa [tex]\overline{g} \colon X / \sim \to Z[/tex] tale che [tex]\overline{g} \circ p = g[/tex]. In diagramma:
[tex]\xymatrix{ X \ar[dr]^g \ar[d]^p \\ X / \sim \ar@{.>}[r]^{\overline{g}} & Z }[/tex]
Ti invito a controllare esistenza e unicità di questa mappa.
Ora, se tu consideri una funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] puoi introdurre una relazione di equivalenza [tex]\sim_f[/tex] su [tex]X[/tex] ponendo [tex]a \sim_f b \iff f(a) = f(b)[/tex]. Ti invito a controllare che sia un'equivalenza. Il discorso precedente si applica in questo caso e, proprio per definizione la mappa [tex]f[/tex] soddisfa la condizione che fa scattare la proprietà universale. Quindi esiste un'unica mappa [tex]\overline{f} \colon X / \sim_f \to Y[/tex] tale che [tex]\overline{f} \circ p = f[/tex]. Siccome [tex]p[/tex] è suriettiva, [tex]\text{Im}(f) = \text{Im}(\overline{f})[/tex].
Inoltre, un controllo diretto mostra che in questo caso [tex]\overline{f}[/tex] è iniettiva. Allora possiamo fattorizzare ulteriormente [tex]\overline{f}[/tex] nella forma [tex]i \circ \widetilde{f}[/tex], dove [tex]i \colon \text{Im}(f) \to Y[/tex] è l'inclusione canonica e [tex]\widetilde{f} \colon X / \sim_f \to \text{Im}(f)[/tex] è definita da [tex]\widetilde{f}([x]) = \overline{f}([x]) \in \text{Im}(f) \subset Y[/tex] (questa sarebbe un'altra proprietà universale, la proprietà universale dei sottoinsiemi).
In generale, se [tex]\sim[/tex] è una relazione di equivalenza su un insieme [tex]X[/tex] tu puoi considerare l'insieme quoziente [tex]X / \sim[/tex]. La coppia [tex](X/\sim,p)[/tex], dove [tex]p \colon X \to X/\sim[/tex] è la proiezione canonica nel quoziente soddisfa ad una proprietà universale: se [tex]Z[/tex] è un insieme qualsiasi e [tex]g \colon X \to Z[/tex] ha la proprietà [tex]a \sim b \Rightarrow g(a) = g(b)[/tex] allora esisterà un'unica mappa [tex]\overline{g} \colon X / \sim \to Z[/tex] tale che [tex]\overline{g} \circ p = g[/tex]. In diagramma:
[tex]\xymatrix{ X \ar[dr]^g \ar[d]^p \\ X / \sim \ar@{.>}[r]^{\overline{g}} & Z }[/tex]
Ti invito a controllare esistenza e unicità di questa mappa.
Ora, se tu consideri una funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] puoi introdurre una relazione di equivalenza [tex]\sim_f[/tex] su [tex]X[/tex] ponendo [tex]a \sim_f b \iff f(a) = f(b)[/tex]. Ti invito a controllare che sia un'equivalenza. Il discorso precedente si applica in questo caso e, proprio per definizione la mappa [tex]f[/tex] soddisfa la condizione che fa scattare la proprietà universale. Quindi esiste un'unica mappa [tex]\overline{f} \colon X / \sim_f \to Y[/tex] tale che [tex]\overline{f} \circ p = f[/tex]. Siccome [tex]p[/tex] è suriettiva, [tex]\text{Im}(f) = \text{Im}(\overline{f})[/tex].
Inoltre, un controllo diretto mostra che in questo caso [tex]\overline{f}[/tex] è iniettiva. Allora possiamo fattorizzare ulteriormente [tex]\overline{f}[/tex] nella forma [tex]i \circ \widetilde{f}[/tex], dove [tex]i \colon \text{Im}(f) \to Y[/tex] è l'inclusione canonica e [tex]\widetilde{f} \colon X / \sim_f \to \text{Im}(f)[/tex] è definita da [tex]\widetilde{f}([x]) = \overline{f}([x]) \in \text{Im}(f) \subset Y[/tex] (questa sarebbe un'altra proprietà universale, la proprietà universale dei sottoinsiemi).
"maurer":
Allora, qui ho scritto tutto in dettaglio. In particolare ho chiarito cosa si intende per freccia universale, ho dimostrato che una freccia universale è sempre unica a meno di isomorfismo ecc. C'è anche, di fatto, l'esempio che interessa a te (è l'esempio 1).
In generale, se [tex]\sim[/tex] è una relazione di equivalenza su un insieme [tex]X[/tex] tu puoi considerare l'insieme quoziente [tex]X / \sim[/tex]. La coppia [tex](X/\sim,p)[/tex], dove [tex]p \colon X \to X/\sim[/tex] è la proiezione canonica nel quoziente soddisfa ad una proprietà universale: se [tex]Z[/tex] è un insieme qualsiasi e [tex]g \colon X \to Z[/tex] ha la proprietà [tex]a \sim b \Rightarrow g(a) = g(b)[/tex] allora esisterà un'unica mappa [tex]\overline{g} \colon X / \sim \to Z[/tex] tale che [tex]\overline{g} \circ p = g[/tex]. In diagramma:
[tex]\xymatrix{ X \ar[dr]^g \ar[d]^p \\ X / \sim \ar@{.>}[r]^{\overline{g}} & Z }[/tex]
Ti invito a controllare esistenza e unicità di questa mappa.
Ora, se tu consideri una funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] puoi introdurre una relazione di equivalenza [tex]\sim_f[/tex] su [tex]X[/tex] ponendo [tex]a \sim_f b \iff f(a) = f(b)[/tex]. Ti invito a controllare che sia un'equivalenza. Il discorso precedente si applica in questo caso e, proprio per definizione la mappa [tex]f[/tex] soddisfa la condizione che fa scattare la proprietà universale. Quindi esiste un'unica mappa [tex]\overline{f} \colon X / \sim_f \to Y[/tex] tale che [tex]\overline{f} \circ p = f[/tex]. Siccome [tex]p[/tex] è suriettiva, [tex]\text{Im}(f) = \text{Im}(\overline{f})[/tex].
Inoltre, un controllo diretto mostra che in questo caso [tex]\overline{f}[/tex] è iniettiva. Allora possiamo fattorizzare ulteriormente [tex]\overline{f}[/tex] nella forma [tex]i \circ \widetilde{f}[/tex], dove [tex]i \colon \text{Im}(f) \to Y[/tex] è l'inclusione canonica e [tex]\widetilde{f} \colon X / \sim_f \to \text{Im}(f)[/tex] è definita da [tex]\widetilde{f}([x]) = \overline{f}([x]) \in \text{Im}(f) \subset Y[/tex] (questa sarebbe un'altra proprietà universale, la proprietà universale dei sottoinsiemi).
visto che non possiamo vederci, ecco le mie rezioni più o meno sono queste:
Cordiali saluti
P.S.=Comunque è molto interessante, se avrò un pò di tempo comincerò a studiare qualcosa.
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