Aritmetica di Peano e correttezza semantica: paradosso?

[mariofranco53]

Buon giorno a tutti.

Aggiungiamo ad un sistema matematico S per cui valgano i teoremi di Goedel (ad es. l'Aritmetica di Peano) l'assioma "S è corretto" (per "corretto" qui intendo "semanticamente corretto", cioè che dimostra solo verità). Apparentemente, il sistema così ottenuto può dimostrare la propria correttezza (in quanto aggiungendo ad un sistema corretto un assioma vero si ha un sistema corretto) e quindi la propria coerenza. Ma un sistema per cui valgano i teoremi di Goedel, se può dimostrare la propria coerenza, è incoerente.

Se il sistema ottenuto aggiungendo ad S l'assioma "S è corretto" fosse incoerente, vorrebbe dire che S non è corretto.

Dov'è l'errore in questo ragionamento?

Qualora, per qualche motivo, non si possa usare l'assioma "S è corretto", si potrebbe usare al suo posto "S è omega-coerente"? Cosa accadrebbe in tal caso?

Grazie. Cordiali saluti.

Mario Franco Carbone

[Studente Anonimo]

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