[Esercizio] funzioni suriettive
Se $p: X -> (X/R)$ e $q: Y -> (Y/R^{\prime})$ sono proiezioni canoniche su insiemi quoziente, dimostrare che $p times q: X times Y -> (X/R) times (Y/R^{\prime})$ è una suriezione.
$p$ e $q$, per definizione di proiezione canonica su insiemi quozienti, sono suriettive e sono definite rispettivamente come $AAx in X, x |-> [x]$ e $AAy in Y, y |-> [y]$. Per ipotesi abbiamo $p times q: X times Y -> (X/R) times (Y/R^{\prime})$ che è suriettiva se e solo se ammette inversa destra, ovvero esiste una funzione $q times p: (X/R) times (Y/R^{\prime}) -> X times Y$ tale che $p times q circ q times q = 1_((X/R) times (Y/R^{\prime}))$.
Allora posto che $AA(x,y) in X times Y, (x,y) |-> ([x],[y])$ e $AA([x],[y]) |-> (x,y)$ si ha che:
$(p times q circ q times q)(([x];[y]))=p times q(q times p(([x];[y])))=p times q((x,y))=([x];[y])=1_((X/R) times (Y/R^{\prime}))$
PS. ho usato $;$ come separatore degli elementi delle coppie ordinate.
PSS. non sono per niente convinto della soluzione, ma non riesco a capire perchè....
$p$ e $q$, per definizione di proiezione canonica su insiemi quozienti, sono suriettive e sono definite rispettivamente come $AAx in X, x |-> [x]$ e $AAy in Y, y |-> [y]$. Per ipotesi abbiamo $p times q: X times Y -> (X/R) times (Y/R^{\prime})$ che è suriettiva se e solo se ammette inversa destra, ovvero esiste una funzione $q times p: (X/R) times (Y/R^{\prime}) -> X times Y$ tale che $p times q circ q times q = 1_((X/R) times (Y/R^{\prime}))$.
Allora posto che $AA(x,y) in X times Y, (x,y) |-> ([x],[y])$ e $AA([x],[y]) |-> (x,y)$ si ha che:
$(p times q circ q times q)(([x];[y]))=p times q(q times p(([x];[y])))=p times q((x,y))=([x];[y])=1_((X/R) times (Y/R^{\prime}))$
PS. ho usato $;$ come separatore degli elementi delle coppie ordinate.
PSS. non sono per niente convinto della soluzione, ma non riesco a capire perchè....
Risposte
Beh, in realtà è molto più semplice... si può fare a mano: più in generale, se [tex]p \colon A \to C[/tex], [tex]q \colon B \to D[/tex] sono funzioni suriettive, [tex]p \times q \colon A \times B \to C \times D[/tex], [tex](p \times q)(a,b) = (p(a),q(b))[/tex] è suriettiva. Infatti, prendi [tex](c,d) \in C \times D[/tex]. Esiste allora [tex]a \in A[/tex] con [tex]p(a) = c[/tex] ed esiste [tex]b \in B[/tex] con [tex]q(b) = d[/tex], sicché [tex](p \times q)(a,b) = (c,d)[/tex].
E' interessante notare che questa proprietà non è caratteristica degli epi in una categoria qualsiasi (il prodotto di epi non è epi, in generale; il problema è che le aggiunzioni giuste sono nel posto sbagliato). Invece il prodotto di split epi è split epi. Sarebbe interessante interrogarsi sulle variazioni intermedie...
E' interessante notare che questa proprietà non è caratteristica degli epi in una categoria qualsiasi (il prodotto di epi non è epi, in generale; il problema è che le aggiunzioni giuste sono nel posto sbagliato). Invece il prodotto di split epi è split epi. Sarebbe interessante interrogarsi sulle variazioni intermedie...
Quindi allora mi confermi che la soluzione va bene?
Si vede che la teoria delle categorie ti ha proprio preso, eh!!!!
Si vede che la teoria delle categorie ti ha proprio preso, eh!!!!
Ad essere sincero non l'avevo letta perché la facevi troppo lunga: non serve esibire un'inversa destra.
Comunque l'ho letta adesso e fai un po' tanto casino con le notazioni. Perché l'inversa destra la denoti [tex]q \times p[/tex] (che nel seguito diventa addirittura [tex]q \times q[/tex])? Queste notazioni sono riservate, hanno già un loro significato e non dovresti sovrascriverlo.
Comunque l'ho letta adesso e fai un po' tanto casino con le notazioni. Perché l'inversa destra la denoti [tex]q \times p[/tex] (che nel seguito diventa addirittura [tex]q \times q[/tex])? Queste notazioni sono riservate, hanno già un loro significato e non dovresti sovrascriverlo.
$q times q$ è un errore di battitura, per il resto ho cercato di applicare le definizioni che conosco, ma ho anche premesso che non ero molto convinto...
Ti costruisco una sezione di [tex]p \times q[/tex]: tieni presente che come l'hai scritto tu adesso è sbagliato. Tra le altre cose, non capisco perché introduci "vettori colonna"...
Allora, usiamo l'assioma della scelta per definire [tex]f \colon X / R \to X[/tex], [tex]g \colon Y/R' \to X[/tex] in modo che [tex]f([x]) \in [x][/tex], [tex]g([y]) \in [y][/tex] (ti è chiaro questo punto? Senza assioma della scelta non te ne asciughi gli occhi).
Allora osserviamo che [tex]p(f([x])) = [x][/tex] e [tex]q(g([y])) = [y][/tex] (è soltanto la definizione, non c'è molto altro da dire). Ora, [tex]f \times g \colon (X / R) \times (Y / R') \to X \times Y[/tex] ed abbiamo [tex](p \times q) \circ (f \times g)([x],[y]) = (p \times q)(f[x],g[y]) = (p(f([x])), q(g([y]))) = ([x],[y])[/tex].
Allora, usiamo l'assioma della scelta per definire [tex]f \colon X / R \to X[/tex], [tex]g \colon Y/R' \to X[/tex] in modo che [tex]f([x]) \in [x][/tex], [tex]g([y]) \in [y][/tex] (ti è chiaro questo punto? Senza assioma della scelta non te ne asciughi gli occhi).
Allora osserviamo che [tex]p(f([x])) = [x][/tex] e [tex]q(g([y])) = [y][/tex] (è soltanto la definizione, non c'è molto altro da dire). Ora, [tex]f \times g \colon (X / R) \times (Y / R') \to X \times Y[/tex] ed abbiamo [tex](p \times q) \circ (f \times g)([x],[y]) = (p \times q)(f[x],g[y]) = (p(f([x])), q(g([y]))) = ([x],[y])[/tex].
Poi, ad essere precisi, qui:
hai fatto un errore "grave". Avresti dovuto scrivere, se proprio volevi scrivere qualcosa, [tex]([x],[y]) = 1_{(X / R) \times (Y /R')}([x],[y])[/tex] e poi dedurne l'uguaglianza di funzioni [tex](p \times q) \circ (q \times p) = 1_{(X / R) \times (Y /R')}[/tex] (nelle tue notazioni, che, torno a ripetere, sono per lo meno confusionarie).
"GundamRX91":
$([x];[y])=1_((X/R) times (Y/R^{\prime}))$
hai fatto un errore "grave". Avresti dovuto scrivere, se proprio volevi scrivere qualcosa, [tex]([x],[y]) = 1_{(X / R) \times (Y /R')}([x],[y])[/tex] e poi dedurne l'uguaglianza di funzioni [tex](p \times q) \circ (q \times p) = 1_{(X / R) \times (Y /R')}[/tex] (nelle tue notazioni, che, torno a ripetere, sono per lo meno confusionarie).
"maurer":
Ti costruisco una sezione di [tex]p \times q[/tex]: tieni presente che come l'hai scritto tu adesso è sbagliato. Tra le altre cose, non capisco perché introduci "vettori colonna"...
Cosa intendi per sezione? E per "vettore colonna" intendi la classe di equivalenza?
"maurer":
Allora, usiamo l'assioma della scelta per definire [tex]f \colon X / R \to X[/tex], [tex]g \colon Y/R' \to X[/tex] in modo che [tex]f([x]) \in [x][/tex], [tex]g([y]) \in [y][/tex] (ti è chiaro questo punto? Senza assioma della scelta non te ne asciughi gli occhi).
A dire il vero non ho capito... perché $f([x]) in [x]$ ? Se $f$ è una funzione dall'insieme quoziente $X/R$ verso $X$ allora $f$ mappa una classe di equivalenza $[x]$ con un elemento $x in X$, quindi $f([x])=x in X$, o sbaglio?
"maurer":
Allora osserviamo che [tex]p(f([x])) = [x][/tex] e [tex]q(g([y])) = [y][/tex] (è soltanto la definizione, non c'è molto altro da dire). Ora, [tex]f \times g \colon (X / R) \times (Y / R') \to X \times Y[/tex] ed abbiamo [tex](p \times q) \circ (f \times g)([x],[y]) = (p \times q)(f[x],g[y]) = (p(f([x])), q(g([y]))) = ([x],[y])[/tex].
Ok, qui è chiaro.
"maurer":
Poi, ad essere precisi, qui:
[quote="GundamRX91"]
$([x];[y])=1_((X/R) times (Y/R^{\prime}))$
hai fatto un errore "grave". Avresti dovuto scrivere, se proprio volevi scrivere qualcosa, [tex]([x],[y]) = 1_{(X / R) \times (Y /R')}([x],[y])[/tex] e poi dedurne l'uguaglianza di funzioni [tex](p \times q) \circ (q \times p) = 1_{(X / R) \times (Y /R')}[/tex] (nelle tue notazioni, che, torno a ripetere, sono per lo meno confusionarie).[/quote]
Hai ragione, ora me ne rendo conto.
A questo punto ti chiedo come ci si deve comportare quando si hanno notazioni così "articolate"? Ci cerca di semplificare introducendo delle uguaglianze per "alleggerire" la notazione, oppure?
"GundamRX91":
Cosa intendi per sezione? E per "vettore colonna" intendi la classe di equivalenza?
Data una mappa [tex]r \colon A \to B[/tex] una sezione di [tex]r[/tex] è una mappa [tex]s \colon B \to A[/tex] tale che [tex]r \circ s = 1_B[/tex]. Si dice anche che [tex]r[/tex] è una retrazione di [tex]s[/tex].
Poi, per vettore colonna mi riferisco soltanto a questa tua inusuale notazione:
"GundamRX91":
Allora posto che $AA(x,y) in X times Y, (x,y) |-> ([x],[y])$
Ah, ma vedo citando che non era quello che intendevi. Posso suggerirti allora di usare [ tex ] e [ /tex ] invece dei dollari? O altrimenti di denotare le classi di equivalenza con [tex]\overline{x}[/tex], in modo da evitare impicci di questo tipo in futuro.
"GundamRX91":
[quote="maurer"]
Allora, usiamo l'assioma della scelta per definire [tex]f \colon X / R \to X[/tex], [tex]g \colon Y/R' \to X[/tex] in modo che [tex]f([x]) \in [x][/tex], [tex]g([y]) \in [y][/tex] (ti è chiaro questo punto? Senza assioma della scelta non te ne asciughi gli occhi).
A dire il vero non ho capito... perché $f([x]) in [x]$ ? Se $f$ è una funzione dall'insieme quoziente $X/R$ verso $X$ allora $f$ mappa una classe di equivalenza $[x]$ con un elemento $x in X$, quindi $f([x])=x in X$, o sbaglio? [/quote]
Sbagli. Chi è [tex]X/R[/tex]? Una famiglia di sottoinsiemi di [tex]X[/tex]. Denotiamo i suoi elementi con scritture della forma [tex][x][/tex] (usando implicitamente l'assioma della scelta), ma, appunto, [tex][x][/tex] è semplicemente un sottoinsieme di [tex]X[/tex].
Quello che dico io è: usiamo l'assioma della scelta per scrivere ogni elemento di [tex]X/R[/tex] nella forma [tex][x] = p(x)[/tex] e poi definiamo [tex]f([x]) = x[/tex]. Osserva che potrebbe essere tranquillamente [tex][x] = [y][/tex] con [tex]x \ne y[/tex] e quindi [tex]f([y]) = x \ne y[/tex]!
"GundamRX91":
A questo punto ti chiedo come ci si deve comportare quando si hanno notazioni così "articolate"? Ci cerca di semplificare introducendo delle uguaglianze per "alleggerire" la notazione, oppure?
Se per "introdurre delle uguaglianze" intendi "chiamiamo [tex]\beta[/tex] l'angolo [tex]\alpha[/tex]" (per citare un mio professore), sì, quello è un modo per alleggerire la notazione. Ad esempio avremmo potuto porre [tex]Z := (X/R) \times (Y / R')[/tex]. In dimostrazioni molto lunghe conviene sia per te che scrivi, sia per la sanità mentale di quello che legge.
Comunque l'importante è che non fai confusione con le varie cose: prima uguagliavi un elemento ad una funzione.
"maurer":
[quote="GundamRX91"]
A questo punto ti chiedo come ci si deve comportare quando si hanno notazioni così "articolate"? Ci cerca di semplificare introducendo delle uguaglianze per "alleggerire" la notazione, oppure?
Se per "introdurre delle uguaglianze" intendi "chiamiamo [tex]\beta[/tex] l'angolo [tex]\alpha[/tex]" (per citare un mio professore), sì, quello è un modo per alleggerire la notazione. Ad esempio avremmo potuto porre [tex]Z := (X/R) \times (Y / R')[/tex]. In dimostrazioni molto lunghe conviene sia per te che scrivi, sia per la sanità mentale di quello che legge.
Comunque l'importante è che non fai confusione con le varie cose: prima uguagliavi un elemento ad una funzione.[/quote]
Bene, era quello che intendevo.
"maurer":
Data una mappa [tex]r \colon A \to B[/tex] una sezione di [tex]r[/tex] è una mappa [tex]s \colon B \to A[/tex] tale che [tex]r \circ s = 1_B[/tex]. Si dice anche che [tex]r[/tex] è una retrazione di [tex]s[/tex].
Ottimo, non sapevo che si potesse chiamare sezione, per me era una funzione come un'altra
"maurer":
Poi, per vettore colonna mi riferisco soltanto a questa tua inusuale notazione:
Allora posto che $AA(x,y) in X times Y, (x,y) |-> ([x],[y])$
Ah, ma vedo citando che non era quello che intendevi. Posso suggerirti allora di usare [ tex ] e [ /tex ] invece dei dollari? O altrimenti di denotare le classi di equivalenza con [tex]\overline{x}[/tex], in modo da evitare impicci di questo tipo in futuro.
Si, si infatti non era quello che intendevo scrivere. Proverò con i tag del tex
"maurer":
Sbagli. Chi è [tex]X/R[/tex]? Una famiglia di sottoinsiemi di [tex]X[/tex]. Denotiamo i suoi elementi con scritture della forma [tex][x][/tex] (usando implicitamente l'assioma della scelta), ma, appunto, [tex][x][/tex] è semplicemente un sottoinsieme di [tex]X[/tex].
Quello che dico io è: usiamo l'assioma della scelta per scrivere ogni elemento di [tex]X/R[/tex] nella forma [tex][x] = p(x)[/tex] e poi definiamo [tex]f([x]) = x[/tex]. Osserva che potrebbe essere tranquillamente [tex][x] = [y][/tex] con [tex]x \ne y[/tex] e quindi [tex]f([y]) = x \ne y[/tex]!
Certo, mi dimentico sempre che in fondo l'insieme quoziente è una partizione di $X$ e le classi di equivalenza sono i blocchi della partizione.
Credo di aver capito ora
Bene.
Data la funzione:
[tex](p \times q): (X \times Y) \rightarrow (X/R) \times (Y/R^')[/tex]
volevo chiedere se è corretta la seguente definizione di nucleo di equivalenza:
[tex]Ker(p \times q) = \{\langle(a,b),(c,d)\rangle | (a,b) \in (X \times Y) \times (X \times Y) , (c,d) \in (X \times Y) \times (X \times Y)\}[/tex]
tale che [tex](a,b)R(c,d) \Leftrightarrow (p \times q)(a,b)=(p \times q)(c,d)[/tex]
?
Grazie
[tex](p \times q): (X \times Y) \rightarrow (X/R) \times (Y/R^')[/tex]
volevo chiedere se è corretta la seguente definizione di nucleo di equivalenza:
[tex]Ker(p \times q) = \{\langle(a,b),(c,d)\rangle | (a,b) \in (X \times Y) \times (X \times Y) , (c,d) \in (X \times Y) \times (X \times Y)\}[/tex]
tale che [tex](a,b)R(c,d) \Leftrightarrow (p \times q)(a,b)=(p \times q)(c,d)[/tex]
?
Grazie
Non mi è chiaro cosa intendi tu per nucleo di equivalenza (è un nome che non ho mai sentito). Quella che hai scritto è la relazione di equivalenza canonica associata alla funzione [tex]p\times q[/tex]. L'unica cosa è che hai sbagliato a scrivere [tex](a,b) \in (X \times Y) \times (X \times Y)[/tex]!
Per nucleo di equivalenza intendo questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Nucleo_(matematica)#Teoria_degli_insiemi
Riguardo l'errore, ora che me l'hai fatto notare, in effetti quello che ho scritto non ha senso: o scrivo
[tex]Ker(p \times q) = \{\langle(a,b),(c,d)\rangle | \langle(a,b),(c,d)\rangle \in (X \times Y) \times (X \times Y)\}[/tex]
oppure
[tex]Ker(p \times q) = \{\langle(a,b),(c,d)\rangle | (a,b) \in (X \times Y) , (c,d) \in (X \times Y) \}[/tex]
Spero....
Ps. come sempre, grazie per l'aiuto
Riguardo l'errore, ora che me l'hai fatto notare, in effetti quello che ho scritto non ha senso: o scrivo
[tex]Ker(p \times q) = \{\langle(a,b),(c,d)\rangle | \langle(a,b),(c,d)\rangle \in (X \times Y) \times (X \times Y)\}[/tex]
oppure
[tex]Ker(p \times q) = \{\langle(a,b),(c,d)\rangle | (a,b) \in (X \times Y) , (c,d) \in (X \times Y) \}[/tex]
Spero....
Ps. come sempre, grazie per l'aiuto
Ok, però hai ancora scritto cose sbagliate: avresti dovuto scrivere
[tex]\ker(p\times q) = \{((a,b),(c,d)) \in (X \times Y) \times (X \times Y) \mid (p(a),q(b)) = (p(c),q(d))\}[/tex]
Comunque, è il tuo docente a chiamare questa cosa nucleo? Perché, per come la so io, questa cosa si chiama "coppia nucleo" (kernel pair in inglese)... Insomma, questo è un equalizzatore, o un pull-back (sono giuste tutt'e due, a patto di capire di cosa è un equalizzatore e di cosa è un pull-back). Mi fa venire il prurito chiamarla nucleo (si parla di nucleo quando ci sono morfismi zero, ma non è questo il caso in [tex]\mathbf{Set}[/tex]).
[tex]\ker(p\times q) = \{((a,b),(c,d)) \in (X \times Y) \times (X \times Y) \mid (p(a),q(b)) = (p(c),q(d))\}[/tex]
Comunque, è il tuo docente a chiamare questa cosa nucleo? Perché, per come la so io, questa cosa si chiama "coppia nucleo" (kernel pair in inglese)... Insomma, questo è un equalizzatore, o un pull-back (sono giuste tutt'e due, a patto di capire di cosa è un equalizzatore e di cosa è un pull-back). Mi fa venire il prurito chiamarla nucleo (si parla di nucleo quando ci sono morfismi zero, ma non è questo il caso in [tex]\mathbf{Set}[/tex]).
Ok, ok, ho commesso nuovamente l'errore dell'esercizio di prima 
Riguardo il nucleo di equivalenza, si il mio docente lo chiama così, ma ritrovo la stessa definizione sull'Algebra di MacLane/Brikhoff.
Riguardo il nucleo di equivalenza, si il mio docente lo chiama così, ma ritrovo la stessa definizione sull'Algebra di MacLane/Brikhoff.
Ah boh, allora non so, immagino si possano usare tutt'e due...
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