Presentazione di un gruppo.
Sia $G$ un gruppo ed $X$ un sottoinsieme di $G$ i cui elementi sono generatori, cioé generano $G$, ora se non mi sbaglio
una presentazione di $G$ con generatori e relazioni, viene indicata con $$ dove $X$ è un insieme di generatori di $G$, ed $R$ l'insieme di relazioni tra generatori(uguaglianze), che permettono di ricavare interamente la tabella moltiplicativa di $G$.
Volevo se possibile delle delucidazioni a riguardo sull'esattezza o meno della definizione che ho posto, in modo da poter porre domande successive.
Grazie, e resto in attesa di una risposta!
una presentazione di $G$ con generatori e relazioni, viene indicata con $
Volevo se possibile delle delucidazioni a riguardo sull'esattezza o meno della definizione che ho posto, in modo da poter porre domande successive.
Grazie, e resto in attesa di una risposta!
Risposte
Ad esempio sia $Q_8$ il gruppo dei quaternioni, quindi $Q_8=(1,-1,i,j,k,-i,-j,-k)$, allora le seguenti:
$$ , $$, $$, $$
sono delle presentazioni di $Q_8$?
A mio parere si , volevo una conferma.
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
$
sono delle presentazioni di $Q_8$?
A mio parere si , volevo una conferma.
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Eccoti una definizione corretta (anche se un po' formale):
Definizione La coppia (S,R), dove \(\displaystyle S \) è un insieme e \(\displaystyle R \) è un sottoinsieme del gruppo libero generato da \(\displaystyle S \), si dice presentazione del gruppo \(\displaystyle G \) se \(\displaystyle G\cong F_S/R^{F_S} \).
Se la coppia \(\displaystyle (S,R) \) è una presentazione di \(\displaystyle G \) si scrive \(\displaystyle G = \langle S\mid R\rangle \).
P.S: \(\displaystyle F_S \) è il gruppo libero generato da \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle R^{F_S} \) è la chiusura normale di \(\displaystyle R \) (il più piccolo sottogruppo normale che lo contiene).
Definizione La coppia (S,R), dove \(\displaystyle S \) è un insieme e \(\displaystyle R \) è un sottoinsieme del gruppo libero generato da \(\displaystyle S \), si dice presentazione del gruppo \(\displaystyle G \) se \(\displaystyle G\cong F_S/R^{F_S} \).
Se la coppia \(\displaystyle (S,R) \) è una presentazione di \(\displaystyle G \) si scrive \(\displaystyle G = \langle S\mid R\rangle \).
P.S: \(\displaystyle F_S \) è il gruppo libero generato da \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle R^{F_S} \) è la chiusura normale di \(\displaystyle R \) (il più piccolo sottogruppo normale che lo contiene).
xVict85.
Grazie per la risposta!
Gli esempi che ho riportato sono delle presentazioni?
Grazie per la risposta!
Gli esempi che ho riportato sono delle presentazioni?
Si e no. Sono delle presentazioni ma non del gruppo dei quaternioni: ti sei dimenticato di 1 e -1.
Il problema é tratto da libro "Gruppi " di A.Machì, ed uno dei pochi problemi di cui non é riportata la soluzione.
Esso chiede di dimostrare che $G=< i,j | i^2=j^2=(ij)^2$ è il gruppo dei quaternioni.
Dobbiamo verificare che è possibile ottenere i vari prodotti utilizzando solamente le combinazioni tra gli elementi generatori e le relazioni.
Osservo che:
$i^2=(ij)(ij)=j^2$ implica che $iji=j$, ed $jij=i$, da cui anche $(ji)(ji)=i^2=j^2$,
inoltre
$(ij)(ij)(ij)=(iji)(jij)=ji=i^3j=ij^3$,
oltrechè si ha sostituendo:
$i(ji)=j=i(i^3j)=i^4j=j$, ed dovendo essere l'elemento neutro unico in $G$ si ha $i^4=1$, ed anche $1=i^4==i^2i^2=j^2j^2=j^4$.
Deduciamo cheIl nostro gruppo consta dei seguenti elementi distinti:
$i,i^3,i^4=j^4=1,j,j^3,i^2=j^2=(ij)^2=(ji)^2,(ij),(ji)$ ed effettivamente ogni elemento di $G$ si può ottenere come
prodotto di due qualsiasi elementi di questa forma, inoltre anche se con molti calcoli si può verificare l'associatività,
pertanto risulterebbe essere effettivamente il gruppo dei quaternioni, l'unica cosa che secondo me bisogna aggiungere per
far funzionare il tutto è che bisognava specificare $i^2=j^2=(ij)^2!=1$, infatti così posso asserire con certezza che l'elemento $i$ ha ordine $4$.
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Resto i
Esso chiede di dimostrare che $G=< i,j | i^2=j^2=(ij)^2$ è il gruppo dei quaternioni.
Dobbiamo verificare che è possibile ottenere i vari prodotti utilizzando solamente le combinazioni tra gli elementi generatori e le relazioni.
Osservo che:
$i^2=(ij)(ij)=j^2$ implica che $iji=j$, ed $jij=i$, da cui anche $(ji)(ji)=i^2=j^2$,
inoltre
$(ij)(ij)(ij)=(iji)(jij)=ji=i^3j=ij^3$,
oltrechè si ha sostituendo:
$i(ji)=j=i(i^3j)=i^4j=j$, ed dovendo essere l'elemento neutro unico in $G$ si ha $i^4=1$, ed anche $1=i^4==i^2i^2=j^2j^2=j^4$.
Deduciamo cheIl nostro gruppo consta dei seguenti elementi distinti:
$i,i^3,i^4=j^4=1,j,j^3,i^2=j^2=(ij)^2=(ji)^2,(ij),(ji)$ ed effettivamente ogni elemento di $G$ si può ottenere come
prodotto di due qualsiasi elementi di questa forma, inoltre anche se con molti calcoli si può verificare l'associatività,
pertanto risulterebbe essere effettivamente il gruppo dei quaternioni, l'unica cosa che secondo me bisogna aggiungere per
far funzionare il tutto è che bisognava specificare $i^2=j^2=(ij)^2!=1$, infatti così posso asserire con certezza che l'elemento $i$ ha ordine $4$.
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Resto i
Resto in attesa di una risposta.
Ho letto velocemente. Non hai bisogno di dimostrare che è un gruppo: hai utilizzato le proprietà del gruppo per generarlo.
Quindi fondamentalmente quello che devi fare è identificare gli elementi, la tabella delle moltiplicazioni e definire un isomorfismo con il gruppo dato.
Quindi fondamentalmente quello che devi fare è identificare gli elementi, la tabella delle moltiplicazioni e definire un isomorfismo con il gruppo dato.
Quello che volevo far notare e che se ho il gruppo dei quaternioni $Q_8$, comunque presa una qualsiasi coppia di generatori
$x_1,x_2$ di $Q_8$, sostituendo nell' ordine , essi soddisfano le relazioni $ x^2=y^2=(xy)^2$, per cui si ha:
$x_1,x_2| (x_1)^2=(x_2)^2=(x_1x_2)^2$ è una presentazione del gruppo, ed $ x_2,x _1| (x_2)^2=(x_1)^2=(x_2x_1)^2$ è ancora una presentazione dello stesso gruppo, dovendo i generatori essere scelti nell'insieme $i,j,k,-i,-j,-k$ avremo in totale $24$ possibili presentazioni dello stesso gruppo con le suddette relazioni, cioè $24$ possibili coppie ordinate di generatori, $(i,j),(j,i),(i,-j),(-j,i),(i,k),(k,i),(i,-k),(-k,i),(k,j),(j,k),(-k,j),(j,-k),(-i,-j),(-j,-i),(-i,-k),(-k,-i),(-k,-j),(-j,-k),(k,-i),(-i,k),(j,-i),(-i,j),(k,-j),(-j,k)$, quindi $24$ distinti automorfismi di $Q_8$.
$x_1,x_2$ di $Q_8$, sostituendo nell' ordine , essi soddisfano le relazioni $ x^2=y^2=(xy)^2$, per cui si ha:
$x_1,x_2| (x_1)^2=(x_2)^2=(x_1x_2)^2$ è una presentazione del gruppo, ed $ x_2,x _1| (x_2)^2=(x_1)^2=(x_2x_1)^2$ è ancora una presentazione dello stesso gruppo, dovendo i generatori essere scelti nell'insieme $i,j,k,-i,-j,-k$ avremo in totale $24$ possibili presentazioni dello stesso gruppo con le suddette relazioni, cioè $24$ possibili coppie ordinate di generatori, $(i,j),(j,i),(i,-j),(-j,i),(i,k),(k,i),(i,-k),(-k,i),(k,j),(j,k),(-k,j),(j,-k),(-i,-j),(-j,-i),(-i,-k),(-k,-i),(-k,-j),(-j,-k),(k,-i),(-i,k),(j,-i),(-i,j),(k,-j),(-j,k)$, quindi $24$ distinti automorfismi di $Q_8$.
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